中考總復習第二十二講-命題與證明.

1、中考總復習1 (2013湖南湘潭)下列命題正確的是()A三角形的中位線平行且等于第三邊B對角線相等的四邊形是等腰梯形C四條邊都相等的四邊形是菱形D相等的角是對頂角【解析】A三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半，故本選項錯誤；B正方形、矩形的對角線均相等，故本選項錯誤；C四條邊都相等的四邊形是菱形，故本選項正確；D相等的角不一定是對頂角，故本選項錯誤故選 C.【答案】C2(2012浙江溫州)下列選項中，可以用來證明命題“若a21，則 a1”是假命題的反例是()Aa2Ba1Ca1Da2【解析】反例要求符合命題的條件，但不符合命題的結(jié)論(2)21，但是 a21，選 A.【答案】A3

2、 (2013湖南永州)下列說法正確的是()A一組數(shù)據(jù) 2，5，3，1，4，3 的中位數(shù)是 3B五邊形的外角和是 540C“菱形的對角線互相垂直”的逆命題是真命題D三角形的外心是這個三角形三條角平分線的交點【解析】A把這組數(shù)據(jù) 2，5，3，1，4，3 從小到大排列為： 1， 2， 3， 3， 4， 5， 最中間兩個數(shù)的平均數(shù)是(33)23，則中位數(shù)是 3，故本選項正確；B任何凸多邊形的外角和都是 360，故本選項錯誤；C “菱形的對角線互相垂直”的逆命題是“對角線互相垂直的四邊形是菱形”，它是假命題，故本選項錯誤；D三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點，故本選項錯誤故選 A.【答案】A4(20

3、13四川攀枝花)下列命題中，假命題是()A菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半B矩形的對角線相等C有兩個角相等的梯形是等腰梯形D對角線相等的菱形是正方形【解析】A，B，D 均為真命題，故排除；C同一底邊上的兩個底角相等的梯形才是等腰梯形，有兩個角相等的梯形也可能是直角梯形，故選 C.【答案】C5(2013江蘇泰州)命題“相等的角是對頂角”是命題(填“真”或“假”)【解析】對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，從而可得命題“相等的角是對頂角”是假命題【答案】假考點一命題考點一命題1命題是對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子其中正確的命題叫真命題，不正確的命題叫假命題2命題由題設(或條件)和結(jié)論

4、兩部分組成，一般地，命題都可以寫成“如果那么”的形式，其中以“如果”開始的部分是條件， “那么”后面的部分是結(jié)論3公理、定理、推論等都是真命題，其中定理是經(jīng)過推理得到的考點點撥1改寫命題時，要明確命題的條件和結(jié)論，有時語言要重新組合，可添上命題中被省略的詞句2用舉反例的方法說明一個命題是假命題，就是舉出一個符合命題題設而不符合命題結(jié)論的例子，舉反例也可以通過畫圖的形式說明【精選考題 1】(2013山東日照)四個命題：三角形的一條中線能將三角形分成面積相等的兩部分；有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等；點 P(1，2)關于原點的對稱點的坐標為(1，2)；兩圓的半徑分別是 3 和 4，

5、圓心距為 d， 若兩圓有公共點，則 1d7.其中正確的是()ABCD點評：(1)本題主要考查命題的真假判斷，難度較小(2)判斷命題真假的關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理解析：正確；SSA 不能判定兩個三角形全等，故命題錯誤；正確；兩圓的半徑分別是 3 和 4，圓心距為 d，若兩圓有公共點，則 1d7，故命題錯誤綜上所述，正確的是.答案：B【預測演練 11】下列說法：一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，則這兩個角相等；數(shù)據(jù) 5，2，7，1，2，4 的中位數(shù)是 3，眾數(shù)是 2；等腰梯形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；在RtABC 中，C90，兩直角邊 a，b 分別是方程 x27x70 的兩個根，

6、則 AB 邊上的中線長為1235.其中正確的命題有()A0 個B1 個C2 個D3 個解析： 一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊， 則這兩個角相等或互補，所以錯誤；將數(shù)據(jù) 5，2，7，1，2，4 按由小到大的順序排列為：1，2，2，4，5，7，中位數(shù)是2423，眾數(shù)是 2，故正確；等腰梯形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故錯誤；由題意，得 ab7，ab7，AB 邊上的中線長為12AB12a2b212（ab）22ab1272721235，故正確，所以選 C.答案：C【預測演練 12】已知下列命題：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；等腰梯形的對角線相等；對角線互相垂直的四邊形是菱形；內(nèi)錯角相

7、等其中假命題有()A1 個B2 個C3 個D4 個解析：根據(jù)定理可知正確對角線互相垂直的四邊形可以是如解圖 1所示的四邊形當兩直線不平行時，內(nèi)錯角就不相等，如解圖 1所示的1 與2 是內(nèi)錯角，但12.(解圖 1)答案：B考點二證明考點二證明1要判定一個命題是真命題，往往需要從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，一步一步推得結(jié)論成立，這樣的推理過程叫做證明2證明文字類型的幾何命題時，表述要按照一定的格式，一般為：(1)按題意畫出圖形；(2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論；(3)在“證明”中寫出推理過程考點點撥1 初中證明主要有綜合法(從條件往結(jié)

8、論一步一步證)和分析法(從結(jié)論逆向分析)、反證法三種2證明文字類型的命題一定要先寫已知、求證并畫圖再證明，但如果給出的幾何命題已包括了相應的圖形、已知及求證，則可在表述時直接寫出證明的推理過程【精選考題 2】(2012山東青島)如圖 221，四邊形ABCD 的對角線 AC，BD 交于點 O，BEAC 于點E，DFAC 于點 F，點 O 既是 AC 的中點，又是EF 的中點(1)求證：BOEDOF；(2)若 OA12BD，則四邊形 ABCD 是什么特殊四邊形？請說明理由點評：(1)本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，難度較小(2)解決本題的關鍵是注意到當 OA12BD 且 DOBO 時，說明對角

9、線相等解析：(1)DFAC，DFO90.同理：BEO90，DFOBEO.又FOEO，DOFBOE，BOEDOF.(2)四邊形 ABCD 是矩形理由如下：由(1)知 DOBO.又AOCO，四邊形 ABCD 是平行四邊形又OA12BD，ACBD，ABCD 是矩形【預測演練 2】學習了圖形的相似后，我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得的經(jīng)驗，繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件(1)“對于兩個直角三角形， 滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，兩個直角三角形全等” ，類似地，你可得到： “滿足_，或_，兩個直角三角形相似”；(2)“滿足斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”，類似

10、地， 你可以得到“滿足_的兩個直角三角形相似” 請結(jié)合所給圖形，寫出已知，并完成說理過程已知：如圖 222，_試說明 RtABCRtABC.解析：(1)一個銳角對應相等，兩直角邊對應成比例(2)斜邊和一條直角邊對應成比例已知：在 RtABC 和 RtABC中，CC90，ABABACAC.證明：設ABABACACk，則 ABkAB，ACkAC.在 RtABC 和 RtABC中，BCBCAB2AC2AB2AC2k2AB2k2AC2AB2AC2k，ABABACACBCBC，RtABCRtABC.考點三反證法考點三反證法在證明一個命題時，人們有時先假設命題不成立，從這樣的假設出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條

11、件矛盾，或者與定義、公理、定理等矛盾，從而得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確這種證明方法叫做反證法考點點撥1在假設結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定常見的互為否定形式有 “是與不是” “大于與不大于” “都是與不都是” “至少有一個與一個都沒有” “至少有 n 個與至多有 n1個”“唯一與至少有兩個”等2并非所有的命題都能用反證法證明，有時用反證法會更麻煩，因此證明先考慮用正面方法證，如果不行，再考慮用反證法【精選考題 3】(2012遼寧鞍山)用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角點評：(1)本題主要考查

12、反證法的應用，難度較小(2)解決本題的關鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理與等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)解析：假設等腰三角形的底角不是銳角，則底角大于或等于 90.根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，得兩個底角的和大于或等于 180.則該三角形的三個內(nèi)角的和一定大于 180， 這與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾，故假設不成立所以等腰三角形的底角是銳角【預測演練 3】如圖 223，在凸四邊形 ABCD 中，AD 不平行于 BC，E，F(xiàn) 分別是 AD，BC 的中點，且 EF12(ABCD)求證：ABCD.解析：用反證法假設 AB，CD 不平行，則 EF 至少與 AB，CD 中的一條線段不平行(否則ABEFCD)不妨設

13、 EF，AB 不平行，連結(jié) BD 交 EF 于點 G，則 EG，AB 不平行 過點 E 作 EHAB 交 EF 于異于點 G 的點 H，如解圖 2.E 是 AD 的中點，EH 是ABD 的中位線，H 是 BD 的中點且 EH12AB.F 是 BC 的中點，F(xiàn)H 是CBD 的中位線，F(xiàn)H12CD.在EFH 中，EHFH12(ABCD)EF，與 EF12(ABCD)矛盾假設不成立，ABCD.1證明的每一步都要有依據(jù)舉反例時所舉反例一定要符合命題的條件，但不符合命題的結(jié)論2證明一個命題是假命題，只要舉一個反例即可，但證明一個命題是真命題，一定要用推理的方法3用反證法時，要注意不能只舉出結(jié)論的一個反例

14、，而要所有的反面情況都考慮清楚1(2013廣西柳州)有下列 4 個命題：方程 x2( 2 3)x 60 的根是 2和 3；在ABC 中，ACB90，CDAB 于點 D.若 AD4，BD94，則 CD3；點 P(x，y)的坐標 x，y 滿足 x2y22x2y20，若點P 也在 ykx的圖象上，則 k1；若實數(shù) b，c 滿足 1bc0，1bc0，則關于 x 的方程 x2bxc0 一定有兩個不相等的實數(shù)根，且較大的實數(shù)根 x0滿足1x01.上述 4 個命題中，真命題的序號是點評：(1)本題主要考查命題真假判斷、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的解法和反比例函數(shù)的性質(zhì)，難度較大(2)利用數(shù)形結(jié)合是解決本題

15、的關鍵解析：解方程 x2( 2 3)x 60，得 x1 2，x2 3，故此命題正確；由題意，得 CD2ADBD，若 AD4，BD94，則 CD3.故此命題正確；點 P(x，y)的坐標 x，y 滿足 x2y22x2y20，(x1)2(y1)20，解得 x1，y1，xy1.若點 P 也在 ykx的圖象上，則 k1，故此命題正確；實數(shù) b，c 滿足 1bc0，1bc0，yx2bxc 的大致圖象如解圖 3 所示，關于x 的方程 x2bxc0一定有兩個不相等的實數(shù)根， 且較大的實數(shù)根 x0滿足1x01， 故此命題正確答案：2 (2012湖南岳陽)如圖 224， AB 為半圓 O 的直徑， AD，BC 分

16、別切O 于 A，B 兩點，CD 切O于點 E，AD 與 CD 交于點 D，BC 與 CD交于點 C，連結(jié) OD，OC，對于下列結(jié)論：OD2DECD；ADBCCD；ODOC；S梯形ABCD12CDOA；DOC90，其中正確的是()ABCD點評：(1)本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及梯形面積的求法，難度較大(2)求解本題要求熟練掌握有關定理和性質(zhì)， 并善于運用轉(zhuǎn)化的思想答案：A解析：連結(jié) OE.AD，DC，BC 均與O 相切，DAODEOOBC90，DADE，CECB，ADBC，CDDEECADBC，正確；在 RtADO 和 RtEDO 中，ODO

17、D，DADE，RtADORtEDO(HL)，AODEOD.同理：RtCEORtCBO，EOCBOC.又AODDOEEOCCOB180，2(DOEEOC)180，即DOC90，正確；DOCDEO90，又EDOODC，EDOODC，ODDCDEOD，即 OD2DCDE，正確；S梯形ABCD12AB(ADBC)12ABCD，錯誤；OD 不一定等于 OC，錯誤則正確的有.3(2013浙江湖州)一節(jié)數(shù)學課后，老師布置了一道課后練習題：如圖 225，已知在 RtABC 中，ABBC，ABC90，BOAC 于點 O，點P，D 分別在 AO 和 BC 上，BPPD，DEAC 于點 E， 求證： BPOPDE.

18、(1)理清思路，完成解答本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程；(2)特殊位置，證明結(jié)論若 PB 平分ABO，其余條件不變求證：APCD；(3)知識遷移，探索新知若點 P 是一個動點，點 P 運動到 OC 的中點 P時，滿足題中條件的點 D 也隨之在直線 BC 上運動到點 D，請直接寫出 CD與 AP的數(shù)量關系(不必寫解答過程)解析：(1)PBPD，2PBD.ABBC，ABC90，AC45.BOAC，145，1C.3PBD1，42C，34.BOAC，DEAC，BOPPED90.在BPO 和PDE 中，34，BOPPED，BPPD，BPOPDE(AAS)點評：

19、(1)本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識的綜合應用，難度中等(2)解決本題的關鍵是熟練運用各種三角形的判定與性質(zhì)(2)由(1)可得：34.BP 平分ABO，ABP3，ABP4.在ABP 和CPD 中，AC，ABP4，BPPD，ABPCPD(AAS)，APCD.(3)CD與 AP的數(shù)量關系是 CD23AP.理由如下：如解圖 4，設 OPPCx，則 AOOC2xBO，AP2xx3x.由(1)知 BOPE，PE2x，CE2xxx.E90，ECDACB45，可得 DEx，CD 2x，即 AP3x，CD 2x，CD與 AP的數(shù)量關系是 CD23AP.4(2013浙江寧波)若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形如菱形就是和諧四邊形(1)如圖 226，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD120，C75，BD 平分ABC.求證：BD 是梯形 ABCD 的和諧線；(2)如圖 226，在 1216 的網(wǎng)格圖上(每個小正方形的邊長為 1)有一個扇形 BAC，點 A，B，C 均在格點上，請在網(wǎng)格圖上找一個點