初中數(shù)學(xué)-八年級數(shù)學(xué)教案第四冊一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1、 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a 0) 的根 x 1 、 2 = 得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及以數(shù) x 1 、 x 2 為根的一元二次方程的求方程模型。然后是通過 4 個例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡化一些計算的知識。例如，求方程中的特定系數(shù)，求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題，由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等等。 根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達定理（韋達是法國數(shù)學(xué)家）。韋達定理是初中代數(shù)中的一個重要定理。這是因為通過韋達定理的學(xué)習(xí)，把一元二次方程的研究推向了高級階段，運用韋達定理可以進一步研究數(shù)學(xué)

2、中的許多問題，如二次三項式的因式分解，解二元二次方程組；韋達定理對后面函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也是作用非凡。 通過近些年的中考數(shù)學(xué)試卷的分析可以得出：韋達定理及其應(yīng)用是各地市中考數(shù)學(xué)命題的熱點之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內(nèi)容綜合起來，形成難度系數(shù)較大的壓軸題。 通過韋達定理的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學(xué)問題的能力，也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。 （二）重點、難點 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是重點，讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語言表述，以及由一個已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某

3、種關(guān)系，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點。 （三）教學(xué)目標(biāo) 1 、知識目標(biāo)：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數(shù)，會求一元二次方程兩個根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。 2 、能力目標(biāo)：通過韋達定理的教學(xué)過程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。 3 、情感目標(biāo)：通過情境教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗數(shù)學(xué)活動中的成功感，建立自信心。 二、設(shè)

4、計理念 根據(jù)教材內(nèi)容和本人研究的課題初中數(shù)學(xué)問題引探教學(xué)實驗研究，在教學(xué)中滲透新課標(biāo)的精神，注重過程數(shù)學(xué)，注重創(chuàng)新教學(xué)，注重問題意識，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗，讓學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)活動，主動探索并獲取知識，教師是組織者、引導(dǎo)者、參與者。 三、教法與學(xué)法 （一）教法 1 、充分以學(xué)生為主體進行教學(xué)，讓學(xué)生多實踐，從實踐中反思過程，讓學(xué)生經(jīng)歷韋達定理的發(fā)生發(fā)展過程，并從中體驗成功的樂趣。 2 、采用“實踐（練習(xí)）?觀察?發(fā)現(xiàn)?猜想?證明”的過程教學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，師生共同解決問題。 3 、分小組討論交流，多渠道信息反饋。 4 、問題引探，啟發(fā)誘導(dǎo)，進行創(chuàng)新教學(xué)。 （二）學(xué)法指導(dǎo) 1 、引導(dǎo)學(xué)生實

5、踐、觀察、發(fā)現(xiàn)問題、猜想并推理。 2 、指導(dǎo)學(xué)生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。 3 、指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，并將應(yīng)用問題和規(guī)律歸類。 四、課時劃分及教學(xué)過程 （一）課時劃分 共分 3 課時 第一課時 1 、根與系數(shù)的關(guān)系。 2 、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用。 （ 1 ）求已知方程的兩根的平方和、倒數(shù)和、兩根差。 第二課時 1 、已知兩數(shù)求作新方程。 2 、由已知兩根和與積的值或式子，求字母的值。 第三課時 方程判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用。 第一課時 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（1） 一、教學(xué)目標(biāo) 1 、理解掌握一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a 0) 的兩根 x 1 ，

6、 x 2 與系數(shù) a 、 b 、 c 之間的關(guān)系。 2 、能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。 3 、會求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。 4 、在推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生“觀察?發(fā)現(xiàn)?猜想?證明”的研究問題的思想與方法。 二、重難點 根與系數(shù)的關(guān)系是重點，由于式子的抽象性，兩根之和等于一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)的相反數(shù)中的符號是學(xué)生理解和掌握的難點。 三、教學(xué)過程 （一）問題引探 問題 1. 在方程 ax 2 +bx+c=0 中， a 的取值決定什么？ b 2 -4ac 的取值呢？同學(xué)們可知道 a 、 b 、 c 的取值與一元二次方程 ax

7、2 +bx+c=0 的根還有其它關(guān)系？今天我們進一步研究一元二次方程的這種關(guān)系。 問題 2. 解方程 x 2 -5x+6=0 ，并先指出 a 、 b 、 c 各是多少，然后再解方程，計算兩根的和與積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論（現(xiàn)象）？ 問題 3. 解下列方程： （ 1 ） 2x 2 +5x+3=0 （ 2 ） 3x 2 -2x-2=0 并根據(jù)問題 2 和以上的求解填寫下表 請觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？ 問題 4. 請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進一步猜想：方程 ax 2 +bx+c=0 （ a 0 ）的根 x 1 ， x 2 與 a 、 b 、 c 之間的關(guān)系： _. 問

8、題 5. 你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。 分小組討論以上的問題，并作出推理證明。 若方程 ax 2 +bx+c=0 （ a 0 ）的兩根為 x 1 = ， x 2 = , 則 x 1 +x 2 = + = ; x 1 x 2 = ? = = 即：如果 ax 2 +bx+c=0 （ a 0 ）的兩根是 x 1 ， x 2 ，那么 x 1 +x 2 = ， x 1 x 2 = 。 由此得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；還可以讓學(xué)生用自己的語言表述這種關(guān)系，來加深理解和記憶。 這個關(guān)系是一個法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)的，所以也稱之為韋達定理。 問題 6. 在方程 ax 2 +bx+c=

9、0 （ a 0 ）中， a 、 b 、 c 的作用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生反思性小結(jié)） 二次項系數(shù) a 是否為零，決定著方程是否為二次方程； 當(dāng) a 0 時， b=0 ， a 、 c 異號，方程兩根互為相反數(shù)； 當(dāng) a 0 時， =b2-4ac 可判定根的情況； 當(dāng) a 0 ， b 2 -4ac 0 時， x 1 +x 2 = ， x 1 x 2 = 當(dāng) a 0 ， c=0 時，方程有一根為 0 。 說明： 1 、本設(shè)計采用“實踐?觀察?發(fā)現(xiàn)?猜想?證明”的過程，使學(xué)生既動手又動腦，且又動口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神

10、。 2 、本設(shè)計遵循由特殊到一般，從實踐到理論（即從感性認識上升到理性認識）的認知規(guī)律。 3 、本設(shè)計注重了學(xué)生的反思過程，使學(xué)生將知識系統(tǒng)化、格式化。 （二）嘗試發(fā)展 試一試：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為 x 1 ， x 2 、 k 是常數(shù)） （ 1 ） 2x 2 -3x+1=0 x 1 +x 2 = _ x 1 x 2 = _ （ 2 ） 3x 2 +5x=0 x 1 +x 2 = _ x 1 x 2 = _ （ 3 ） 5x 2 +x-2=0 x 1 +x 2 = _ x 1 x 2 = _ （ 4 ） 5x 2 +kx-6=0 x 1 +x 2 = _

11、 x 1 x 2 = _ （此試一試作為鞏固知識而用） 嘗試題 1 、已知方程 6x 2 +kx-5=0 的一個根為，求它的另一個根及 k 的值。 組織學(xué)生自己分析解決，然后一學(xué)生演板，其余學(xué)生在草稿本上練習(xí)。 學(xué)生練習(xí)： P 32 2 。 嘗試題 2 、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 2x 2 -3x-1=0 的兩個根的（ 1 ）平方和，（ 2 ）倒數(shù)和。 討論：解上面問題的思路是什么？ 得出： x 1 2 + x 2 2 =( x 1 +x 2 ) 2 -2 x 1 x 2; . ( 將平方和、倒數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式 ) （三）拓展創(chuàng)新 1 、在嘗試 2 中能否求（ x 1 x

12、 2 ）的值？ 2 、已知實數(shù)滿足關(guān)系式 a 2 -5a+6=0 ， b 2 -5b+6=0 ，且 a b ，能否求 a+b 與 ab 的值？ 說明： 1 、“試一試”是引導(dǎo)學(xué)生及時鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，其中第（ 3 ）小題是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴謹性和批判性；第（ 4 ）小題是起過渡作用設(shè)計。 2 、嘗試題 1 、 2 讓學(xué)生討論完成或獨立完成，可以看書完成，其系數(shù)與例題有別。 3 、“拓展創(chuàng)新”中是培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性教學(xué)設(shè)計，也是開放性教學(xué)，使有的學(xué)生的奇異思維得到發(fā)展。 （四）歸納小結(jié) 本課主要研究了什么？ 1 、方程的根是由系數(shù)決定的。 2 、 a 0 時，方程 ax 2 +bx+c=0 是一元二次方程。 3 、 a 0 ，且 b2-4ac 0 時，方程 ax 2 +bx+c=0 的根為 x 1 、 2 = 4 、 b 2 -4ac 的值可判定根的情況。 5 、 a 0 ， 0 時， x 1 +x 2 = ， x 1 x 2 = 。 6 、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。 （ 1 ）已知一根求另一根及 k 的值；（ 2 ）求有關(guān)代數(shù)式的值。 （五）布置作業(yè) P 33 A 1 、 2 B 1 （ 1 ） 練習(xí)： 已知三角形的兩邊長 a 、 b 是方程 x 2 -kx+12=0 的兩個，等腰三角形的另一條邊 c=4, 求這個等腰三角形的周長。 2 、已知關(guān)于