希爾伯特幾何公理

1、希爾伯特幾何公理佛山石門(mén)中學(xué) 高二（2） 鄧樂(lè)濤一、符號(hào)及一些說(shuō)明有三組不同的對(duì)象：點(diǎn)，直線(xiàn)，平面點(diǎn)用A,B,C,D來(lái)表示；直線(xiàn)用a,b,c,d來(lái)表示；平面用,來(lái)表示。點(diǎn)稱(chēng)為直線(xiàn)幾何的元素，點(diǎn)和直線(xiàn)稱(chēng)為平面幾何的元素，點(diǎn)、直線(xiàn)和平面稱(chēng)為立體幾何的元素那么點(diǎn)，幾何元素之間又有一定的相互關(guān)系 點(diǎn)A在直線(xiàn)a上：Aa 點(diǎn)A在平面上：A 直線(xiàn)a在平面上：a（直線(xiàn)的每一點(diǎn)都在平面上） 點(diǎn)B在點(diǎn)A與點(diǎn)C之間：BAC（我自己規(guī)定的符號(hào)） 線(xiàn)段AB與CD相等：AB=CD（原書(shū)是用號(hào)的，不過(guò)對(duì)于我們不常見(jiàn)，所以我用了=號(hào)） AOB與COD相等：AOB=COD等等（線(xiàn)段，角之類(lèi)的能在點(diǎn)線(xiàn)面下給出定義，具體在敘述公理

2、的時(shí)候再說(shuō)）在希爾伯特幾何里面，其實(shí)點(diǎn)直線(xiàn)和平面是三個(gè)未定義的數(shù)學(xué)對(duì)象，在上面給的最基本的關(guān)系也是沒(méi)有定義的，也就是說(shuō)用什么來(lái)代表這些東西都是可以的，正如希爾伯特所說(shuō)“我們必定可以用桌子、椅子、啤酒杯來(lái)代替點(diǎn)、線(xiàn)、面”。最簡(jiǎn)單的例子就是解析幾何：我們定義點(diǎn)是實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，定義線(xiàn)是x,y|Ax+By+C=0，其實(shí)在這個(gè)定義下，“幾何”已經(jīng)失去了“直觀”的形式了，因?yàn)樵谶@個(gè)定義下的幾何圖形就變成了毫無(wú)幾何直觀的數(shù)字了，只是我們方便研究又將它畫(huà)在了坐標(biāo)系中而已。我這里的關(guān)系符號(hào)，=并不來(lái)自于集合論，不要混淆，要再?gòu)?qiáng)調(diào)的是他們本身沒(méi)有含義，我只是借用過(guò)來(lái)化簡(jiǎn)論述罷了?？傊?，希爾伯特幾何，就是將直觀

3、地幾何語(yǔ)言（歐氏幾何）抽象成了邏輯語(yǔ)言，我們所有的幾何定理都可以用邏輯推理得到。（其實(shí)希爾伯特幾何就是完備化的歐氏幾何）公理I關(guān)聯(lián)公理本組公理有八條，是前面所提的點(diǎn)，直線(xiàn)，平面這三組對(duì)象之間建立的一種聯(lián)系：（為了方便論述，以后說(shuō)二、三點(diǎn)的，直線(xiàn)或平面是，都是指不同的點(diǎn)，直線(xiàn)或平面）I1：對(duì)于兩點(diǎn)A和B，恒有一直線(xiàn)a，使得A,Ba（存在性）；I2：對(duì)于兩點(diǎn)A和B，至多有一直線(xiàn)a，使得A,Ba（唯一性）；（對(duì)于1,2，我們可以說(shuō)兩點(diǎn)確定一直線(xiàn)）I3：一直線(xiàn)上至少有兩點(diǎn)，至少有三點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上；I4：對(duì)于不在同一直線(xiàn)的三點(diǎn)A,B和C，恒有一平面，使得A,B,C；（存在性）對(duì)于任一平面，恒有一點(diǎn)A，

4、使得A；I5：對(duì)于不在同一直線(xiàn)的三點(diǎn)A,B和C，至多有一平面，使得A,B,C；（唯一性）（對(duì)于4,5，我們可以說(shuō)三點(diǎn)確定一平面）I6：若A,Ba且A,B，則a；I7：若兩平面，有一個(gè)公共點(diǎn)A，則他們至少還有一個(gè)公共點(diǎn)B；I8：至少有四點(diǎn)不在同一個(gè)平面上。以上。其實(shí)我想用形式語(yǔ)言寫(xiě)出來(lái)的，但是實(shí)在書(shū)上的太難翻譯，而且符號(hào)難打，所以放棄了。公理II順序公理本組公理有四條，規(guī)定了“在之間”這個(gè)關(guān)系。根據(jù)這個(gè)概念，直線(xiàn)上的，平面上的，空間上的點(diǎn)才有順序可言。II1：對(duì)于點(diǎn)A,B,C，如果BAC，則點(diǎn)A,B,C是直線(xiàn)上不同的三點(diǎn)；這時(shí)，BCA也成立；（如圖）II2: 對(duì)于點(diǎn)A,Ba，恒有一點(diǎn)Ca，使得B

5、AC；（如上圖）II3:一直線(xiàn)的任意三點(diǎn)中，至多有一點(diǎn)在其他兩點(diǎn)間；根據(jù)上面，我們就可以定義線(xiàn)段了：對(duì)于直線(xiàn)a和直線(xiàn)上的兩點(diǎn)A,B；我們把這一點(diǎn)對(duì)A,B稱(chēng)為線(xiàn)段，用AB或BA表示。在A和B之間的點(diǎn)叫做線(xiàn)段AB的點(diǎn)；A點(diǎn)和B點(diǎn)叫做線(xiàn)段AB的端點(diǎn)。II4:設(shè)A,B,C是不在同一個(gè)平面的三點(diǎn)：對(duì)于在平面ABC且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C的直線(xiàn)a，若a交于線(xiàn)段AB的一點(diǎn)，則它必定交于線(xiàn)段AC或CB的一點(diǎn)（如圖）以上。接下來(lái)定義射線(xiàn)先定義同側(cè)：設(shè)A,A,O,B是直線(xiàn)a上的四點(diǎn)，而O在A,B之間，但不在A,A之間，則A和A稱(chēng)為在a上點(diǎn)O的同側(cè)，而A,B兩點(diǎn)稱(chēng)為異側(cè)。那么射線(xiàn)就定義為直線(xiàn)a上點(diǎn)O同側(cè)的點(diǎn)的全體。比如

6、與上圖關(guān)于點(diǎn)O與B同側(cè)的射線(xiàn)我們記為OB（雖然跟線(xiàn)段的記號(hào)一樣，但注意不要混淆）公理III合同公理本組公理包含五條公理，主要說(shuō)明幾何對(duì)象“相等”的關(guān)系。III1：對(duì)于線(xiàn)段AB和一點(diǎn)A，恒有一點(diǎn)B，使得線(xiàn)段AB與線(xiàn)段AB相等，記為AB=A'B'因?yàn)榫€(xiàn)段與端點(diǎn)的次序無(wú)關(guān)，所以一下四個(gè)等式的意義相同：AB=A'B'，AB=B'A'，BA=A'B'，BA=B'A'III2：若AB=A'B'且AB=A"B"，則A'B'=A"B"；（根據(jù)1,2，我們才能得

7、到線(xiàn)段AB與自己相等，才能得到AB=A'B'與A'B'=AB等價(jià)，這并不是不證自明的事實(shí)，有了這個(gè)我們才能說(shuō)兩線(xiàn)段“互相相等”?？偠灾鶕?jù)1,2我們才能得到線(xiàn)段相等的“反身性”，“對(duì)稱(chēng)性”，和“傳遞性”，這才說(shuō)明這是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。）III3：線(xiàn)段AB，BC在同一直線(xiàn)a上，且無(wú)公共點(diǎn)；線(xiàn)段AB，BC在同一直線(xiàn)a上，且也無(wú)公共點(diǎn)。如果AB=AB'且BC=B'C',則AC=AC'這條公理還要求線(xiàn)段能夠相加，可以定義AB+BC=AC（其中A,B,C共線(xiàn)）相當(dāng)于線(xiàn)段一樣，我們也這樣來(lái)規(guī)定角相等。我們先定義角的概念：對(duì)于不同一直線(xiàn)的三點(diǎn)O,

8、A,B，射線(xiàn)OA，和射線(xiàn)OB的全體我們稱(chēng)為角，記為AOB。O稱(chēng)為AOB的頂點(diǎn)，射線(xiàn)OA，和射線(xiàn)OB稱(chēng)為AOB的邊。同樣與A,B的次序無(wú)關(guān)。根據(jù)定義，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考慮的范圍內(nèi)。III4：對(duì)于AOB，和一條射線(xiàn)OA，在射線(xiàn)OA所在的一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一條射線(xiàn)OB，使得AOB與A'O'B'相等，記為AOB=A'O'B'。而且有AOB=AOB。如同線(xiàn)段一樣，下面四條等式的意義是一樣的AOB=A'O'B'，AOB=B'O'A',BOA=A'O'B',BOA=

9、B'O'A'然后先定義三角形：線(xiàn)段AB,BC,CA所構(gòu)成的圖形，記為ABC。III5：若ABC與A'B'C'，有下列等式AB=A'B',AC=A'C',BAC=B'A'C'則有ABC=A'B'C', ACB=A'C'B'.這條公理可以理解為三角形全等（SAS），事實(shí)上SAS這個(gè)公理的直接推論。公理IV平行公理這條公理顯得很蒼白，但在歷史上很重要先定義平行：對(duì)于同一平面上的兩條直線(xiàn)線(xiàn)a和b，a與b無(wú)公共點(diǎn)，則稱(chēng)a與b平行，記為ab.IV（歐幾里得

10、平行公理）：設(shè)a是任意一條直線(xiàn)，A是a外的任意一點(diǎn)，在a和A所決定的平面上，至多有一條直線(xiàn)b，使得Ab且ab。根據(jù)這個(gè)公理，我們可以得到平行線(xiàn)內(nèi)錯(cuò)角，同位角相等；反之也成立。公理V連續(xù)公理V1（阿基米德原理）：對(duì)于線(xiàn)段AB,CD，則必定存在一個(gè)數(shù)n，使得沿著射線(xiàn)AB，自A作首尾相連的n個(gè)線(xiàn)段CD，必將越過(guò)B點(diǎn)。在這里必須說(shuō)下數(shù)的阿基米德原理：任意給定兩個(gè)數(shù)a,ba,b0，必存在正整數(shù)n，使na>bV2（直線(xiàn)完備公理）：將直線(xiàn)截成兩段a,b(不是直線(xiàn))，對(duì)于任意的Aa，Bb，則總存在一個(gè)點(diǎn)C，CAB。也就是說(shuō)，不再存在一點(diǎn)不在直線(xiàn)上，把這點(diǎn)添加到直線(xiàn)上之后，仍滿(mǎn)足前面的公理IIV的（書(shū)上的

11、描述太籠統(tǒng)，我還是用我自己的話(huà)說(shuō)了）要注意的是直線(xiàn)完備公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公理的相容性這里所謂的相容性，就是這五組公理是互不矛盾的。也就是說(shuō)，不能從這些公理推導(dǎo)到相矛盾的結(jié)果。但是，如果直接從公理出發(fā)證明相容性幾乎是一件不可能的事情（而且如果一個(gè)公理體系含有皮亞諾算術(shù)公理的話(huà)，這還是一個(gè)不可能的事情，這是根據(jù)哥德?tīng)柌煌耆ɡ淼玫降模?，那么我們?yīng)該如何來(lái)證明呢？希爾伯特將方向轉(zhuǎn)向了“數(shù)”。我們只說(shuō)明平面幾何（因?yàn)楹谜f(shuō)明），立體幾何類(lèi)似。我們考慮的是實(shí)數(shù)域R。 點(diǎn)我們用實(shí)數(shù)對(duì)x,y來(lái)表示：P=x,y； 直線(xiàn)我們用Ax+By+C=0來(lái)表示：l=x,y|Ax+By+C=0。 兩條

12、直線(xiàn)A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0平行，當(dāng)且僅當(dāng)A2B1-A2B1=0 點(diǎn)P在直線(xiàn)l上：Pl 點(diǎn)Bx2,y2在點(diǎn)Ax1,y1與點(diǎn)Cx3,y3之間：BAC=x1<x2<x3x3<x2<x1A,B,C共線(xiàn)； 對(duì)于點(diǎn)，線(xiàn)的平移，對(duì)稱(chēng)，旋轉(zhuǎn)的變換，我們用一個(gè)變換來(lái)表達(dá)：x'=ax+by+uy'=cx+dy+v，其中ad-bc=1然后如果線(xiàn)段相等就是，兩線(xiàn)段在以上的坐標(biāo)變換中能重合，角亦然。（PS把線(xiàn)段和角也看做點(diǎn)的集合，定義懶得寫(xiě)了）那么用以上規(guī)定幾何對(duì)象公理I（關(guān)聯(lián)公理）顯然都是成立的，只需要用到規(guī)定。公理II（順序公理）顯然也都是成立的，

13、再加上規(guī)定。公理III（合同公理）也是成立的，加上規(guī)定。需要一點(diǎn)點(diǎn)論述，就是點(diǎn)與直線(xiàn)在經(jīng)過(guò)的變換后仍然是我們所研究的幾何對(duì)象（也就是說(shuō)x,y都還是實(shí)數(shù)，其實(shí)就是要說(shuō)明a2+b2形的數(shù)還是實(shí)數(shù)，這是顯然的）公理IV（平行公理）在直線(xiàn)的這種規(guī)定下是成立的。公理V（連續(xù)公理）根據(jù)實(shí)數(shù)的完備性，還有實(shí)數(shù)是阿基米德域這一性質(zhì)可以直接得到。也就是說(shuō)我們所做的規(guī)定都是滿(mǎn)足“稱(chēng)為幾何”的性質(zhì)的，我們便可以將這些實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)對(duì)作為幾何對(duì)象。那么這樣，就把這五組公理的相容性就與算術(shù)的相容性聯(lián)系在了一起了。那么只需要證明算術(shù)的相容性就可以了。關(guān)于算術(shù)的相容性，這里是對(duì)于實(shí)數(shù)理論，但是其相容性能在自身證明（這是個(gè)完備的

14、公理系統(tǒng)）。但是按照希爾伯特的意愿一般來(lái)說(shuō)指的是皮亞諾算術(shù)公理的相容性，不過(guò)根據(jù)哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?，這是在算術(shù)公理內(nèi)是無(wú)法自證的，只能根據(jù)另外一個(gè)跟更強(qiáng)的公理系統(tǒng)（比如說(shuō)集合論ZFC公理）來(lái)證明，可是這“另外一個(gè)公理系統(tǒng)”的相容性，又不能用自身證明了= =（根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性）。簡(jiǎn)短提一下的是，這個(gè)幾何公理系統(tǒng)不僅是相容的，而且是完備的（就是這個(gè)公理的任一語(yǔ)句都能在這個(gè)公理系統(tǒng)內(nèi)證明，即確定其真值）三、平行公理的獨(dú)立性（非歐幾何）我們知道了公理的相容性之后，其實(shí)還有一個(gè)有趣的問(wèn)題是公理的獨(dú)立性，雖然這并不影響論證（多

15、些方便的公理還方便于論證呢），但是數(shù)學(xué)家們總喜歡簡(jiǎn)潔的東西額不說(shuō)了。什么是獨(dú)立性？就是一個(gè)公理不能是其他公理的邏輯推論。如何證明這里某個(gè)公理獨(dú)立性？一個(gè)辦法就是剔除掉這個(gè)公理，然后根據(jù)其它公理構(gòu)建一個(gè)新的模型，使得被剔除掉的公理不滿(mǎn)足于這個(gè)模型。歷史上最令人爭(zhēng)議的就是平行公理了，也就是用歐幾里得提出的公理來(lái)證明平行公設(shè)當(dāng)然都失敗了。之后，人們就發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。什么是非歐幾何學(xué)？其實(shí)就是滿(mǎn)足以上除了平行公理的所有公理的幾何模型。既然有了非歐幾何，那么平行公里的獨(dú)立性就不證自明了?，F(xiàn)在主要是分成兩種，一個(gè)是黎曼幾何，一個(gè)是羅氏幾何。然而黎曼幾何我不清楚（手頭的書(shū)也沒(méi)有），所以我不提對(duì)于羅氏幾何，來(lái)

16、代替原來(lái)平行公理的公理描述如下：如果b是任一直線(xiàn)，且A是不在b上，則過(guò)點(diǎn)A有不在同一直線(xiàn)的兩條射線(xiàn)a1，a2，它們與b都不相交，而且在a1，a2所成角內(nèi)的任一射線(xiàn)都與b都相交。那么a1，a2所在的直線(xiàn)稱(chēng)為與b平行然后非歐幾何學(xué)最簡(jiǎn)單的一個(gè)特例就是球面幾何，連高中選修都會(huì)講到只需要定義“直線(xiàn)”為大圓便好我就不深入了。四、合同公理的獨(dú)立性相對(duì)平行公理來(lái)說(shuō)，合同公理的獨(dú)立性并沒(méi)有在歷史上并沒(méi)有引起太大的爭(zhēng)議。因?yàn)楹贤?4并沒(méi)有什么卵用，所以我們只需要說(shuō)明公理III5(可以說(shuō)是三角形全等的SAS)具有獨(dú)立性就好。一般來(lái)說(shuō)，我們定義線(xiàn)段相等就是長(zhǎng)度相等，角相等就是角度相等，而我們所說(shuō)的長(zhǎng)度，比如對(duì)A

17、x1,y1, Bx2,y2，AB的長(zhǎng)度就為x2-x12+y2-y12，這個(gè)可以在前面在規(guī)定坐標(biāo)變換中得到。接下來(lái)我們便拋棄這個(gè)“長(zhǎng)度”的設(shè)定（就是拋棄上面規(guī)定中線(xiàn)段相等的定義），噢，要保留原來(lái)角相等的設(shè)定。我們新定義一個(gè)長(zhǎng)度：對(duì)于Ax1,y1, Bx2,y2，AB的長(zhǎng)度就為x2-x1+y2-y12+y2-y12規(guī)定線(xiàn)段相等就是長(zhǎng)度相等。在這個(gè)規(guī)定下驗(yàn)算公理I,II,III14,IV,V都是成立的。只不過(guò)唯獨(dú)對(duì)于III5就不一定成立了。舉一個(gè)反例：顯然AOC=COB，OA=OC=OB。按照公理III5有BAO=ACO，但是在這種規(guī)定下顯然BAOACO。從而證明了公理III5的獨(dú)立性。五、連續(xù)公理

18、的獨(dú)立性這是我們要敘述獨(dú)立性的最后一組公理（其他的沒(méi)必要）。同上面的方法一樣，我們又得找一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象只滿(mǎn)足公理IIV了。我們又是要把研究的方向轉(zhuǎn)向了數(shù)。其實(shí)在說(shuō)明五組公理的相容性的時(shí)候我們是用了實(shí)數(shù)域R來(lái)構(gòu)建幾何，其實(shí)域有許許多多，而實(shí)數(shù)恰好又滿(mǎn)足眾多域不滿(mǎn)足的性質(zhì)：完備性，阿基米德原理。那么其實(shí)我們只要找一個(gè)域不滿(mǎn)足這兩個(gè)性質(zhì)的就好，然而這樣的域又有許許多多。（域通俗來(lái)說(shuō)就是滿(mǎn)足加減乘除的東西的集合，當(dāng)然還要滿(mǎn)足乘法交換率）首先我們很容易就構(gòu)建一個(gè)域F，從1開(kāi)始，其加減乘除，還有1+2（是經(jīng)過(guò)這五種運(yùn)算的結(jié)果）的得到的所有結(jié)果都放在F里。那么這個(gè)域的數(shù)字構(gòu)造的幾何對(duì)象滿(mǎn)足公理IIV，但是因?yàn)?/p>

19、其自身并不滿(mǎn)足完備性（也就是畫(huà)出來(lái)的數(shù)軸有“洞”），比如說(shuō)F，也就從而說(shuō)明了完備性的獨(dú)立性。題外話(huà)，這個(gè)域F其實(shí)挺重要的，在證明尺規(guī)作圖的可行性就是基于這個(gè)域。然后是非阿基米德域，也就是不滿(mǎn)足阿基米德原理的數(shù)域，舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，一個(gè)集合Q2a+b2|a,bQ，可以驗(yàn)證其加減乘除都在Q2里，所以這是一個(gè)域。這是實(shí)數(shù)的一個(gè)子集，我們一般描述這個(gè)集合里這些數(shù)的序關(guān)系是最簡(jiǎn)單的 大小 關(guān)系，比如說(shuō)2+21+22。然后我們要構(gòu)建一個(gè)新的描述這些數(shù)的序關(guān)系，在這個(gè)序關(guān)系下Q2是一個(gè)非阿基米德域。定義序關(guān)系:a+b2c+d2bdb=dac舉個(gè)例子1+2210000+2；3+22+22等等。也就是優(yōu)先比較2

20、b的大小.那么在這個(gè)順序關(guān)系下，Q2并不滿(mǎn)足阿基米德原理（由讀者自己驗(yàn)證），所以這是一個(gè)非阿基米德域。當(dāng)然非阿基米德域還有好多好多，比如說(shuō)上面的域F，也可以找一個(gè)類(lèi)似的序關(guān)系來(lái)代替掉大小關(guān)系（這種序關(guān)系），使得F是一個(gè)非阿基米德域。再構(gòu)造幾何對(duì)象，那就是一個(gè)除了連續(xù)公理（完備性和阿基米德原理兩個(gè)個(gè)都不滿(mǎn)足）的幾何體系了。不過(guò)值得注意的是同時(shí)滿(mǎn)足阿基米德原理和完備性的就只有實(shí)數(shù)R了。這點(diǎn)也說(shuō)明了希爾伯特幾何的唯一性。六、一些補(bǔ)充皮亞諾算術(shù)公理1. xSx00不是任何數(shù)的后繼數(shù)2. xySx=Syx=yx與y的后繼數(shù)相等，則x與y相等3. 0xxSxxx，x為算術(shù)公理的任一公式這個(gè)就是數(shù)學(xué)歸納法4

21、. xx+0=xx1=x存在零元和幺元5. xySx+y=x+Sy加法的定義6. xyxSy=xy+x乘法的定義這里Sx就是后繼數(shù)，比如1的后繼數(shù)就是2.這里的公理3,5,6決定了皮亞諾公理的不完備性，具體怎樣就不說(shuō)了，哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ淼淖C明用的是遞歸函數(shù)，然后遞歸函數(shù)又是以公理3,5,6所定義的。實(shí)數(shù)公理約定，所有實(shí)數(shù)記為R，一部分實(shí)數(shù)X，記為XR;X中存在實(shí)數(shù)x，則記為xX1. 加法公理1) xx+0=0+x=x零元存在性2) x-xx+-x=-x+x=0存在相反數(shù)3) xyzx+y+z=x+y+z加法結(jié)合律4) xyx+y=y+x加法交換律2. 乘法公理1) xx1=1x=x幺元存在性2

22、) xx-1x0xx-1=x-1x=1存在倒數(shù)3) xyzxyz=xyz乘法結(jié)合律4) xyxy=yx乘法交換律3. 乘法對(duì)加法的分配率1) xyzxy+z=xy+xz4. 序公理1) xxx反身性2) xyxyyxx=y反對(duì)稱(chēng)性3) xyzxyyzxz傳遞性4) xyxyyx任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都能比較大小5. 加法和乘法與序的關(guān)系1) xyzxyx+zy+z不等式兩端同時(shí)加上一個(gè)實(shí)數(shù)，不等號(hào)方向不改變2) xy0x0y0xy正數(shù)之積為正數(shù)6. 完備公理1) XYxycxXyYxyxcy對(duì)于任意的兩部分實(shí)數(shù)X,Y，滿(mǎn)足對(duì)于任意實(shí)數(shù) xX, yY，有xy，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使得xcy。對(duì)于完備公理，要說(shuō)明一下，這里用的是二階邏輯來(lái)寫(xiě)的。還有只有R才滿(mǎn)足。舉個(gè)例子。如果自然數(shù)Q，滿(mǎn)足完備公理，我把自然數(shù)分成兩部分：x|xx<2， x|xx>2，那么不存在一個(gè)數(shù)xcy（xx|xx<2, yx|xx<2）,這個(gè)數(shù)就是2.這里對(duì)應(yīng)的就是直線(xiàn)的完備公理。關(guān)于公理系統(tǒng)什么是公理系統(tǒng)？一個(gè)公理系統(tǒng)可以這樣理解：它是一個(gè)形式化的語(yǔ)言，由字符表（比如幾何公理中用A，a，表示的點(diǎn)線(xiàn)面），形成規(guī)則（邏輯公理，就是推理的規(guī)則，還有非邏輯公理，就是我們給出的公理，比如說(shuō)完備公理），還有公式（按照形成規(guī)則構(gòu)成的