高中數(shù)學(xué) 用均值不等式求最值的常用技巧學(xué)法指導(dǎo)

1、用均值不等式求最值的常用技巧 楊清泉均值不等式是解決最值問題的有效工具。運用均值不等式求最值要同時滿足條件：一正、二定、三相等，缺一不可。多數(shù)求最值的問題具有隱蔽性，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃尾拍苡镁挡坏仁角蠼?。掌握一些常見的變形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值?1. 湊系數(shù)例1 當(dāng)時，求的最大值。利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，本題是積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故需將“x”項湊上一個系數(shù)即可。解：由，知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。其最大值是8。點評：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。 2. 湊項例2 求的最值。分析：由題

2、意知，首先要調(diào)整符號，而不是定值，需對進(jìn)行湊項才能得到定值，然后用均值不等式。解：，即。，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。函數(shù)有最大值。 3. 分離例3 經(jīng)過長期觀測可知，在交通繁忙的時段內(nèi)，某路段汽車的車流量（千輛/小時）與 汽車的平均速度（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為。在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速率為多大時車流量最大？最大車流量為多少？（精確到0.1千輛/小時）分析：只要把分子上的變量分離出來，轉(zhuǎn)化到分母上就可以用均值不等式求解。解：依題意得：。當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立。當(dāng)時，（千輛/小時）。 4. 平方例4 求函數(shù)的最大值。分析：注意到與的和為定值，只要對解析式兩邊取平方，即可用均值不等式求

3、解。解：。當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。又，可知，故。 5. 統(tǒng)一例5 已知正數(shù)，滿足，求的最大值。分析：把所求式的變量x都移到根號里，同時湊系數(shù)滿足已知條件使和為常數(shù)，用均值不等式求積的最大值。解：，。當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，又因，為正值，可解得，時等號成立。故有最大值為。 6. 代換例6 已知正數(shù)、滿足，求的最小值。分析：將看作，1用已知條件整體代換，可用均值不等式求解。解：。由題意知，當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，又因、為正數(shù)，解得，故最小值是18。 7. 構(gòu)造例7 已知，求的最小值。分析：注意到所求式子的分母滿足，將其整體代入所求式子，即可用均值不等式求解。解：，。，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。故的最小值為25。年級高中學(xué)科數(shù)學(xué)版本期數(shù)內(nèi)容標(biāo)題用均值不等式求最值的常用技巧分類索引號G.622.46分類索引描述輔導(dǎo)