中值定理與導數(shù)的應用

1、高等數(shù)學教案§3 中值定理與導數(shù)的應用第三章 中值定理與導數(shù)的應用§ 3 1 中值定理一、羅爾定理費馬引理設函數(shù)f(x)在點x0 的某鄰域U(x0)內有定義并且在x0 處可導如果對任意x U(x0) 有f(x) f(x0) (或f(x) f(x0) 那么 f (x0) 0羅爾定理如果函數(shù)f(x)滿足：( 1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù) ( 2) 在開區(qū)間(a,b)內可導 ( 3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a) f(b) 那么在 (a,b)內至少在一點(a b) 使得函數(shù)f(x)在該點的導數(shù)等于零，即f ' ( ) 0例 : 設函數(shù) f (x) 在 0,1 上連續(xù)，

2、 在 (0,1) 上可導，f(1) 0， 證明： 在 (0,1) 內存在 ，使得 f ( ) f( )【分析】本題的難點是構造輔助函數(shù)，可如下分析：f( )f ( )( ) f( ) f ( ) 0 f(x) xf (x) 0 xf(x) 0【證明】令G(x) xf(x) ，則 G(x)在 0,1 上連續(xù)，在(0,1) 上可導，且G(0) 0f(0) 0, G ( 1 1)f(1) 0, G (x) f(x) xf (x)由羅爾中值定理知，存在(0,1)，使得 G ( ) f ( ) f ( ) 即 f ( ) f( )例： 設函數(shù) f(x), g(x)在 a, b上連續(xù)，在(a, b)內具有

3、二階導數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在(a,b) ，使得 f ( ) g ( ).【分析】需要證明的結論與導數(shù)有關，自然聯(lián)想到用微分中值定理，事實上，若令F(x) f(x) g(x)，則問題轉化為證明F ( ) 0, 只需對 F (x) 用羅爾定理，關鍵是找到 F (x) 的端點函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個一階導數(shù)同時為零的點)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一點c (a,b)，使得 F(c) 0，則在區(qū)間a,c,c,b上兩次利用羅爾定理有一階導函數(shù)相等的兩點，再對F (x)用羅爾定理即可。【證明】 構造輔助函數(shù)F (x) f (x) g(

4、x)， 由題設有F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在 (a, b)內具有相等的最大值, 不妨設存在x1x2, x1,x2(a,b)使得f (x1) M max f (x), g(x2)M maxg(x)，a, b a,b若x1x2，令c x1 ,則 F (c) 0.若x1x2，因F(x1)f(x1) g(x1)0,F(x2)f (x2)g(x2)0，從而存在c x1,x2(a,b)，使F (c) 0.在區(qū)間 a,c, c ,b上分別利用羅爾定理知，存在1 (a, c), 2 (c, b) ， 使得F ( 1) F ( 2) 0 . 再 對 F (x) 在 區(qū) 間 1, 2 上

5、應 用 羅 爾 定 理 ， 知 存 在( 1, 2)(a,b) ，有 F ( ) 0 ， 即 f ( ) g ( ).二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f (x)滿足( 1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù) ( 2) 在開區(qū)間 (a,b)內可導 那么在 (a,b)內至少有一點(a b) 使得等式f(b) f(a) f'( )(b a)x例 : 證明當 x 0 時ln(1 x) x1x證 設 f(x) ln(1 x) 顯然f(x)在區(qū)間0 x上滿足拉格朗日中值定理的條件根據(jù)定理 就有f(x) f(0) f ( )(x 0) 0< <x。1x由于 f(0) 0 f (x) 因此上

6、式即為l n1( x)1x1x又由 0 x 有 1 l n1( x) x1xab a abln例 證明：當0<b<a時， a b b1 lna lnb 1【分析】即證：a a b b【證明】令f(x) lnx, x b,a ，在 b,a上使用拉格朗日中值定理，知存在lna ln b f ( )1(b, a)，使a b1111 lna lnb 1b a, 所以 a b ，即 a a b b ，變形得證。例 (真題)設函數(shù)f(x)在 0,上可導，f(0) 0且lim f(x) 2，證明x( 1)存在 a 0 ，使得 f (a) 1( 2)對(1)中的a，存在(0,a), 使得 f &#

7、39;( ) 1 .a11證明： ( 1)因為 lim f (x) 2，對于，存在 A 0 ,使得當 x A時， | f (x) 2|，x223因此 f (A) 2 ，由連續(xù)函數(shù)的介值性，存在a (0, A)，使得 f(a) 1 。( 2)由拉格朗日中值定理，存在(0,a),使得 f '( ) f(a) f (0)1 .a0 a定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I 上的導數(shù)恒為零那么f(x)在區(qū)間I 上是一個常數(shù)例 : 求證 arcsin x arccos x ( 1 x 1) .2證 設 f (x) arcsin x arccos x ，當 1 x 1 時有11f (x)1101x 1x1

8、， f (x) 在區(qū)間 ( 1,1)內為一常數(shù)C，即arcsin x arccosx CC 的值，不妨取x 0，得C f (0) arcsin 0 arccos0 0所以當 1 x 1 時，ar cs ixn ar ccoxs25對于 x 1 時，等式顯然成立，故命題得證.柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內可導 且 F (x)在 (a b)內的每一點處均不為零那么在 (a b)內至少有一點使等式f(b) f(a) f ( )F(b) F(a) F ( )成立顯然 如果取 F(x) x 那么 F(b) F(a) b a F (x) 1 因而柯西中值公

9、式就可以寫 成 f(b) f(a) f ( )(b a) (a< <b) 這樣就變成了拉格朗日中值公式了3. 2 洛必達法則若 lim f(x) 0， lim g(x) 0，則xaxalim f(x)x a g(x)稱為 0 的待定型。0類似的待定型有：00，0，001 ，00 ，0 。00 型未定式定理 1 設函數(shù) f (x)、F (x)滿足下列條件：1)lim f (x) 0 ， lim F (x) 0 ；x x0x x02)3)f (x) 與 F (x)在 x0的某一去心鄰域內可導，且F (x) 0；lim f (x) 存在(或為無窮大)，則 lim f (x) lim f

10、(x)x x0 F (x)x x0 F (x) x x0 F (x)3 中值定理與導數(shù)的應用這個定理說明：當lim f (x) 存在時，lim f (x) 也存在且等于lim f (x) ；當x x0 F (x)x x0 F(x)x x0 F (x)lim f (x) 為無窮大時，lim f (x)也是無窮大x x0 F (x)x x0 F (x)這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為 洛必達(L H ospital)法則.3例 : 計算極限lim 3x cosx x ln(1 tan x)例 ( 真題 ) 求極限 lim4x 0sin x22x 16 x

11、2 x 2x 4x 8解 : 由洛必達法則，得3x3 12x 16lim 32limx 2 x3 2x2 4x 8 x 22 3x2 126x2lim3x2 4x 4 x 2 6x 4注 :若 f (x), g (x)仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應用洛必達法則，即lim f(x)x a g(x)limf (x) f (x) limg (x) x a g (x)arctan x例 : 計算極限xlim 211arctan x2解 lim 2lim 1 xx1x12xx2xlim 2 1 x 1x例 : 求極限 lim x02ln cos2x ln(1 sin x)解 lxim02ln cos2x

12、 ln(1 sin x)2sin2xlim cos2xx0sin 2x1 sin2x 2xlimx0sin 2x2x2cos2x 1 sin x7高等數(shù)學教案§3 中值定理與導數(shù)的應用lim 1 x0cosx x ln(1 tan x)sin4 x12 xlim 2x0x ln(1 tanx)sin4 x21 x x ln(1 tan x) lim 222 x 0 sin x sin x1lim2x 0x ln(1 tan x)2sin x13二、 型未定式定理 2 設函數(shù)f(x)、 F(x)滿足下列條件：1)lim f (x)， lim F (x)；x x0x x02)f (x)

13、與 F (x)在 x0的某一去心鄰域內可導，且F (x) 0；3)lim f (x) 存在(或為無窮大)，則 lim f (x)x x0 F (x)x x0 F (x)lim f (x)x x0 F (x)注：上述關于xx0時未定式型的洛必達法則，對于x 時未定式型同樣適n例 : 計算極限lim xx (n 0)xex解 所求問題是型未定式，連續(xù)n 次施行洛必達法則，有n1n2n(n 1)xn !n(n e1x)xxlim nex ! 0在使用洛必塔法則時應注意以下幾點：洛必塔法則只適用于0 型或 型的極限.0如果 lim f (x) 仍是 0型或 型 , 則可繼續(xù)使用洛必塔法則.g (x)0

14、如果 limf (x) 不存在且不是, 并不表明lim f (x) 不存在 , 只表明洛必塔法則g (x)g(x)失效 , 這時應用其他方法求解, 即洛必達法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時并不能斷定原極限不存在sinx 2x例 : lim2xx三、其它類型極限求法0 型與 型的未定式之外，還有0,， 00 ， 1 ，0 等未定式，對這0類未定式求極限，通常是利用代數(shù)恒等變形轉化為0 或 型，然后用洛必達法則進0例 : 求 lim xln x.x012lnxx解 這是 0 型，因此lim xln x lim lim x lim 0.x0x0 1 x0 1 x0 x2xx11 例

15、: 求 lim ().x 0 sinx x解 這是型，因此00lim( 1x 0 sin x1 cosx 0 lims i nx1 x sin x 0) limlimx x 0 xsin x x 0 sin x xcosx x 0 2c o sx xs i nx例 9 求 lim (tan x)tan2x x4sin 2xlim ()2sinx cosxx4e解 這是 1 型，因此ln tan xlimtan 2x lim (tan x)x4cot 2xtan 2x ln tanx x 4e§3. 3 泰勒公式n 階泰勒公式. n 階帶有 Lagrange 型余項的Taylor 公式

16、定理1(泰勒)若函數(shù) f 在 (a,b) 上存在直到n 階的連續(xù)導函數(shù), 在 (a,b) 內存在n 1 階導函數(shù), 則對任意給定的x,x0(a,b), 至少存在一點使得：f (x0)f(n)(x0)n f(n 1)( ) n 1f(x)f (x0)0 (x x0)0 (x x0)(x x0)1!n!(n 1)!在x, x0之間。2、 帶有皮亞諾余項的泰勒公式定理 2 若函數(shù) f 在 (a,b) 上存在直到n 階的連續(xù)導函數(shù), 則對任意給定的x, x0 (a, b)f (x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0) (xx0)n0(xx0)n)( 1)1!n!稱為 泰勒公式的余項.3、 常用函數(shù)

17、的麥克勞林公式2nex 1 x0(xn)2! n!2m 1x0(x2m)(2m 1)!35sinx x( 1)m 把函數(shù) f(x)展開成 n階 Maclaurin 公式例： 把函數(shù) f(x) x2 sinx2展開成含x16項的具Peano型余項的Maclaurin 公式 .3! 5!242mcosx 1 x x ( 1)m x0(x2m1)2! 4!(2m)!23nln(1 x) x( 1)n 10(xn)23n(1) 2(1) ( n 1) n(1 x) 1 xx0(x )2!n!11x1 x x2xn 0(xn)3 中值定理與導數(shù)的應用3 xsinx x3!57xx 7 (x ),5!7!

18、例：2 sin x2x sin x3!8 x3!10 x5!12 x14x(7!16 x5!7!14).16x)把函數(shù) f(x) cos2 x展開成含x6項的具Peano型余項的Maclaurin 公式 .2cosx 12!46xx 6x x(x6),4!6!4x4cos2x 1 2x23!662 x ( x6 ), 6!21cos x (1 cos2x) 12x2 2x4 3!562 x(x6).6!2. 求 f (x) 的 n 階導數(shù)例 f (x)x2 ln(1 x) ，求 f (n) (0)(n 3) .2f(x) x2 ln(1 x)x2(x2n2xn20(xn 2)又 f (x) f

19、 (0)f (0)x f(n)(0)xn 0(xn)1!n!nnx2 0(xn)所以，f (n)(0)n!n12， f(n)(0) nn!23. 利用 Taylor 公式求極限例 求極限15高等數(shù)學教案§3 中值定理與導數(shù)的應用2cosx e * 2(1) lim 2x 0 x x ln(1 x)(2)11lxim0x(x cotx).定次數(shù)的，把另一個展開到相同次數(shù)即可，例如：用泰勒公式求極限把函數(shù)展開到x 多少次方呢？對于分子和分母有一個能確3113313x (x x o(x )x3x sin x661limlim6 3lim 6x 0 x3 x 0x3x 0 x36但是對于分子

20、和分母都不能確定次數(shù)的，要以具體情況而定。2x2(1) lim 2cosx ex 0 x x ln(1 x)lim x024241 x x 1 x x o(x4 )22424512o(x5)5x44o(x )24ln(1 x) 至少展開到二階，確定了分母的次數(shù)后，以次確定分子展開的次數(shù)。1 11 sin x xcosx(2) lim ( cotx) limx 0 x xx 0 x xsin x32x3x2x lim x0x(x3 ) x1 x(x)3!2!1133(2! 3!)x(x) 1limx 0x333 4 函數(shù)單調性與曲線的凹凸性定理 1(函數(shù)單調性的判定法) 設函數(shù) y f(x)在

21、a b上連續(xù) 在 (a b)內可導(1)如果在(a b)內 f (x) 0 那么函數(shù)y f(x)在 a b上單調增加(2)如果在(a b)內f (x) 0 那么函數(shù)y f(x)在 a b上單調減少注判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間例 :確定函數(shù)f(x) 2x3 9x2 12x 3的單調區(qū)間解這個函數(shù)的定義域為: ()函數(shù)的導數(shù)為: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 導數(shù)為零的點有兩個x1 1、 x2 2列表分析(11 22)f (x)f(x)f(x)在區(qū)間 (1和 2)內單調增加在區(qū)間 1 2上單調減少一般地 如果 f (x)在某區(qū)間內的有限個點處為零在其余各點處均為

22、正(或負)時 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調增加(或單調減少)的例 證明 當 x 1 時 2 x 31x證明 令 f(x) 2 x (3 1) 則 xf (x)1x x12 x12 (x x 1)因為當 x 1 時 f (x) 0 因此f(x)在1,)上f(x)單調增加從而當 x 1 時f(x) f(1) 由 于 f(1) 0 故 f(x) f(1) 0 即 2 x (31 )0 也 就 是x2 x 3 1 (x 1) x例 (真題) 證明：當0 a b 時，bsinb 2cos b b asin a 2cos a a證：令 f (x) xsin x 2cos x x只需證明0 a x 時

23、, f (x) 嚴格單調增加f (x) sin x xcosx 2sin xxcosx sin xf (x) cosx xsin x cosx xsin x 0f (x) 嚴格單調減少又 f ( ) cos 0故 0 a x 時 f (x) 0則 f(x)單調增加(嚴格)由 b a則 f (b) f(a) 得證定義 設 f(x)在區(qū)間I 上連續(xù) 如果對 I 上任意兩點x 1 x 2 恒有x1 x2) f (x1)f (x2)那么稱f(x)在I 上的圖形是(向上)凹的(或凹弧 ) 如果恒有x1 x2) f (x1) f (x2)22那么稱f(x)在I 上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)凹凸性的判定

24、定理 設 f(x)在 a b上連續(xù)在 (a b)內具有一階和二階導數(shù)那么(1)若在(ab)內f(x)>0則f(x)在ab上的圖形是凹的(2)若在(ab)內f(x)<0則f(x)在ab上的圖形是凸的拐點 連續(xù)曲線y f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點確定曲線y f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟(1)確定函數(shù)y f(x)的定義域(2)求出在二階導數(shù)f (x)(3)求使二階導數(shù)為零的點和使二階導數(shù)不存在的點(4)判斷或列表判斷確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點例 求曲線 y 3x 4 4x 3 1 的拐點及凹、凸的區(qū)間解(1)函數(shù)y 3x 4 4x 3 1 的定義域為()(2) y 12x

25、 5 函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義 12x2 y 36x2 24x 36x(x 23)(3)解方程y 0 得x1 0 x2 23(4)列表判斷(0)0(0 2/3)2/3(2/3)f (x)00f(x)111/27在區(qū)間 (0和 2/3)上曲線是凹的在區(qū)間 0 2/3上曲線是凸的點 (0 1)和(2/3 11/27)是曲線的拐點例 : 問曲線 y x 定義 設函數(shù)f(x)在點x0 的某鄰域U(x0)內有定義如果在去心鄰域U(x0)內有f(x) f(x0) (或f(x) f(x0) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值) 是否有拐點？解 y 4x 3 y

26、 12x 2當 x 0 時 y >0 在區(qū)間 ()內曲線是凹的因此曲線無拐點例 : 求曲線 y 3 x 的拐點解 (1)函數(shù)的定義域為()12(2) y 33x2y 9x3x2(3)無二階導數(shù)為零的點二階導數(shù)不存在的點為x 0(4)判斷 當 x<0 當 y >0 當 x>0 y <0 因此 點 (0 0)是曲線的拐點函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點稱為極值點函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值那只是就x0 附近的一個局部范圍來說f(x0)是f(x)的一個最大值如果就 f(x)的整個定義域來說f(x0)不一

27、定是最大值關于極小值也類似定理 1 (必要條件)設函數(shù)f(x)在點x0 處可導 且在x0 處取得極值那么這函數(shù)在x0 處的導數(shù)為零即 f (x0) 0注意， 定理 1 僅是極值存在的必要條件，而非充分條件.如函數(shù) y x3， 在 x0處有 y x 0 0，但 y x 0 0不是極值.駐點 使導數(shù)為零的點(即方程f (x) 0 的實根)叫函數(shù)f(x)的駐點定理就是說 可導函數(shù)f(x)的極值點必定是函數(shù)的駐點但反過來函數(shù)f(x)的駐點卻不一定是極值點例 : 函數(shù) f(x) ln (x 1)(x 2)(x 3) 的駐點個數(shù)為(C )( A) 0( B) 1( C) 2( D) 3定理2(第一充分條件

28、)設函數(shù)f(x)在x0連續(xù)且在x0的某去心鄰域(x0x0)(x0x0)內可導(1)如果在(x0x0)內f (x) 0在(x0x0)內f (x) 0 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(2)如果在(x0x0)內f (x) 0在(x0x0)內f (x) 0 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值(3)如果在(x0x0)及(x0x0)內f (x)的符號相同那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值確定極值點和極值的步驟(1)求出導數(shù)f (x)(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點(3)列表判斷(考察 f (x)的符號在每個駐點和不可導點的左右鄰近的情況以便確定該點是否是極值點如果是極值點還要按定理2確定對應的函數(shù)

29、值是極大值還是極小值 )(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值例 : 求函數(shù) f (x) (x 4)3 (x 1)2 的極值解 (1)f(x)在 ()內連續(xù) 除 x 1 外處處可導且5(x 1)(x)333 x 1(2)令f (x) 0 得駐點 x 1 x 1 為 f(x)的不可導點(3)列表判斷x(1)1(1 1)1(1)f (x)不可導0f(x)033 4(4)極大值為f( 1) 0 極小值為f(1)334定理 3 (第二種充分條件) 設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f (x0) 0 f (x0) 0 那么(1)當f(x0)0 時函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(2)當f(x0)0 時函數(shù)

30、f(x)在x0處取得極小值例 : 求函數(shù) f(x) (x2 1)3 1 的極值解 (1)f (x) 6x(x2 1)2(2)令f (x) 0 求得駐點x11 x2 0 x3 1(3)f (x) 6(x2 1)(5x2 1)(4)因f (0) 6 0 所以 f (x)在 x 0處取得極小值極小值為f(0) 0(5)因 f ( 1) f (1) 0 用定理 3 無法判別因為在 1 的左右鄰域內f (x) 0 所以 f(x)在 1 處沒有極值同理 f(x)在 1 處也沒有極值二、最大值最小值問題最大值和最小值的求法設f(x)在(ab)內的駐點和不可導點(它們是可能的極值點)為x1x2xn則比較 f(

31、a) f(x 1) f(xn) f(b) 的大小 其中最大的便是函數(shù)f(x)在 a b上的最大值最小的便是函數(shù)f(x)在a b上的最小值例 : 求函數(shù) f(x) |x2 3x 2|在 3 4上的最大值與最小值x2 3x 2解 f (x)x2 3x 2x 3,1 2, 4x (1, 2)f (x) 2x 3 x ( 3,1) (2, 4)(x) 2x 3 x (1, 2)3在 ( 3 4)內f(x)的駐點為x 2 不可導點為x 1 和 x 231f( 3) 20 f(1) 0 f (2) 4 f(2) 0 f(4) 6 f(x)在 x 3處取得它在 3 4上的最大值20 在 x 1 和 x 2

32、處取它在 3 4上的最小值0注意 應當指出實際問題中往往根據(jù)問題的性質就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值而且一定在定義區(qū)間內部取得這時如果f(x)在定義區(qū)間內部只有一個駐點x0 那么不必討論f(x0)是否是極值就可以斷定f(x0)是最大值或最小值§3 6 函數(shù)圖形的描繪曲線的漸近線( 1)水平漸近線如果當自變量x 時，函數(shù)f(x)以常量 C為極限，即lim f(x) C ，則稱直線yC為曲線 y f (x)的水平漸近線.( 2)鉛直漸近線(或垂直漸近線)如果當自變量xx0時，函數(shù) f(x) 為無窮大量，即 lximx f (x)， 則稱直線x x0為曲線 y f （ x）的鉛直

33、漸近線.（3）斜漸近線fxyk x,其中k lim ,b lim f x kx ,有水平漸近線則無斜漸近線, 有斜xxx漸近線則無水平斜漸近線2例 : （真題） 曲線 y x 2 x 漸近線的條數(shù)為（） x2 1（ A） 0（ B） 1（ C） 2（ D） 3【答案】 ： （ C）【解析】 ： lim x22 x ，所以 x 1 為垂直漸近線x 1 x2 1lim x22 x 1 ， 所以 y 1為水平漸近線，沒有斜漸近線，總共兩條漸近線，選 （C） 。xx12x3例 : （真題）曲線 y22x 的漸近線方程為x12x2解：lixm x2x 1 2，2x3lixm x2 1 2x2x3x22x31 2x 0，所以y 2x描繪函數(shù)圖形的一般步驟（1）確定函數(shù)的定義域并求函數(shù)的一階和二階導數(shù)（2）求出一階、二階導數(shù)為零的點求出一階、二階導數(shù)不存在的點（3）列表分析確定曲線的單調性和凹凸性（4）確定曲線的漸近性（5）確定并描出曲線上極值對應的點、拐點、與坐標軸的交點、其它點(6)聯(lián)結這些點