帶電粒子在磁場中運動最小面積問題

1、帶電粒子在磁場中運動最小面積問題例1.在xOy平面內有許多電子（質量為m,電荷量為e）,從坐標原點O不斷以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如圖所示.現(xiàn)加上一個垂直于xOy平面的磁感應強度為B的勻強磁場,要求這些電子穿過該磁場后都能沿平行于x軸正方向運動,試求出符合條件的磁場最小面積.例2一質量為m、帶電荷量為q的粒子以速度v0從O點沿y軸正方向射入磁感應強度為B的一圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向夾角30°，如圖所示(粒子重力忽略不計)試求： (1)圓形磁場區(qū)域的最小面積(2)粒子從O點進入磁場區(qū)域到達b點所經

2、歷的時間(3)b點的坐標例3一個質量為m，帶q電量的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點 圖示 (CMCN)垂直于AC邊飛出三角形ABC，可在適當?shù)奈恢眉右粋€垂直于紙面向里，磁感應強度為B的勻強磁場若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區(qū)域內，且不計粒子的重力試求： (1)粒子在磁場里運動的軌跡半徑r及周期T； (2)該粒子在磁場里運動的時間t； (3)該正三角形磁場區(qū)域的最小邊長； 針對訓練1(09年海南高考)如圖甲所示，ABCD是邊長為a的正方形質量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射

3、入正方形區(qū)域在正方形內適當區(qū)域中有勻強磁場電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場不計重力，求：(1)此勻強磁場區(qū)域中磁感應強度的大小和方向(2)此勻強磁場區(qū)域的最小面積2（09年福建卷）圖為可測定比荷的某裝置的簡化示意圖，在第一象限區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B=2.0×10-3T,在X軸上距坐標原點L=0.50m的P處為離子的入射口，在Y上安放接收器，現(xiàn)將一帶正電荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率從P處射入磁場，若粒子在y軸上距坐標原點L=0.50m的M處被觀測到，且運動軌跡半徑恰好最小，設帶電粒子的質量為m,電量為q,不記其重力。（1

4、）求上述粒子的比荷q/m（2）如果在上述粒子運動過程中的某個時刻，在第一象限內再加一個勻強電場，就可以使其沿y軸正方向做勻速直線運動，求該勻強電場的場強大小和方向，并求出從粒子射入磁場開始計時經過多長時間加這個勻強電場；（3）為了在M處觀測到按題設條件運動的上述粒子，在第一象限內的磁場可以局限在一個矩形區(qū)域內，求此矩形磁場區(qū)域的最小面積，并在圖中畫出該矩形。3、（1994年全國高考試題）如圖12所示，一帶電質點，質量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應強

5、度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。  4.2010·寧波模擬 如圖甲所示，水平放置的平行金屬板A和B間的距離為d，板長L2d，B板的右側邊緣恰好是傾斜擋板NM上的一個小孔K，NM與水平擋板NP成60°角，K與N間的距離Ka.現(xiàn)有質量為m、帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點O以平行于金屬板方向OO的速度v0不斷射入，不計粒子所受的重力 (1)若在A、B板上加一恒定電壓UU0，則要使粒子穿過金屬板后恰好打到小孔K，求U0的大小 (2)若在A、B板上加上如圖乙所示的電壓，電壓為正表示A板比B板的

6、電勢高，其中T，且粒子只在0時間內入射，則能打到小孔K的粒子在何時從O點射入？(3)在NM和NP兩擋板所夾的某一區(qū)域存在一垂直紙面向里的勻強磁場，使?jié)M足條件(2)從小孔K飛入的粒子經過磁場偏轉后能垂直打到水平擋板NP上(之前與擋板沒有碰撞)，求該磁場的磁感應強度的最小值5.如圖，一帶電粒子以某一速度在豎直平面內做勻速直線運動，經過一段時間后進入一垂直于紙面向里、磁感應強度為B的最小的圓形勻強磁場區(qū)域(圖中未畫出磁場區(qū)域)，粒子飛出磁場后垂直電場方向進入寬為L的勻強電場，電場強度大小為E，方向豎直向上當粒子穿出電場時速率變?yōu)樵瓉淼?倍已知帶電粒子的質量為m，電荷量為q，重力不計粒子進入磁場前的速

7、度與水平方向成60°角試回答：(1)粒子帶什么電？(2)帶電粒子在磁場中運動時速度多大？(3)該最小的圓形磁場區(qū)域的面積為多大？參考答案例1.在xOy平面內有許多電子（質量為m,電荷量為e）,從坐標原點O不斷以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如圖所示.現(xiàn)加上一個垂直于xOy平面的磁感應強度為B的勻強磁場,要求這些電子穿過該磁場后都能沿平行于x軸正方向運動,試求出符合條件的磁場最小面積.解：由于電子在磁場中作勻速圓周運動的半徑Rmv0/Be是確定的，設磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運動軌道如圖所示，因為電子只能向第一象限平面內發(fā)射，所以電子運動的最上面一條軌跡必為圓O1，它

8、就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點O為圓心，以R為半徑的圓弧O1O2On。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識有電子的飛出點必為每條可能軌跡的最高點。如對圖中任一軌跡圓O2而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場，過O2作弦的垂線O2A，則電子必將從點A飛出，相當于將此軌跡的圓心O2沿y方向平移了半徑R即為此電子的出場位置。由此可見我們將軌跡的圓心組成的圓弧O1O2On沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場的下邊界，圖中圓弧OAP示。綜上所述，要求的磁場的最小區(qū)域為弧OAP與弧OBP所圍。利用正方形OO1PC的面積減去扇形OO1P的面積即為OBPC的面

9、積；即R2-R2/4。根據幾何關系有最小磁場區(qū)域的面積為S2（R2-R2/4）（/2 -1）（mv0/Be）2。例2. 一質量為m、帶電荷量為q的粒子以速度v0從O點沿y軸正方向射入磁感應強度為B的一圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向夾角30°，如圖所示(粒子重力忽略不計)試求： (1)圓形磁場區(qū)域的最小面積(2)粒子從O點進入磁場區(qū)域到達b點所經歷的時間(3)b點的坐標解析：(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑R由圖可知aOb60°磁場區(qū)域最小半徑rRcos 30°磁場區(qū)域最小面積Sr2.(2)由

10、O到a過程所經歷的時間t1由幾何關系得abR粒子由a到b所經歷的時間t2粒子從O點進入磁場區(qū)域到達b點所經歷的時間tt1t2()(3)因為sin 30°，Ob2R得Ob3R故b點的坐標為(，0)例3、一個質量為m，帶q電量的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點 圖示 (CMCN)垂直于AC邊飛出三角形ABC，可在適當?shù)奈恢眉右粋€垂直于紙面向里，磁感應強度為B的勻強磁場若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區(qū)域內，且不計粒子的重力試求： (1)粒子在磁場里運動的軌跡半徑r及周期T； (2)該粒子在磁場里運動的時間t；

11、 (3)該正三角形磁場區(qū)域的最小邊長；                                               

12、;                     針對訓練1如圖甲所示，ABCD是邊長為a的正方形質量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域在正方形內適當區(qū)域中有勻強磁場電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場不計重力，求：甲(1)此勻強磁場區(qū)域中磁感應強度的大小和方向(2)此勻強磁場區(qū)域的最小面積【答案】(1)方向垂直紙面向外(2)a22（09年福

13、建卷）22.(20分)圖為可測定比荷的某裝置的簡化示意圖，在第一象限區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B=2.0×10-3T,在X軸上距坐標原點L=0.50m的P處為離子的入射口，在Y上安放接收器，現(xiàn)將一帶正電荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率從P處射入磁場，若粒子在y軸上距坐標原點L=0.50m的M處被觀測到，且運動軌跡半徑恰好最小，設帶電粒子的質量為m,電量為q,不記其重力。（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子運動過程中的某個時刻，在第一象限內再加一個勻強電場，就可以使其沿y軸正方向做勻速直線運動，求該勻強電場的場強大小和方向，并求出從粒子射

14、入磁場開始計時經過多長時間加這個勻強電場；（3）為了在M處觀測到按題設條件運動的上述粒子，在第一象限內的磁場可以局限在一個矩形區(qū)域內，求此矩形磁場區(qū)域的最小面積，并在圖中畫出該矩形。答案（1）=4.9×C/kg（或5.0×C/kg）；（2） ； （3）解析：第（1）問本題考查帶電粒子在磁場中的運動。第（2）問涉及到復合場（速度選擇器模型）第（3）問是帶電粒子在有界磁場（矩形區(qū)域）中的運動。（1）設粒子在磁場中的運動半徑為r。如圖甲，依題意M、P連線即為該粒子在磁場中作勻速圓周運動的直徑，由幾何關系得 由洛倫茲力提供粒子在磁場中作勻速圓周運動的向心力，可得 聯(lián)立并代入數(shù)據得=

15、4.9×C/kg（或5.0×C/kg） （2）設所加電場的場強大小為E。如圖乙，當粒子子經過Q點時，速度沿y軸正方向，依題意，在此時加入沿x軸正方向的勻強電場，電場力與此時洛倫茲力平衡，則有 代入數(shù)據得 所加電場的長槍方向沿x軸正方向。由幾何關系可知，圓弧PQ所對應的圓心角為45°，設帶點粒子做勻速圓周運動的周期為T，所求時間為t，則有 聯(lián)立并代入數(shù)據得 （3）如圖丙，所求的最小矩形是，該區(qū)域面積 聯(lián)立并代入數(shù)據得 矩形如圖丙中（虛線）、3、（1994年全國高考試題）如圖12所示，一帶電質點，質量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限

16、所示的區(qū)域。為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。  解析：質點在磁場中作半徑為R的圓周運動， qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。 根據題意，質點在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過a點作平行于x軸的直線，過b點作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O點就是圓周的圓心。質點在磁場區(qū)域中的軌道就是以O為圓心

17、、R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN，M點和N點應在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。  在通過M、N兩點的不同的圓周中，最小的一個是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為： ， 所求磁場區(qū)域如圖13所示中實線圓所示。42010·寧波模擬 如圖395甲所示，水平放置的平行金屬板A和B間的距離為d，板長L2d，B板的右側邊緣恰好是傾斜擋板NM上的一個小孔K，NM與水平擋板NP成60°角，K與N間的距離Ka.現(xiàn)有質量為m、帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點O以平行于金屬板方向OO的速度v0不斷射入，不計

18、粒子所受的重力圖395(1)若在A、B板上加一恒定電壓UU0，則要使粒子穿過金屬板后恰好打到小孔K，求U0的大小(2)若在A、B板上加上如圖乙所示的電壓，電壓為正表示A板比B板的電勢高，其中T，且粒子只在0時間內入射，則能打到小孔K的粒子在何時從O點射入？(3)在NM和NP兩擋板所夾的某一區(qū)域存在一垂直紙面向里的勻強磁場，使?jié)M足條件(2)從小孔K飛入的粒子經過磁場偏轉后能垂直打到水平擋板NP上(之前與擋板沒有碰撞)，求該磁場的磁感應強度的最小值例3(1)(2)tx(3)解析 (1)A、B板間加上電壓后，帶電粒子做類平拋運動，則：Lv0tt2把L2d代入式可得：U0(2)粒子在水平方向做勻速直線

19、運動，粒子運動的時間均為t，設粒子在tx時刻進入金屬板，則在tx時刻開始做類拋運動，平拋的時間為tx，則：t把代入式可得：tx(3)在射入的粒子，在進入K時豎直方向的分速度為vy，則vyatx·tan vv0則30°，即粒子垂直MN板入射如圖甲所示，粒子從K點入射后做勻速直線運動從D點開始進入磁場，粒子在進入磁場后，根據左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子能垂直打到水平擋板NP，則粒子需偏轉300°后從E射出，做勻速直線運動垂直打到NP.粒子做圓周運動時，洛倫茲力提供向心力，即qvB可得B要使B最小，則要半徑r最大，臨界情況是圓周運動的軌跡恰好跟兩擋板相切，如圖乙所示，根據對稱