一元一次方程應用題分類講評

1、一元一次方程應用題分類講評一元一次方程應用題是初一數(shù)學學習的重點，也是一個難點。主要困難體現(xiàn)在兩個方面：一是難以從實際問題中找出相等關系，列出相應的方程；二是對數(shù)量關系稍復雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關系，導致解題時無從下手。 事實上，方程就是一個含未知數(shù)的等式。列方程解應用題，就是要將實際問題中的一些數(shù)量關系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義，它們分別表示題設中某一相應過程的數(shù)量大小或數(shù)量關系。由此，解方程應用題的關鍵就是要“抓住基本量，找出相等關系”。 下面就一元一次方程中常見的幾類應用題

2、作逐一講評，供同學們學習時參考。 1.行程問題 行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關系式為：路程=速度×時間；速度=；時間=。 可尋找的相等關系有：路程關系、時間關系、速度關系。在不同的問題中，相等關系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關系，而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關系，在航行問題中很多時候還用速度作相等關系。 航行問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發(fā)生變化：順水（風）速度=靜水（無風）速度+水流速度（風速）；逆水（風）速度=靜水（無風）速度水流速度（風速）。由此可得到航行問題中一個重要等量關系：順水（風）速度水流速度（風速）逆水（風）

3、速度+水流速度（風速）靜水（無風）速度。 例某隊伍450米長，以每分鐘90米速度前進，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返共需多少時間？ 講評：這一問題實際上分為兩個過程：從排尾到排頭的過程是一個追及過程，相當于最后一個人追上最前面的人；從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程，相當于從排頭走到與排尾的人相遇。 在追及過程中，設追及的時間為x秒，隊伍行進（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關系“追趕者的路程被追者的路程=原來相隔的路程”，有： 3x1.5x=450 x

4、=300 在相遇過程中，設相遇的時間為y秒，隊伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有： 3y+1.5y=450 y=100 故往返共需的時間為 x+y=300+100=400（秒） 例2 汽車從A地到B地，若每小時行駛40km，就要晚到半小時：若每小時行駛45km，就可以早到半小時。求A、B 兩地的距離。 講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時間量，考察兩者的時間關系，從相隔的時間上找出相等關系。本題中，設A、B兩地的路

5、程為x km，速度為40 km/小時，則時間為小時；速度為45 km/小時，則時間為小時，又早到與晚到之間相隔1小時，故有 = 1 x = 360 例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時，逆流航行需8小時，已知水流速度每小時2 km。求甲、乙兩地之間的距離。 講評：設甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為km/小時，逆流速度為km/小時，由航行問題中的重要等量關系有： = +2 x = 96 2.工程問題 工程問題的基本量有：工作量、工作效率、工作時間。關系式為：工作量=工作效率×工作時間。工作時間=，工作效率=。 工程問題中，一般常將全部工作量看作整體1，如果完

6、成全部工作的時間為t，則工作效率為。常見的相等關系有兩種：如果以工作量作相等關系，部分工作量之和=總工作量。如果以時間作相等關系，完成同一工作的時間差=多用的時間。 在工程問題中，還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時不能看作整體1，此時工作效率也即工作速度。 例4 加工某種工件，甲單獨作要20天完成，乙只要10就能完成任務，現(xiàn)在要求二人在12天內完成任務。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務？ 講評：將全部任務的工作量看作整體1，由甲、乙單獨完成的時間可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設乙需工作x 天，則甲再繼續(xù)加工（12x）天，乙完成的工作量為，甲完成的工作量為，依

7、題意有 +=1 x =8 例5 收割一塊麥地，每小時割4畝，預計若干小時割完。收割了后,改用新式農具收割，工作效率提高到原來的1.5倍。因此比預計時間提前1小時完工。求這塊麥地有多少畝？ 講評：設麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時，割完x畝預計時間為小時，收割畝工作時間為/4=小時；改用新式工具后，工作效率為1.5×4=6畝/小時，割完剩下畝時間為/6=小時，則實際用的時間為（+）小時，依題意“比預計時間提前1小時完工”有 （+）=1 x =36 例6. 一水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進水管，丙是排水管，甲單獨開需10小時注滿一池水，乙單獨開需6

8、小時注滿一池水，丙單獨開15小時放完一池水。現(xiàn)在三管齊開，需多少時間注滿水池？ 講評：由題設可知，甲、乙、丙工作效率分別為、（進水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負數(shù)），設小時可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為，、，由三水管完成整體工作量1，有 +1 x = 5 3經濟問題 與生活、生產實際相關的經濟類應用題，是近年中考數(shù)學創(chuàng)新題中的一個突出類型。經濟類問題主要體現(xiàn)為三大類：銷售利潤問題、優(yōu)惠（促銷）問題、存貸問題。這三類問題的基本量各不相同，在尋找相等關系時，一定要聯(lián)系實際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質，正確列出方程。 銷售利潤問題。利潤問題中有四個基本量：成本（進價）、銷

9、售價（收入）、利潤、利潤率?；娟P系式有：利潤=銷售價（收入）成本（進價）【成本（進價）=銷售價（收入）利潤】；利潤率=【利潤=成本（進價）×利潤率】。在有折扣的銷售問題中，實際銷售價=標價×折扣率。打折問題中常以進價不變作相等關系。 優(yōu)惠（促銷）問題。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物（消費）方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數(shù)值為基準，取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)進行檢驗，預測其變化趨勢。 存貸問題。存貸問題與日常生活密切相關，也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量，還有與之相

10、關的利率、本息和、稅率等量。其關系式有：利息=本金×利率×期數(shù)；利息稅=利息×稅率；本息和（本利）=本金+利息利息稅。 例7.某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件，后來又到深圳以每件12.5元的價格購進同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時，要獲利12，那么這種商品的銷售價應定多少？ 講評：設銷售價每件x 元，銷售收入則為（10+40）x元，而成本（進價）為（5×10+40×12.5），利潤率為12，利潤為（5×10+40×12.5）×12。由關系式有 （10+40）x（5×10+40

11、15;12.5）=（5×10+40×12.5）×12 x=14.56 例8.某種商品因換季準備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠25元，而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少？ 講評：設定價為x元，七五折售價為75x，利潤為25元，進價則為75x（25）=75x+25；九折銷售售價為90x，利潤為20元，進價為90x20。由進價一定，有 75x+25=90x20 x = 300 例9. 李勇同學假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16。取款時扣除20利息稅。李勇同學共得到本利504.32元。問半年前李勇同學共存

12、入多少元？ 講評：本題中要求的未知數(shù)是本金。設存入的本金為x元，由年利率為2.16，期數(shù)為0.5年，則利息為0.5×2.16x，利息稅為20×0.5×2.16x，由存貸問題中關系式有 x +0.5×2.16x20×0.5×2.16x=504.32 x = 500 例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這家商店8折購物，什么情況下買卡購物合算？ 講評：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設購物x元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費金額為（200+80x）元，不買卡花費金額為x元，故有 200+80x = x

13、x = 1000 當x 1000時，如x=2000 買卡消費的花費為：200+80×2000=1800（元） 不買卡花費為：2000（元 ） 此時買卡購物合算。 當x 1000時，如x=800 買卡消費的花費為：200+80×800=840（元） 不買卡花費為：800（元） 此時買卡不合算。 4.溶液（混合物）問題 溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質（純凈物）、溶劑（雜質）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關系式為：溶液=溶質+溶劑（混合物=純凈物+雜質）；濃度=×100=×100【純度（含量）=×100=×100】；由可得到：溶質

14、=濃度×溶液=濃度×（溶質+溶劑）。在溶液問題中關鍵量是“溶質”：“溶質不變”，混合前溶質總量等于混合后的溶質量，是很多方程應用題中的主要等量關系。 例11.把1000克濃度為80的酒精配成濃度為60的酒精，某同學未經考慮先加了300克水。試通過計算說明該同學加水是否過量？如果加水不過量，則應加入濃度為20的酒精多少克？如果加水過量，則需再加入濃度為95的酒精多少克？ 講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發(fā)溶劑、加溶質、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質、溶劑兩個關

15、鍵量，并結合有關公式進行分析，就不難找到相等關系，從而列出方程。 本題中，加水前，原溶液1000克，濃度為80，溶質（純酒精）為1000×80克；設加x克水后，濃度為60，此時溶液變?yōu)椋?000+x）克，則溶質（純酒精）為（1000+x）×60克。由加水前后溶質未變，有（1000+x）×60=1000×80 x = 300 該同學加水未過量。 設應加入濃度為20的酒精y克，此時總溶液為（1000+300+y）克，濃度為60，溶質（純酒精）為（1000+300+y）×60；原兩種溶液的濃度分別為1000×80、20y，由混合前后溶質量不

16、變，有（1000+300+y）×60=1000×80+20 y=50 5.數(shù)字問題 數(shù)字問題是常見的數(shù)學問題。一元一次方程應用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關系：任何數(shù)=（數(shù)位上的數(shù)字×位權），如兩位數(shù)=10a+b；三位數(shù)=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時要注意整體設元思想的運用。 例12. 一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個數(shù)。 講評：設這個數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)字為（x+7），這個三位數(shù)則為100（x+7）+10x+3x。依題意有

17、（x+7）+x+3x=17 x=2 100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926 例13. 一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1，如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原數(shù)。 講評：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后，后五位數(shù)則相應整體前移1位，即每個數(shù)位上的數(shù)字被擴大10倍，可將后五位數(shù)看成一個整體設未知數(shù)。設除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x，則原數(shù)為10+x，移動后的數(shù)為10x+1，依題意有 10x+1=10+x x = 42857 則原數(shù)為142857 6.調配（分配）與比例問題 調配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產，按比例選取工程材料，調

18、劑人數(shù)或貨物等。調配問題中關鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關系。在調配問題中主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關系，或是量與量之間的比例關系。 例14.甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書？ 講評：本題難點是正確設未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來。在調配問題中，調配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進行平分。由題設中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的

19、書多200本。故設乙架原有x本書，則甲架原有（x+200）本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為（x100）本，甲架書變?yōu)椋▁+200）+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 （x+200）+100=6（x100） x=180 x+200=380 例15.教室內共有燈管和吊扇總數(shù)為13個。已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內燈管有多少個？ 講評：這是一道對開關拉線的分配問題。設燈管有x支，則吊扇有（13）個，燈管拉線為條，吊扇拉線為條，依題意“共有條拉線”，有+x=9 例16.某車間22名工人參加生產一種螺母和螺絲。每人每天平均生產螺絲120個

20、或螺母200個，一個螺絲要配兩個螺母，應分配多少名工人生產螺絲，多少名工人生產螺母，才能使每天生產的產品剛好配套？ 講評：產品配套（工人調配）問題，要根據(jù)產品的配套關系（比例關系）正確地找到它們間得數(shù)量關系，并依此作相等關系列出方程。本題中，設有x名工人生產螺母，生產螺母的個數(shù)為200x個，則有（22x）人生產螺絲，生產螺絲的個數(shù)為120（22x）個。由“一個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的2倍”，有 200x=2×120（22x） x=12 22x=10 例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25216的比例配制攪拌而成?，F(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應

21、加多少千克的水攪拌？前三種料各稱了多少千克？ 講評：解決比例問題的一般方法是：按比例設未知數(shù)，并根據(jù)題設中的相等關系列出方程進行求解。本題中，由四種坯料比例25216，設四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有 25x+2x+x=5600 x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200 例18. 蘋果若干個分給小朋友，每人m個余14個，每人9個，則最后一人得6個。問小朋友有幾人？ 講評：這是一個分配問題。設小朋友x人，每人分m個蘋果余14個，蘋果總數(shù)為mx+14，每人9個蘋果最后一人6個，則蘋果總數(shù)為9（x）+。蘋果總數(shù)不變，有 mx+1

22、49（x）+x、m均為整數(shù) 9 例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等，現(xiàn)有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材？ 講評：本題可轉換成一個比例問題。由豬肉鋼材=15，豬肉砂糖=74，得豬肉鋼材砂糖=7354，設可換回鋼材x噸，則有 x288=354 x=2620 7.需設中間（間接）未知數(shù)求解的問題 一些應用題中，設直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過中間未知數(shù)求出結果。 例20.甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，得到的4個數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個

23、數(shù)。 講評：本題中要求4個量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設某個數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，故設這個相等的數(shù)為x，則甲數(shù)為，乙數(shù)為，丙數(shù)為，丁數(shù)為，由四個數(shù)的和是43，有 +=43 x = 36 =14 =12 =9 =8 例21.某縣中學生足球聯(lián)賽共賽10輪（即每隊均需比賽10場），其中勝1場得3分，平1場得1分，負1場得0分。向明中學足球隊在這次聯(lián)賽中所負場數(shù)比平場數(shù)少3場，結果公得19分。向明中學在這次聯(lián)賽中勝了多少場？ 講評：本題中若直接將勝的場次設為未知數(shù)，無法用未知數(shù)的式子表示出負的場數(shù)和平的場數(shù)，但設平或負的場數(shù)，則可表示出勝的場數(shù)。