高中數(shù)學(xué) 抽象函數(shù)中?？嫉膯栴}分類解析素材 新人教版

1、抽象函數(shù)中?？嫉膯栴}分類解析我們將沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實(shí)例作分類解析，供學(xué)習(xí)參考。 1. 求定義域 這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)中的看作一個(gè)整體，相當(dāng)于中的x這一特性，問題就會(huì)迎刃而解。 例1. 函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是_。 分析：因?yàn)橄喈?dāng)于中的x，所以，解得或。 例2. 已知的定義域?yàn)?，則的定義域是_。 分析：因?yàn)榧熬喈?dāng)于中的x，所以 (1)當(dāng)時(shí)，則 (2)當(dāng)時(shí)，則 2. 判斷奇偶性 根據(jù)已知條件，通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。 例3. 已知的

2、定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。 分析：在中，令， 得 令，得 于是 故是偶函數(shù)。 例4. 若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)。 證明：設(shè)圖象上任意一點(diǎn)為P（） 與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上， 又 即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。 3. 判斷單調(diào)性 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。 例5. 如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是 A. 增函數(shù)且最小值為B. 增函數(shù)且最大值為 C. 減函數(shù)且最小值為D. 減函數(shù)且最大值為 分析：畫出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1

3、 例6. 已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。 分析：如圖2所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下： 任取 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以。 又是偶函數(shù)，所以 ， 從而，故在上是增函數(shù)。圖2 4. 探求周期性 這類問題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對(duì)函數(shù)原型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。 例7. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的x，y有，并存在正實(shí)數(shù)c，使。試問是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說明理由。 分析：仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：滿足題設(shè)條件，且，猜測(cè)是以2c為周期的周期函數(shù)。 故是周期函數(shù)，2c是它的

4、一個(gè)周期。 5. 求函數(shù)值 緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。 例8. 已知的定義域?yàn)椋覍?duì)一切正實(shí)數(shù)x，y都成立，若，則_。 分析：在條件中，令，得 ， 又令， 得， 例9. 已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，求的值。 分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，顯然，于是 ， 所以 故是以8為周期的周期函數(shù)，從而 6. 比較函數(shù)值大小 利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。 例10. 已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，若，且，則的大小關(guān)系是_。

5、 分析：且， 又時(shí)，是增函數(shù)， 是偶函數(shù)， 故 7. 討論方程根的問題 例11. 已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足，并且有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是_。 分析：由知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸。 又有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱性知必是方程的一個(gè)根，其余兩根關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故。 8. 討論不等式的解 求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。 例12. 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得 由題意知(1)(2)兩式對(duì)一切恒成立，則有 9. 研究函數(shù)的圖象 這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。 例13. 若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線_對(duì)稱。 分析：的圖象的圖象，而是偶函數(shù)，對(duì)稱軸是，故的對(duì)稱軸是。 例14. 若函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，1），則的反函數(shù)的圖象必過定點(diǎn)_。 分析：的圖象過點(diǎn)（0，1），從而的圖象過點(diǎn)，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，的反函數(shù)的圖象必過定點(diǎn)。 10. 求解析式 例15. 設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)