萬有引力專題

1、萬有引力專題萬有引力定律揭示了自然界中物體間普遍存在的一種根本相互作用規(guī)律和行星運動的 本質(zhì)原因,并且把地上的運動和天上的運動統(tǒng)一起來.萬有引力定律的具體應用有：發(fā)現(xiàn) 新的天體,測天體質(zhì)量,計算天體密度,研究天體的運動規(guī)律等,同時也是現(xiàn)代空間技術(shù) 的理論根底.這一局部內(nèi)容公式變化多,各種關(guān)系復雜,是高考的熱點,也是學習的難點. 在復習過程中,要深刻理解萬有引力定律的內(nèi)容和應用,重點是要弄清以下幾個問題.一不同公式和問題中的 r含義不同萬有引力定律公式 F /豊叫 中的r指的是兩個質(zhì)點間的距離,在實際問題當中,r只有當兩物體間的距離遠大于物體本身的大小時,定律才適用,此時r指的是這兩個物體間的距

2、離；定律也可適用于兩個質(zhì)量分布均勻的球體之間,此時r指的是這兩個球心的距2離.而向心力公式 F = m v中的r,對于橢圓軌道指的是曲率半徑,對于圓軌道指的是r3圓半徑,開普勒第三定律 丄y =k中的r指的是橢圓軌道的半長軸.可見,同一個r在不同T2公式中所具有的含義迥異.例1如圖1所示,兩個靠得很近的恒星稱為雙星,這兩顆星必須各以一定速度繞某一中 心轉(zhuǎn)動才不至于因萬有引力而吸引在一起,雙星的質(zhì)量分別為m和m2,相距為丨,萬有引力常量為G,求：1雙星轉(zhuǎn)動的中央位置；2轉(zhuǎn)動周期.r1*1f 、mim2O丿圖1解析：1設(shè)雙星轉(zhuǎn)動的中央位置 0距離為r,與兩恒星中央的距離 丨不同2 2卩引=F向二

3、grm2l -r 解得 r = m2一 lrnii +m22 在求第二問時更應注意距離和半徑的區(qū)別,對恒星m1,由G；m2 = m1ry2IP得轉(zhuǎn)動周期為T=2： Gmm2例2飛船沿半徑為 R的圓周繞地球運動,其周期為T,如果飛船要返回地面,可在軌道上某一點A處將速率降低到適當數(shù)值,從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行,橢圓與地球外表在 B點相切,如圖2所示,求飛船由A點運動到B點所需要的時間. 地球半徑為R0圖2解析：此題用開普勒第三定律求解比擬簡單,即所有行星軌道的半長軸的三次方跟公 轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等,對于在圓周軌道上運行的行星其軌道的半長軸應該是圓半徑,R3所以,當飛船在圓周

4、上繞地球運動時,有2 = k,當飛船進入橢圓軌道運動時,有R R0333 T.頁=k,由兩式聯(lián)立得飛船在橢圓軌道上運動的周期-;畀故解得 飛船由A運動到B點所需的時間為t=；'R8RRo二自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的區(qū)別自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線轉(zhuǎn)動一周的時間,公轉(zhuǎn)周期是衛(wèi)星繞某一中央做圓周運 動一周的時間.這兩個周期一般情況下并不相等,如地球自轉(zhuǎn)周期為24小時,公轉(zhuǎn)周期為365天.但也有特殊情況,如月球的自轉(zhuǎn)周期等于公轉(zhuǎn)周期,所以它總是以相同的一面朝向地球.例3光從太陽射到地球需時間t,地球同步衛(wèi)星的高度為 h,地球的公轉(zhuǎn)周期為自轉(zhuǎn)周期為T o地球半徑為 R.試推導太陽和地球的質(zhì)量的表達式.

5、m,那么解析：設(shè)太陽質(zhì)量為M-地球質(zhì)量為M2,地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為 地球繞太陽做圓周運動,設(shè)軌道半徑為r,那么GM 12M2 =M2()2r,而 r ： ct ( c為光速)rT所以M1GT4：2(ct)3GT2地球同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動,那么GM2m(R h)22 二 2-m()2(R h)所以M4 二 2(R h)3GT 2三同步衛(wèi)星和一般衛(wèi)星的區(qū)別任何一顆地球衛(wèi)星的軌道平面都必須通過地心,由萬有引力提供向心力,其高度、速 度、周期一一對應.地球同步衛(wèi)星相對于地面靜止,和地球自轉(zhuǎn)具有相同的周期,為24小時.它只能位于赤道上方3.6 104km處,線速度為3.08km/s.一般衛(wèi)星的軌道是任

6、意的,周期、線速度可以比同步衛(wèi)星的大,也可比同步衛(wèi)星的小, 線速度最大值為 v=7.9km/s,最小周期大約 84min 近地衛(wèi)星.例4同步衛(wèi)星離地心距離為 r,運行速度為v1,加速度為a1,地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a airA.a2Ra2,第一宇宙速度為 V2,地球半徑為 R,那么B. ai二佯 c.也二鳥 D也-R解析：同步衛(wèi)星和赤道上的物體的角速度相等,據(jù)a - . 2r知已=丄；第一宇宙速a2Ra2 rV2 rV2, r度是衛(wèi)星貼近地面繞行時的速度,即近地衛(wèi)星的速度,近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星都滿足此題答案為A、 D.本例涉及三個物體：同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星、地球赤道上的物體.同步

7、衛(wèi)星與地球赤道 上的物體的周期都等于地球自轉(zhuǎn)的周期,而不等于近地衛(wèi)星的周期；近地衛(wèi)星與地球赤道 上的物體的運動半徑都等于地球半徑,而不等于同步衛(wèi)星的運動半徑；三者的線速度各不 相同.四穩(wěn)定運行和變軌運動的區(qū)別衛(wèi)星繞天體穩(wěn)定運行時,由萬有引力提供向心力GMm應,得v = j畫,由此r- r可知,軌道半徑r越大,衛(wèi)星的速度 v越小.當衛(wèi)星由于某種原因使速度 V忽然改變時,GMm2r,運行軌道發(fā)生變化.假設(shè)v突2GMm mv然變大, 2,衛(wèi)星做離心運動；右rrv忽然變小,r2GMm mv2,衛(wèi)星做近心運rr動.注意不能通過 v =GM判斷衛(wèi)星如何變軌,由于變軌過程中衛(wèi)星的速度改變,但是 rGM成立.

8、r例5如圖3,a、b、c是三顆在圓軌道上運行的衛(wèi)星,那么A. b、c的線速度大小相等,且大于a的線速度B. b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度C. c加速可追上同一軌道上的b,b減速可等侯同一軌道上的cD. a衛(wèi)星由于某種原因,軌道半徑緩慢減小,那么其線速度將變大待衛(wèi)星再次到達穩(wěn)定狀態(tài)時,仍有v二a地球圖3解析：b、c在同一軌道上運行,線速度大小、加速度大小均相等,又b、c軌道半徑大于a軌道半徑,由V =GM 知,Vb =Vc £ Va,故 A 錯.由加速度a二霧知,ab =ac : aa,故B錯. r2當c加速時,它受到的萬有引力Fc :：咚,它將偏離原軌道,做離心運

9、動；當 b減速rc_mv2C錯.vGM 知,V r這兩個Fn 二 mg時,它受到的萬有引力為 Fbb,它將偏離原軌道,做近心運動.所以a衛(wèi)星的軌道半徑緩慢減小時,在較短時間內(nèi),可認為做穩(wěn)定運動,由 r逐漸減小時v逐漸增大,故 D正確.五赤道上的物體和近地衛(wèi)星的區(qū)別赤道上的物體在地球自轉(zhuǎn)時受到兩個力作用：地球?qū)λ娜f有引力和支持力.力的合力提供物體做圓周運動的向心力,即GM2m _Fn =m.2R,這里R此時物體的向心加速度 a = 2R ：“ 0.034m/s2,遠遠小于地面上的重力加速度g = 9.8m/s2,在近似計算中可忽略自轉(zhuǎn)的影響,認為地面上物體的重力等于萬有引力.繞天體運行的衛(wèi)星只

10、受萬有引力作用,處于完全失重狀態(tài),故F =mg"=ma.衛(wèi)星的向心加速度a等于衛(wèi)星所在處的重力加速度g*.對近地衛(wèi)星,有 a = g=9.8m/s2.例6地球赤道上的重力加速度為g,物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a,要使赤道上的物體“飄起來,那么地球的轉(zhuǎn)速應為原來的gY倍aA. g 倍 B. aa解析：赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時,有GMm 廠2廠2Fn 二 m,R 二 ma,其中 Fn 二 mgR要使赤道上的物體“飄起來,即變?yōu)榻匦l(wèi)星,那么GMm-2疋 2 m - RR2Fn =0 ,于曰g a 倍 C.ga,選項B正確.a六衛(wèi)星運行中受力和軌道問題人造衛(wèi)星在繞地球運行時,只考

11、慮地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力,不考慮其他天體如太陽、 火星等對它的萬有引力.人造衛(wèi)星繞地球運行時的軌道圓心必須與地心重合,而且衛(wèi)星在軌道上做圓周運動時 地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力剛好等于衛(wèi)星的向心力.例7可以發(fā)射一顆這樣的人造地球衛(wèi)星,使其圓軌道A. 與地球外表上某一緯度非赤道是共面同心圓B. 與地球外表上某一經(jīng)度線所決定的圓是共面同心圓C. 與地球外表上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地球外表是靜止的D. 與地球外表上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地球外表是運動的解析：人造地球衛(wèi)星做圓周運動的向心力是由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力來提供,這個引 力的方向是指向地心的,所以衛(wèi)星運動的圓周的圓心一定要在地心上,因

12、此其圓軌道與地球外表上某一緯度非赤道是共面同心圓是不可能的,故A選項錯誤,D選項正確；由于地球外表的經(jīng)度是隨著地球的自轉(zhuǎn)而運動的,而衛(wèi)星的運動軌道是固定的,所以B選項也是錯誤的；C選項描述的是地球同步衛(wèi)星,軌道半徑是確定值,相對地球是靜止的,故 此題正確的答案是 CD.點評：在天體運行中,無論是近地衛(wèi)星還是同步衛(wèi)星,做圓周運動的向心力都是由地 球?qū)λ娜f有引力來提供的,這一點必須明確.七衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑r的關(guān)系,GMm2 mv由 2 ?rr故r越大,v越?。?GMm2由 2二 m,r ,r故r越大,-越??；GMm4二2rh-m 2田2rT故r越大,T越大.1.2.3.得 vG

13、M得-=GMr,得I GMB.C.D.234 r ,aGM可見r越大,v越小,越小,T越大,即轉(zhuǎn)得越慢,因火衛(wèi)二相對轉(zhuǎn)得較慢,周期大, 線速度小、角速度小、向心加速度小,所以選解析：由萬有引力提供向心力得 v=,一_ GM廠.r故A和Co點評：此題關(guān)鍵是從萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力入手,T與軌道半徑r的關(guān)系,再由周期大小,判斷該題的正確答案.明確a、v、,、八人造衛(wèi)星中的環(huán)繞速度和發(fā)射速度的問題2,GMm mv由mg2R通常稱為第一宇宙速度,2,GMm mv由2r,得近地人造衛(wèi)星的環(huán)繞速度 v =R也是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度.,得不同高度處的人造衛(wèi)星的環(huán)繞速度V =<g =

14、7.9km/s.RGM ,其大小隨半徑的例8火星有兩顆衛(wèi)星,分別為火衛(wèi)一和火衛(wèi)二,它們的軌道近似為圓,火衛(wèi)一的周 期為7小時39分,火衛(wèi)二的周期為 30小時18分,那么兩顆衛(wèi)星A.火衛(wèi)一距火星外表較近火衛(wèi)二的角速度較大火衛(wèi)一的運動速度較大火衛(wèi)二的向心加速度較大2mvr增大而減小.但是,由于在人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程中火箭要克服地球引力做功,所以將衛(wèi) 星發(fā)射到離地球越遠的軌道,在地面上所需的發(fā)射速度就越大.九人造衛(wèi)星的變軌問題衛(wèi)星繞地球穩(wěn)定運行時, 萬有引力提供了衛(wèi)星做圓周運動的向心力,由rv越小,當衛(wèi)星由于某種原因速得v =M,由此可知,軌道半徑r越大,衛(wèi)星的線速度度V發(fā)生改變時,受到的萬有引力G

15、M2m和需要的向心力r22巴冬不再相等,衛(wèi)星將偏離原軌r2GMm mv ,道運動.當2時,rr衛(wèi)星做近心運動,其軌道半徑r減小,由于萬有引力做功,因而速度v越來越大.反之,當2GMm mv2時,衛(wèi)星做離心運動,其軌道半徑r增加,rr速度v越來越小.例9在半徑為r的軌道上做勻速圓周運動的衛(wèi)星,它所具有的機械能為E,動能為Ek,由于一種原因使它的速度忽然增大,那么當它重新穩(wěn)定下來做勻速圓周運動時,有A. r增大,B. r增大,C. r減小,D. r減小,E增大, E增大, E增大, E減小,Ek增大Ek減小Ek減小Ek增大解析：v增大時,說明外界對其做正功,故它的機械能E增大,衛(wèi)星將表現(xiàn)離心現(xiàn)象,

16、軌道半徑將增大,萬有引力做負功,動能減小,勢能增大,故應選B.點評：衛(wèi)星的運動分為穩(wěn)定和不穩(wěn)定運行,當其所受的萬有引力不剛好提供向心力時, 其速度和半徑就要發(fā)生變化,引力要做功,這為不穩(wěn)定運行；而當所受的引力剛好提供向 心力時,它運行的速度、軌道半徑確定不變而做勻速圓周運動,這種狀態(tài)稱為穩(wěn)定運行.GMm _2_r應從做功、對于穩(wěn)定運行,應從衛(wèi)星問題變軌問題2mv入手,應用勻速圓周運動知識分析；對于不穩(wěn)定運行的 r能量轉(zhuǎn)化的角度去分析處理.A.等于零go表示地球外表處的重力加速度,mRgoB.等于 心如Ro +h2C.等于 m3 Rfg.,4D.以上結(jié)果都不對十同步衛(wèi)星問題相對地面靜止的衛(wèi)星為地

17、球同步衛(wèi)星,又稱通訊衛(wèi)星.同步衛(wèi)星的周期為地球自轉(zhuǎn)的3'-周期,即T =24小時,其軌道一定在赤道平面內(nèi),高度h 一定,',GMT3.6 104km.所以同步衛(wèi)星都位于同一軌道的不同位置上.例11用m表示地球通訊衛(wèi)星同步衛(wèi)星的質(zhì)量,h表示它離地面的高度,R表示地球的半徑,go表示地球外表處的重力加速度, '0表示地球自轉(zhuǎn)角速度,那么通訊衛(wèi)星所受的地球?qū)λ娜f有引力的大小為解析：通訊衛(wèi)星所受萬有引力的大小為F二R.GMmh)2地球外表物體的重力可以認為等于萬有引力,即GMm丄GMmg.二2,故g.二2R0Ro由上兩式解得FmRogo2.顯然B是正確的.Ro +hGM-0,

18、GMm2/r 、,由2 = m o Ro h,即 Ro h =Ro h2可得 fmRogo2 二 m3 R；go 4 ,Ro +h2'即C也正確.故此題正確的答案是 BC.點評：利用萬有引力提供向心力和地球外表物體的重力約等于萬有引力這兩個根本思 路,是解決天體問題的關(guān)鍵.十一衛(wèi)星中的超重和失重問題當衛(wèi)星進入軌道前加速的過程中,衛(wèi)星上的物體包括衛(wèi)星本身處于超重狀態(tài),此 情景與“升降機中物體的超重相同.當衛(wèi)星進入軌道后正常運轉(zhuǎn)時,衛(wèi)星上的物體處于 完全“失重狀態(tài)由于重力剛好提供向心力,因此,在衛(wèi)星上的儀器,但凡制造原理 與重力有關(guān)的均不能正常使用.例12某一物體在地球外表時,由彈簧測力計

19、測得重160N,把此物體放在航天器中,假設(shè)航天器以加速度a =2 g為地球外表的重力加速度垂直地面上升,這時再用同一彈簧2測力計測得物體的重力為 9oN,忽略地球自轉(zhuǎn)的影響,地球半徑R,求此航天器距地面的高度.解析：物體在地球外表時,重力為 mg =16on 根據(jù)萬有引力定律,在地面附近有GMm mg 2R在距地面某一高度 h時,由牛頓定律得FN -mg'=ma 根據(jù)萬有引力定律,得"GMm 金mg2R+h由式并代入數(shù)據(jù)解得 h = 3R.點評：人造衛(wèi)星在軌道上運行時,處于完全失重狀態(tài)；人造衛(wèi)星發(fā)射、回收時,加速 度均向上,處于超重狀態(tài).【模擬試題】1. 16世紀,哥白尼根據(jù)

20、天文觀測的大量資料,經(jīng)過4.多年的天文觀測和潛心研究,提出“日心說的如下四個根本論點,這四個論點目前看不存在缺陷的是A. 宇宙的中央是太陽,所有行星都在繞太陽做勻速圓周運動B. 地球是繞太陽做勻速圓周運動的行星,月球是繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星,它繞 地球運轉(zhuǎn)的同時還跟地球一起繞太陽運動C. 天穹不轉(zhuǎn)動,由于地球每天自西向東自轉(zhuǎn)一周,造成天體每天東升西落的現(xiàn)象D. 與日地距離相比,恒星離地球都十分遙遠,比日地間的距離大得多2. 以下關(guān)于萬有引力的說法,正確的有A. 物體落在地面上,說明地球?qū)ξ矬w有引力,物體對地球沒有引力B. 萬有引力定律是牛頓看到蘋果落地而想到的C. 地面上自由下落的蘋果和天

21、空中運行的月亮,受到的都是地球的萬有引力l _ m1m2D. F二G 三中的G是一個比例常數(shù),是沒有單位的r3.設(shè)想人類開發(fā)月球,不斷把月球上的礦藏搬運到地球上,假定經(jīng)過長時間開采后,地球仍可當作均勻球體,月球仍舊沿開采前的圓周軌道運動,那么與開采前相比地球與月球間的萬有引力將不變 地球與月球間的萬有引力將變大月球繞地球運動的周期將變大月球繞地球運動的周期將變短A.B.C.D.4.設(shè)行星繞恒星運動軌道為圓形,那么由開普勒第三定律可知它運動的周期平方與軌道半T2徑的三次方之比 T3 = K為常數(shù),此常數(shù)的大小R3只與恒星質(zhì)量有關(guān)與恒星質(zhì)量和行星質(zhì)量均有關(guān)只與行星質(zhì)量有關(guān)與恒星質(zhì)量和行星質(zhì)量均無關(guān)A.B.C.D.5假設(shè)一個做勻速圓周運動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的 周運動,那么根據(jù)公式2倍,仍做勻速圓A.B.根據(jù)公式C.根據(jù)公式v =血丁,可知衛(wèi)星的線速度增大到原來的2倍mv2F,可知衛(wèi)星所需的向心力減小到原來的rF =9書,可知地球提供的向心力將減小到原來的rD.根據(jù)上述B和A給出的公式,可知衛(wèi)星的線速度將減小到原來的2.22有A、B兩顆行星繞同一恒星 0做圓周運動,旋轉(zhuǎn)方向相同,A行星的6. 如圖1所示,周期為Ti, B行星