恒成立和存在性問題的解題策略

1、WORD格式整理版“恒成立問題與“存在性問題的根本解題策略一、“恒成立問題與“存在性問題的根本類型恒成立、能成立、恰成立問題的根本類型1、 恒成立問題的轉(zhuǎn)化：a f x恒成立=a . f x咧；a遼f x恒成立=a遼f x min2、 能成立問題的轉(zhuǎn)化：a f x能成立=a . f x min ； a _ f x能成立=a _ f x max3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：a f x在 M上恰成立：二a f x的解集為la f x在M上恒成立M：=一a <f (x 在CrM上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：假設 X,D,f(X)_A在D上恰成立,等價于 f (x)在D上的最小值 Jin(X)二A, 假設X,D

2、, f(X)乞B在D上恰成立,那么等價于 f (x)在D上的最大值fmax(X)= B.4、設函數(shù)f x、g x,對任意的Xi三a , b 1,存在X2 C , d丨,使得f Xi _ g X2,那么fmin X -gm in X5、設函數(shù)f x、g x,對任意的x1 h , b 1,存在x2 ：c, d 1,使得f論乞g x2,那么m axX - gm ax X6、設函數(shù)f x、f m axX gm i nx7、設函數(shù)f X、g X,存在Xia , b 1,存在X2c, d 1,使得 fXi- gX2,那么g X,存在Xia , b 1,存在X2c , d 1,使得 fXi- gX2,那么學

3、習參考好幫手fm i nX g m a xX&設函數(shù)f x、g x,對任意的xa , b 1,存在x2 C, d 1,使得f xi二g x2,設f(x)在區(qū)間a,b上的值域為A,g(x)在區(qū)間c,d上的值域為B,那么A B.D上函數(shù)y = f x和圖象在函D上函數(shù)y = f x和圖象在函9、假設不等式f x、g x在區(qū)間D上恒成立,那么等價于在區(qū)間數(shù)y = g x圖象上方;I0、假設不等式f x : g x在區(qū)間D上恒成立,那么等價于在區(qū)間數(shù)y = g x圖象下方;恒成立問題的根本類型在數(shù)學問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題,其表現(xiàn)形式通

4、常有：在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立；某某表達式的值恒大于 a等等,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起函數(shù)的定義域為全體實數(shù) R;某不等式的解為一切實數(shù) 恒成立問題,涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象 數(shù)與方程等思想方法,有利于考查學生的綜合解題水平,WORD格式整理版到了積極的作用.因此也成為歷年高考的一個熱點.恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量別離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖象.二、恒成立問題解決的根本策略大家知道,恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題.等式中的恒成立問題,特別是多項式

5、恒成立問題,常簡化為對應次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個方程組來解決問題的.(一) 兩個根本思想解決“恒成立問題思路1、m _ f(x)在D上恒成立：二m_f(x)max思路2、m込f(x)在D上恒成立 = mf(x)min如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習題的實際,采取合理 有效的方法進行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角 函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導等等方法求函數(shù)f (X)的最值.這類問題在數(shù)學的學習涉及的知識比擬廣泛,在處理上也有許多特殊性,也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型,希望同學們在日常學習中注意積累.(二) 、賦值

6、型一一利用特殊值求解等式恒成立問題等式中的恒成立問題,常常用賦值法求解,特別是對解決填空題、選擇題能很快求得例1.如果函數(shù)y=f(x)=s in 2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=對稱,那么a=()8A. 1B.-1C.T2D.-.2 .兀略解：取x=0及x= -那么 f(0)=f(-),即 a=-1 ,應選B.44此法表達了數(shù)學中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想._ .432432例(備用).由等式 x+aix+a2x+a3x+a4= (x+1) +bi(x+1) + b2(x+1) +b3(x+1)+b 4 定義映射 f:(a i,a 2,a 3,a 4) f i+b2+b3+b4,那么 f: (

7、4,3,2,1)()A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0,貝U a 4=l+b計b2+b3+b4,又 a 4=1,所以 bi+b2+b3+b4 =0,應選 D(三) 分清根本類型,運用相關(guān)根本知識,把握根本的解題策略1、一次函數(shù)型：假設原題可化為一次函數(shù)型,那么由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識求解,十分簡捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a豐0),假設y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0 ,那么根據(jù)函數(shù)的圖象(直 線)可得上述結(jié)論等價于WORD格式整理版例2 .對于滿足|a| <2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍. 分析：在不等

8、式中出現(xiàn)了兩個字母： x及a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量,另一個作為常數(shù).顯然可將a視作自變量,那么上述問題即可轉(zhuǎn)化為在 -2,2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0 恒成立的問題2解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x -2x+1>0在|a| _2時恒成立,設 f(a)= (x-1)a+x-2x+1,那么 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有:-4x 30解得:-1 0 x<-1 或 x>3.即 x ( 8, 1) U (3,+ 8)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段,故只需保證該線段兩端點均在x軸上方(或下方)即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復習的

9、重點,同學們要增強學習、歸納、總結(jié),提煉出一些具體的方 法,在今后的解題中自覺運用.(1) 假設二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a豐0)大于0恒成立,那么有a 0且二；-0(2) 假設是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題,可以利用韋達定理以及根的分布知識求解.2類型1 ：設f (x) = ax bx c(a = 0)在r上恒成立,(1) f (x) -0在x R 上恒成立：二 a .0且.：0 ;(2) f (x) : 0 在R 上恒成立=&：0且：0.類型2：設f (x)二ax2 bx c(a = 0)在區(qū)間 ' ,:上恒成立(1)當a>0時,f(x) >0在xEa

10、,P上恒成立= 2a 或 2a或t 2a,fC) 0 <0f( -) 0亠匸r" f (a) c 0f(x)<0在上恒成立二 門(P) <0(2)當 a :： 0時,f(x) . 0在x :,'上恒成立f(：) 0f(-) 0f(x) <0在:, 上恒成立=-b<a . 'a < -b鄧Jb 2a或2a或2af(：)0. ： :：: 0f( -)： 02:上恒成立類型 3：設 f (x) = ax bx c(a = 0)在區(qū)間(-mf(x)>0 =a>0 且 <0 或-b/2a> :且 f( ： )>0

11、f(x)<0 ：=a<0 且 <0 或-b/2a> :且 f( : )<02類型4：設f (x)二ax bx c(a = 0)在區(qū)間:, +m)上恒成立f(x)>0 ：= a>0, . <0 或-b/2a< :且 f( : )>0f(x)<0 ：= a<0, . <0 或-b/2a< :且 f( : )<0例3.假設函數(shù)f (x)二時心21)x2 +(a1)x的定義域為R,求實數(shù) a的取值范圍 耳a +12 2 2分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù) (a2 -1)x2 (a -1)x0在R上恒成立問題,并且注a

12、+1意對二次項系數(shù)的討論.解：依題意,當x R時,2 2 2(a -1)x (a -1)x0恒成立,a +1a2= 0所以,當a2 -1=0,即當時,a =1,a n此時2 2(a -1)x (a)x a 11-0,. a =1.學習參考好幫手當a2 -1 a0,十0時,即當-(a_1)2_4(a2_1)丄“時,a21"49,綜上所述,f(x)的定義域為R時,.1,9-10a9 乞0,_ 2 _ _例4.函數(shù)f(x)=x ax a,在R上f(x)_O恒成立,求a的取值范圍分析：y二f(x)的函數(shù)圖像都在 X軸及其上方,如右圖所示：略解：,=a2-4 3a =a2 4a12 豈 0 6

13、a2變式1 ：假設1-2,2 時,f (x) _ 0恒成立,求a的取值范圍.解析一 (零點分布策略)此題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論,分無零點、零點在區(qū)間的左側(cè)、零點在區(qū)間的右側(cè)三種情況,3>0或/ 2 ,即a的取值范圍為-7,2. f (-2) K0f (2) >0解法二分析：(運用二次函數(shù)極值點的分布分類討論)要使1-2,2 1時,f (x) 一 0恒成立,只需f (x)的最小值g(a)_0即可.(a -2 a2略解：(分類討論)f (x)二xa 3,令f (x)在丨-2,2 上的最小值為g(a).I 2丿4a7當2,即 a 4時,g(a) = f(-2) =7

14、- 3a 一0 . a 又：a 423-a不存在.2當 一2 一 一旦乞 2,即4 a 乞 4 時,g(a)二 f (a) = -aa 3- 0 . - 6 乞 a 豈 2 又224:"-4_a_4-4_a_2當一弓 2,即 a ：-4時,g(a)二f (2=)7a -a - 一7又;a ：-42_ 7 空 a ： _4綜上所述,-7乞a乞2.變式2：假設x 丨-2,2 時,f (x) _ 2恒成立,求a的取值范圍解法一：分析：題目中要證實f (x) _2在丨-2,2 上恒成立,假設把2移到等號的左邊,那么把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1-2,2 時恒大于等于0的問題例2 f (x)

15、 =x2 ax 3 -a,假設x三22, f (x) _0恒成立,求a的取值范圍略解：f (x) = x2 ax 3 - a - 2 _ 0 ,即 f (x) = x2 ax T - a _ 0在丨-2,2 I上成立.,；.=a2 -4 1 -a <0< 2也=a 4(1 a) >0 f( 20/ f (-2) 3 0-a>2 或-a<-2.2 2-2-2：2<a< -2 2 2綜上所述,-5 _a _2.2 -2.解法二：(運用二次函數(shù)極值點的分布)a當2,即 a 4時,g(a)二 f (一2) =73a 一22存在aaa2當 一22,即 一4 空

16、a 乞4 時,g(a)=f( )a,3_2,2242、22a2i224 空 a 空 2.22a當一一 2,即 a ： -4時,g(a)二 f (2) =7 a _2 ,2a - -5 - 5 - a ： -4綜上所述-5乞a豈2 2 -2.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù),求最值時,對于軸變區(qū)間定的情形, 對軸與區(qū)間的位置進行分類討論；還有與其相反的,軸動區(qū)間定,方法一樣對于二次函數(shù)在 R上恒成立問題往往采用判別式法(如例4、例5),而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題3、變量別離型假設在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量,其中一個變量的范圍,另一個變量的范圍為所求, 且容易

17、通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊,那么可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.運用不等式的相關(guān)知識不難推出如下結(jié)論：假設對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立,那么g(a)<f(x) min；假設對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù),都有f(x)<g(a)恒成立,貝U g(a)>f(x) max.(其中f(x) max和f(x) min分別為f(x)的最大值和最小值)2 2 2例5.三個不等式 x -4x 3 ： 0,x -6x 8 ： 0,2x -9x m ： 0 要使同時滿足的所有x的值滿足,求m的取值范圍.略解：由得2<x<3

18、,要使同時滿足 的所有x的值滿足 ,即不等式2x2 -9x m : 0在x (2,3)上恒成立,即 m ： -2x2 9x在x (2,3)上恒成立,又- 2x9x在x(2,3)上大于9,所以 m空92例6.函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在-1,1上單調(diào)遞增,又f(-1)-1,假設f(x)l - 2at 1對所有的-1,1都成立,求t的取值范圍解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱,f(1)=1,又f(x)在-1,1上單調(diào)遞增 f(X)max 二 f(1)"2f(x)乞t -2at 1對所有的a -1,1都成立.2因此,只需t -2at 1大于或等于f(x)在-1,1上的最大值1, t2 -2at 1 _

19、1= t2 -2at -0又打?qū)λ衋-1,1都成立,即關(guān)于a的一次函數(shù)在-1 , 1上大于或等于0恒成立,t2 -2t -0 2t2 2t -0-t _2 或 t = 0或 t-2即：t (-：,-202,：)禾U用變量別離解決恒成立問題,主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題補例.f (x) =x|xa|b,x R .假設b : 0,且對任何x：=0,ll不等式f(x)：0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解：當x=0時,a取任意實數(shù),不等式 f(x) ：0恒成立,b故只需考慮 | 0,11,此時原不等式變?yōu)閨 x - a | ：bb即 x ：:： a ： x 一xx故(x - b)max'

20、bxx:a ：(X )minX 0,1 1= g(1) = 1 b ；x又函數(shù)g(X)= X -在0,1 1上單調(diào)遞增,所以(X * )maxxx對于函數(shù)h(x)二x一,x三i0,1 1x當b "1時,在0,1 1上h(x)單調(diào)遞減,(x-匕馬二h(1) = 1-b,又1 -b 1b ,x所以,此時a的取值范圍是(1 - b,1 -b).當 -1"：0,在 0,1 1上,h(x) =x-_2,-,x當 X-F 時,(X-b)min =2 .二,此時要使a存在,x-j必須有12七 即_仁b c2J2 3,此時a的取值范圍是(1+b,2&b) -1 Wb £0

21、綜上,當 b < -1時,a的取值范圍是 (1b,1-b);當-1 _b ：2、2-3時,a的取值范圍是(1b2.兀)；當2&-34：0時,a的取值范圍是一.4、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)假設函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù),那么對一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；假設函數(shù)y=f(x)的周期為T,那么對一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立.5、直接根據(jù)圖象判斷假設把等式或不等式進行合理的變形后,能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象, 那么可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果.尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷.例7.對任意實數(shù)

22、x,不等式x +1 - x -2 a a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍分析：設y=|x+1|-|x-2|, 對任意實數(shù)x,不等式x+1 x 2>a恒成立即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最小值,畫出此函數(shù)的圖象即可求得a的取值范圍-3x 蘭 _1解：令 y =x+1 x 2 =2x11 cxc2i 3x £2在直角坐標系中畫出圖象如下圖,由圖象可看出,要使故實數(shù)a的取值范圍是(-：,-3).對任意實數(shù)X,不等式X 1 - X -2 a恒成立,只需a ： -3.注：此題中假設將 對任意實數(shù)X,不等式xVx2 a恒成立,求實數(shù)a改為對任意實數(shù)X,不等式x J -x-2 : a恒

23、成立,求實數(shù)a,同樣由圖象可得a>3;對任意實數(shù)X,不等式x+1+x-2>a恒成立,求實數(shù)a,構(gòu)造函數(shù),畫出圖象,得a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題,應先構(gòu)造函數(shù),作出符合條件的圖形,再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系,得出答案或列出條件,求出參數(shù)的范圍例8.設常數(shù)a R,函數(shù)f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.假設函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有公共點,貝U a的取值范圍為.解：1) a<=0x<=a/2<=0 時,f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0 時,f(x)=-3x+(2x-a)

24、=-x-ax>=0 時,f(x)=3x+(2x-a)=5x-a,最小值為-a<=2那么與g(x)有父點,即：-2<=a<=0.2) a>0x<=0 時,f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2 時,f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2 時,f(x)=3x+(2x-a)=5x-a 最小值a<=2時與g(x)有交點,即：0<a<=2綜上所述,-2<=a<=2 時 f(x)=3|x|+|2x-a| 與 g(x)=2-x 有交點.三、在恒成立問題中,主要是求參數(shù)的取值范圍問題,是一種

25、熱點題型,介紹一些根本的解題策 略,在學習中學會把問題分類、歸類,熟練根本方法.(一) 換元引參,顯露問題實質(zhì)1、對于所有實數(shù)x,不等式恒成立,求a的取值范圍.解：由于的值隨著參數(shù)a的變化而變化,假設設,那么上述問題實質(zhì)是“當t為何值時,不等式恒成立.這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題,它等價于求解關(guān)于t的不等式組：.解得 ,即有易得.2、設點P(x, y)是圓x2 (y -1)2 =4上任意一點,假設不等式x+y+c _0恒成立,求實數(shù)c的取值范圍.成立,求m的范圍.(二) 別離參數(shù),化歸為求值域問題3、假設對于任意角總有解：此式是可別離變量型,由原不等式得又,那么原不等式等價變形為恒成立.根據(jù)

26、邊界原理知,必須小于 f(T竺.的最小值,這樣問題化歸為怎樣求cosH + 2的最小值.由于f(T_ cos2 rcos"2O都有實根,求實根的范圍.m的根,再由m的范圍來確定根x的范圍,但這樣會即時,有最小值為0,故(三) 變更主元,簡化解題過程4、假設對于,方程解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)遇到很多麻煩,假設以 m為主元,那么由原方程知,得又,即解之得或.5、當a <1時,假設不等式2x (a -6)x 9 - 3a 0恒成立,求x的取值范圍.(四) 圖象解題,形象直觀6 、設x (0,4,假設不等式£x(4 -x) > ax恒成立,求a的取值范圍. 解

27、:假設設yx(4 -x),那么為上半圓.設,為過原點,a為斜率的直線.在同一坐標系內(nèi) 作出函數(shù)圖象依題意,半圓恒在直線上方時,只有時成立,即a的取值范圍為 .2 . .7、當X- (1,2)時,不等式(x-1) <log ax恒成立,求a的取值范圍.解：設y1=(x-1) 2,y 2=log ax,那么y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對一切(1,2),y1<y2恒成立,顯然a>1,并且必須也只需當x=2時屮的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值.故 log a2>1,. 1<a ：2.2 .&關(guān)于x的方程lg(x +4x)-lg(2x-6a-4)=0 有唯一解,求實

28、數(shù)a的取值范圍.2 2分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x +4x)=lg(2x-6a-4), 從而得x+4x=2x-6a-4>0,注意到假設將等號兩邊 看成是二次函數(shù) y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4,那么只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在 x軸上方恒有 唯一交點即可.2 2解：令 yi=x +4x= (x+2) -4,y 2=2x-6a-4,y1的圖象為一個定拋物線y 2的圖象是k=2,而截距不定的直線,要使y1和y2在x軸上方有唯一交點,那么直線必須位于丨1和l 2之間.(包括|1但不包括l 2當直線為l i時,直線過點(-4, 0),此時縱截距為-8-6a-4=0,a= -2;當直線為

29、l 2時,直線過點(0,(五) 合理聯(lián)想,運用平幾性質(zhì)0),縱截距為-6a-4=0,a=-Z3a的范圍為-2,一舟)39、不管k為何實數(shù),直線與曲線恒有交點,求a的范圍.分析：由于題設中有兩個參數(shù),用解析幾何中有交點的理論將二方程聯(lián)立,用判別式來解題是比擬困難的.假設考慮到直線過定點A (0, 1),而曲線為圓,圓心C (a, 0),要使直線恒與圓有交點,那么定點A(0,1)必在圓上或圓內(nèi).解：,C (a, 0),當時,聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系,那么有點A(0,1)必在圓上或圓內(nèi),即點A( 0, 1)到圓心距離不大于半徑,那么有(六) 分類討論,防止重復遺漏10、當時,不等式恒成立,求x的范圍

30、.解：使用的條件,必須將 m別離出來,此時應對進行討論.當時,要使不等式恒成立,只要,解得.當時,要使不等式恒成立,只要,解得當.時,要使恒成立,只有.綜上得解法2:可設,用一次函數(shù)知識來解較為簡單.我們可以用改變主元的辦 法,將 m視為 主變元,即 將元不等式 化為：m(x2 - 1) -(2x -1) ： 0 ,；令f(m) =m(x2 -1) -(2x -1),貝U -2< m <2 時,f (m) ： 0 恒成立,所以只需即f(2) ： 0HF 一1)心一1)蘭.,所以x的范圍是x E (4,蟲).此類題本質(zhì)上是利用了2(x2 -1) -(2x -1) <022一次函

31、數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段,故只需保證該線段兩端點均在x軸上方(或下方)即11、當1 . x : 3時,不等式x2 -2ax 6 0恒成立,求實數(shù) a的取值范圍.解:x3a :2x當1 x：3時,2#-2；2-,即x = 6時等號成立.x故實數(shù)a的取值范圍：a ： -. 6(七) 構(gòu)造函數(shù),表達函數(shù)思想,其中a為實數(shù),n12、( 1990年全國高考題)設為任意給定的自然數(shù),且如果時有意義,求a的取值范圍.解：此題即為對于,有恒成立.這里有三種元素交織在一起,結(jié)構(gòu)復雜,難以下手,假設考慮到求a的范圍,可先將a別離出來,得,對于恒成立.構(gòu)造函數(shù),那么問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的值域.在上是單調(diào)增函數(shù),

32、由于函數(shù)那么 在上為單調(diào)增函數(shù).于是有的最大值為：,從而可得.(八) 利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中,假設能解出取值范圍的變量,就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解,即：l.m,n' f a ,g a丄那么f a < m且g a _n,不等式的解即為實數(shù) a的取值范圍.例13、當'-,3時,loga x <1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.13丿'解：:一1 :： log a X ： 1占、丁、a色31iT i 1) I(1)當a 1時,一：；x：a,那么問題轉(zhuǎn)化為,3-,a 11a13丿la丿蘭la 3(2)當0 : a : 1時,a ： x ：丄,

33、那么問題轉(zhuǎn)化為-,3a13丿I a丿口.1as31.0 ： a 空-3a-3綜上所得：0 : a 乞1 或 a 33四、其它類型恒成立問題 能成立問題有時是以不等式有解的形式出現(xiàn)的.2a1、函數(shù) f (x)二 x - 2ax 1, g(x) ,其中 a 0, x 0 .x對任意x< 1,2, x 2,4,都有f(X1) g(X2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍；【分析：】思路、對在不同區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)f(x)和g(x)分別求最值,即只需滿足fmin(x) QmaJx)即可.簡解：令 n(a)= gma(x)=a/2;22令 m(a)=f min(x),f(x)=(x_a)+1-a ,故(1)

34、對稱軸 x=a<1,即或 0<a<1 時,m(a)= f min(x)=f(1)=2-2a,由 m(a)>n(a)解得 a<4/5,(注意到a的范圍)從而得 a的范圍：0<a<4/5;(2)對稱軸 x=a>2 時,m(a)= f min(x)=f(2)=5-4a ,由 m(a)>n(a)解得 a<10/9,(注意到 圍)從而得a無解：；對稱軸 x=a 1,2時,m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a ,由 m(a)>n(a)解得a-14-1 -用a :4(注意到a的范圍)從而得綜合(1) (2) (3)知實數(shù)a的取值范圍

35、是:a的范圍1 ： a豈2 :(0 , 4/5) U 1,22、兩函數(shù)f (x) = x2 ,-m,對任意x 0,2 1,存在 x2 1,2 1,f(xj _g x2,那么實數(shù)m的取值范圍為解析：對任意xi三0,2 1,存在x21,2,使得f(xj 一 g X2等價于g(x)=a的范衛(wèi)或使得1,2 1 上AAA的最小值 m不大于f(x) =x2在0,2上的最小值0,既 m豈0 , m_ 444【例1】 函數(shù)八龍)=寺芝存在 電丘1沁梗不等式Z<亦.Wwi*求實數(shù) m 的取值 范隔M : ( 1 )Z(主=* In* ( x > O ) J ( x )=怎 +十由1 fg >O

36、得函數(shù)2、柱區(qū)間e 1.小為增函蚊那么當"仃時/工?e+舟心人故要便存在丸w 1 便不籌式/(珀)戒立只 需mN兮-即可.【例2】 圈斂m 匕護 空的定義域為3x + 3題型二、主參換位法(某個參數(shù)的范圍,整理成關(guān)于這個參數(shù)的函數(shù))題型三、別離參數(shù)法(欲求某個參數(shù)的范圍,就把這個參數(shù)別離出來)題型四、數(shù)形結(jié)合(恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系(零點、根的分布法)五、不等式能成立問題(有解、存在性)的處理方法假設在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f x A成立,那么等價于在區(qū)間D上f x max A ; 假設在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)vB成立,那么等價于在區(qū)間 D上的f(x；min

37、3;B.1、存在實數(shù)X,使得不等式|x七巧xT蘭a2-3a有解,那么實數(shù)a的取值范圍為 .解：設 f x =x 七 r -1,由 f x <a2 -3a 有解,=a3a f x ,又 x 3| |x -1 _ x 3 x -1 =4a2 -3a _4,解得 a _4或a1.1、求使關(guān)于p的不等式x2px :： p 2x在p -2,2有解的x的取值范圍.解：即關(guān)于 p的不等式(x -1)p x2 -2x - 1 < 0有解,設f p = x-1 p x -2x 1,那么 f p在-2,2上的最小值小于 0.(1)當 x>1 時,f(p)關(guān)于 p 單調(diào)增加,故 fmin(p)=f

38、(-2)=x-4x+3<0,解得 1<x<3;當x<1時,f(p)關(guān)于p單調(diào)減少,故f min(p)=f(2)=X-1<0,解得-1<x<1 ；當 x=1 時,f(p) = 0,故 f min(p)=f(p)<0 不成立.綜合(1) (2) (3)知實數(shù)x的取值范圍是：(-1,1) U (1,3)例、設命題P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二個根,不等式|m2-5m-3| > |x i-x 2|對任意實數(shù)a -1,1 恒成立；命題Q:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0) 有解；假設命題P和命題Q都是真命題,求 m的值范

39、圍. 解：由P真得：|x1-X2|a8,注意到a在區(qū)間-1,1,| x x2 |ma3,由于 |m2-5m-3| > |x 1-x 2| 對任意實數(shù) a -1,1恒成立,故有 | m2 - 5m - 3|_| x1 - x2 |max = 3 解得：mW -1 或 m> 6 或 0w m< 5(1)由 Q真,不等式 |x-2m|-|x|>1(m>0) 有解,得(|x-2m|-|x|) max=2m>1,解得：m>1/2由于(1)( 2)都是相公命題,故m的值范圍：1/2<m W 5或m> 6.舉例(1)不等式4x -a 2x - 2 0對于

40、-1, :：)恒成立,求實數(shù) a的取值范圍xx(2)假設不等式4 -a 22 0對于(：,3恒成立,求實數(shù)x的取值范圍21分析：(1 )由 4x -a 2x 2 - 0得：a : 2xx對于 x -1, :)恒成立,因 2x ,所2x2以2x 電_ 2 2,當2 = 2時等號成立.所以有a ： 22.2x(2)注意到4x -a 2x 2 0對于a(-：,3恒成立是關(guān)于 a的一次不等式不妨設f(a)=2x a (4x 2),貝U f (a)在a,(：,3上單調(diào)遞減,那么問題等價于f(3) 0 ,所以4x -3 2x 22x 2 或 2x 1,那么 x取值范圍為(：,0)(1, = )小結(jié)：恒成立

41、與有解的區(qū)別：恒成立和有解是有明顯區(qū)別的,以下充要條件應細心思考,甄別差異,恰當使用,等價轉(zhuǎn)化,切 不可混為一體. 不等式fX:M對xI時恒成立=fmax(x) :M? xI.即fx的上界小于或等于M； 不等式f X :M對X. I時有解=fmin(X)X. I.或f x的下界小于或等于 M ； 不等式fx-M對xI時恒成立=fmin(x) M?, xI.即fX的下界大于或等于M； 不等式fX-M對XI時有解=fmax(X) M , XI.或fx的上界大于或等于M；高中數(shù)學難點強化班第四講(140709 )課后練習答案：一 填空選擇題(每題 6分,共60分)1、對任意的實數(shù)x ,假設不等式x+

42、1_x_2a恒成立,那么實數(shù)a的取值范圍.答案：|x+1|-|x-2| 工-|(x+1)-(x-2)|=-3, 故實數(shù) a 的取值范圍：a<-32、不等式sin2 x -4sin x -1 -a ：0有解,那么a的取值范圍是 解：原不等式有解 二 asin2x4sin x+1 =(sinx-2 j-3 (一1 蘭sinxM J有解,而 (sinx-2j-3l =-2 , 所以a .2 .3.假設對任意xR,不等式|x|_ax恒成立,那么實數(shù)a的取值范圍是(A) a ：-1(B)|a|叮 (C)|a|：1解析：對- x R,不等式|x|_ax恒成立那么由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知一1 ma 乞1

43、,即 |a1 °答案：選B4當X,(1,2)時,不等式x2axmx0恒成立,那么解析：2x2 + 4X2 + 44當x (1,2)時,由x mx 4 : 0得m.令f (x)x,那么易知xxxf(x)在(1,2)上是減函數(shù),所以 1,2時 f (X)maxx2 + 4二 f (1) =5 ,那么(-x)mi n *_5 -5不等式ax2 -3x (a 1) x2 -x - a 1對任意a (0, * )都成立,那么實數(shù) x的取值 范圍為分析：參數(shù)a的范圍,要求自變量 x的范圍,轉(zhuǎn)換主參元 x和a的位置,構(gòu)造以a為自 變量x作為參數(shù)的一次函數(shù) g(a),轉(zhuǎn)換成一 a (0,:) , g

44、(a) 0恒成立再求解.2 2解析：由題設知"ax -3x (a 1) x - x - a 1對- a (0, ：)都成立,即2 2 2 2a(x 2) -x2x 0 對- a (0, ：)都成立.設 g (a) = (x 2)ax -2x ( a R),那么g(a)是一個以a為自變量的一次函數(shù). ：x2+2a0恒成立,那么對于x R, g(a)為R上的單調(diào)遞增函數(shù). 所以對- a (0, ：),g(a) 0恒成立的充分必要條件是g(0) _0,-x2 -2x _ 0 , .-2 _ x _ 0,于是 x 的取值范圍是x | -2 _ x _ 0.26函數(shù)f x =2mx -2 4

45、- m x 1, g x二mx,假設對于任一實數(shù) x , f (x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù),那么實數(shù)m的取值范圍是()A. (0 , 2) B (0 , 8) C (2 , 8) D (汽 0)分析：f (x)與g(x)的函數(shù)類型,直接受參數(shù)m的影響,所以首先要對參數(shù)進行分類討論,然后轉(zhuǎn)換成不等式的恒成立的問題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題.1解析：當m=0時,f(x) = -8x1 0在(-二,一)上恒成立,而g(x) =08在R上恒成立,顯然不滿足題意；(如圖1)當m ：0時,g(x)在R上遞減且g(x)=mx 0只在(-：,0)上恒成立,而f (x)是一個開口向下且恒過定點(0, 1)的

46、二次函數(shù),顯然不滿足題意.f(x)當m 0時,g(x)在R上遞增且g(x)二mx 0在(0, ：)上恒成立,而f (x)是一個開口向上且恒過定點(0, 1)的二次函數(shù),要使對任一實f x與g x的值至少有一個為正數(shù)那么只需恒成立.(如圖3)丄4 m 門那么有： 0:=4(4 -m)2 -8m ： 0或 土衛(wèi) _ 0 解得 4 m ： 8 或 0 ： m 空 4,2mx圖3g(x)二 mx 一圖2f xg(x)綜上可得0 ： m乞8即m (0,8).應選B2 27、兩函數(shù) f x 7x -28x -c , g(x)=6x -24x+21.(1)對任意x：=|3,3 ,都有f x乞g x成立,那么實數(shù)c的取值范圍c?0(2) 存在x：='3,3 ,使f x <g x成立,那么實數(shù)c的取值范圍c?-25;(3) 對任意Xi