第六章 平穩(wěn)隨機過程

1、1寬平穩(wěn)過程（協(xié)方差平穩(wěn)過程）寬平穩(wěn)過程（協(xié)方差平穩(wěn)過程）嚴平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)過程第六章 平穩(wěn)隨機過程2第六章 平穩(wěn)隨機過程 在自然界中有一類隨機過程，它的特征是產(chǎn)生隨機 現(xiàn)象的主要因素不隨時間而變。例如1.( )X t無線電設(shè)備中熱噪聲電壓是由于電路中電子的熱運動引起的，這種熱擾動不隨時間而變；2.( )X t連續(xù)測量飛機飛行速度產(chǎn)生的測量誤差，是由很多因素（如儀器振動、電磁波干擾、氣候等）引起的，但主要因素不隨時間而變；3. 棉紗各處直徑不同是由于紡紗機運行，棉條不均，溫濕度等引起的，這些主要因素也不隨時間而變。 因為產(chǎn)生隨機現(xiàn)象的主要因素不隨時間而變，所以隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間推移而變平

2、穩(wěn)過程。31 平穩(wěn)隨機過程的概念與例子 , X ttT定義1：是一隨機過程，121,2, ,nn nt ttTh對任意的，和任意實數(shù)12, ,nth ththT當時 1212,dnnX tX tX tX thX thX th 12121212,; , ,;,nnnnF x xx t ttF x xx th ththX ttT即：則稱隨機平穩(wěn)性嚴平穩(wěn)隨機過程過程具有，稱此嚴過程為，簡稱平穩(wěn)過程。 :00, 1, 2, 0,1,2,T ，;或。4 ,X ttT 設(shè)嚴平嚴平穩(wěn)過程的數(shù)字特征穩(wěn)過程是二階：矩過程，則 1212212121(2),00,XXXRt tE X tX tE XX ttRttR

3、tt記為 0X tX thhtX tX 證明：與同分布，取， 則與同分布，從而有相同的數(shù)學期望。 12121122121,0 ,X tX tX thX thhtX tX tXX tttt 證明：與同分布，取 則與同分布，因此 自相關(guān)函數(shù)僅是時間差的函數(shù)。 0XXtE X tE X記為(1)常數(shù) 2200XXXXXXXCRDtCR從而協(xié)方差函數(shù) ， 方差函數(shù) 是常數(shù)。5 , ,XXX ttTt tTE X tE X t X tRX ttT 定義2：給定二階矩過程，如果對任意的常數(shù) 則寬平穩(wěn)過程（協(xié)方差平穩(wěn)稱為過程). ,XYXYXYX tY ttTRRt tE X t X tRX tY t定義3

4、：和是兩個平穩(wěn)過程 如果它們的互相關(guān)函數(shù)也只是時間平穩(wěn)相關(guān)差的函數(shù)，記為 即 稱和是， 或稱這兩個的聯(lián)合過程是寬 平穩(wěn)的 要確定一個過程的分布函數(shù)，并判定其平穩(wěn)性在實際中不易辦到，因此，通常只在二階矩過程范圍內(nèi)考慮寬平穩(wěn)過程。612,21, 32,11(,.,).,12ntttttnnXXXXXtt ttttt是嚴平穩(wěn)過程 所有的同分布。 對任意n2, 的分布 僅與時間差有關(guān)， 而與起始時間當且僅當（）（ ）無關(guān)。嚴平穩(wěn)的充要條件、與寬平穩(wěn)的關(guān)系 此定義中只涉及與一維、二維分布有關(guān)的數(shù)字特征，故一 個嚴平穩(wěn)過程只要二階矩存在，則它必定也是寬平穩(wěn)的。但反過來，一般不成立。 7 如，正態(tài)過程的概率

5、密度是由均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)完全確定的，因而如果均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)不隨時間的推移而變化，則概率密度也不隨時間的推移而變化。故一個平穩(wěn)過程的正態(tài)過程必是嚴平穩(wěn)的。 今后講到平穩(wěn)過程一詞時,除特別指明外,均指寬平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程 嚴平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)過程 寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)過程 寬平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)過程正態(tài)過程正態(tài)過程二階矩存在二階矩存在822 1,0, 1, 2,0,:,0, 1, 2,kkkkXkE XE XXk 例 ：設(shè)是互不相關(guān)的隨機變量序列， 且.證明是寬平穩(wěn)的隨機序列. 2 :0,0 ,0, 1, 2,kXklkklE XRk lE X Xk

6、lklXk 證明 即：相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)， 所以它是寬平穩(wěn)的隨機序列，也稱為離散白噪聲。 注:如果又是獨立同分布的，則它還是嚴平穩(wěn)序列。9 00Nnkn kkE Ya E X證： 0012,0, 1, 2,1 0, 1, 2,0, 1, 2,kNnkn kkNnXkYa XnNa aaY n 例 ：設(shè)是例中的隨機序列， 作，其中 是自然數(shù)，而是常數(shù). 證明：是平穩(wěn)序列.,Ynn mRn nmE Y Y又自相關(guān)函數(shù)00NNkn kjn mjkjEa Xa X00NNkjn kn mjkja a E XXnnY它與 無關(guān)，所以是平穩(wěn)序列。2 00Nkm kkm k Na a 10 30,S tTTX

7、 tS t例 ：設(shè)是一周期為 的函數(shù)， 是在上服從均勻分布的隨機變量，稱為隨機相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。 1 00 TTf解：由假設(shè)， 的概率密度為: 其他 ,XRt tE S tS t01TS tdT 1t TtSdT 01TSdT周期性常數(shù)所以隨機相位周期過程是平穩(wěn)的。 ,E X tE S t于是 1t TtSSdT 01TS tS tdT 01TXSSdRT周期性記為11 41 ,2, ,0,1,2,!0kX tIIP X tIt tN t tN t teP N t tkkkX t 例 ：考慮隨機電報信號，信號由只取或的電流給出。而正負號在區(qū)間內(nèi)變化的次數(shù)是隨機的，且假設(shè)服從泊松分

8、布，即： 其中是單位時間內(nèi)變號次數(shù)的數(shù)學期望，試討論的平穩(wěn)性. t( )x t12 022IIE X tI P X tII P X tI 解： 2222I P X t X tII P X t X tI 0, ,XRt tE X t X t設(shè) 2,X t X tIt t事件等價于電流在內(nèi)變號偶數(shù)次， 20,2kP X t X tIP N t tk因此202!kkek續(xù)續(xù)1321021 !kkek221200,2!21 !kkXkkeeRt tIkk 所以2220!kkI eI ek 220,XtttRt tE X tX tI e 此結(jié)果與 無關(guān)，若只要令則有22,.XRt tI e綜合得，僅與

9、有關(guān)，故是平穩(wěn)過程。 20,21kP X t X tIP N t tk 同理14225( ),0,0(1)( )P(A=)=P(B=)=0.5, ?( ),(0,)?X tAcos tBsin t tA BEAEBDADBA BN 例 ：設(shè) 常數(shù)， 獨立, 計算均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù).它是寬平穩(wěn)嗎?2 如討論過程的平穩(wěn)性3 如都服從，討論過程的平穩(wěn)性 ( )( )( )()0,E AE BE AB解： 1 因為222()()E AE B( )XtE Acos tBsin t故( )( )0E A cos tE B sin t12( , )XRt t1122()()E Acos tBsin tAcos tBsin t21212()cos t cos tsin t sin t221()costt( )X t 寬平穩(wěn)15151 PX()042(2) PX(0)00(0)X()4X與不同分布過程不是嚴平穩(wěn)(3),( , )A BA