數(shù)學(xué)專題--球習(xí)題精選精講

1、習(xí)題精選精講球習(xí)題精選精講球面距離的計(jì)算經(jīng)典范例 1位于同一緯度線上兩點(diǎn)的球面距離例1  已知，B兩地都位于北緯，又分別位于東經(jīng)和，設(shè)地球半徑為，求，B的球面距離分析：要求兩點(diǎn)，B的球面距離，過，B作大圓，根據(jù)弧長公式，關(guān)鍵要求圓心角的大?。ㄒ妶D1），而要求往往首先要求弦的長，即要求兩點(diǎn)的球面距離，往往要先求這兩點(diǎn)的直線距離解  作出直觀圖（見圖2），設(shè)為球心，為北緯圈的圓心，連結(jié)，由于地軸平面與為緯度，為二面角的平面角（經(jīng)度差）中，中，由余弦定理，中，由余弦定理：，的球面距離約為2位于同一經(jīng)線上兩點(diǎn)的球面距離例2  求東經(jīng)線上，緯度分別為北緯和的兩地，B的球面距

2、離（設(shè)地球半徑為）（見圖3） 解  經(jīng)過兩地的大圓就是已知經(jīng)線，3位于不同經(jīng)線，不同緯線上兩點(diǎn)的球面距離例3  地位于北緯，東經(jīng)，B地位于北緯，東經(jīng)，求，B兩地之間的球面距離（見圖4） 解  設(shè)為球心，分別為北緯和北緯圈的圓心，連結(jié)，中，由緯度為知，中，注意到與是異面直線，它們的公垂線為，所成的角為經(jīng)度差，利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式（為經(jīng)度差）中，的球面距離約為球面距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，我們把這段弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離，常見問題是求地球上兩點(diǎn)的球面距離。對(duì)于地球上過A、B兩點(diǎn)大圓的劣弧長由

3、球心角AOB的大小確定，一般地是先求弦長AB，然后在等腰AOB中求AOB。下面我們運(yùn)用坐標(biāo)法來推導(dǎo)地球上兩點(diǎn)球面距離的一個(gè)公式。地球球面上的點(diǎn)的位置由經(jīng)度、緯度確定，我們引入有向角度概念與經(jīng)度、緯度記法：規(guī)定東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)；北緯為正，南緯為負(fù)（如西經(jīng)30º為經(jīng)度=-30º，南緯40º為緯度=-40º ），這樣簡單自然，記球面上一點(diǎn)A的球面坐標(biāo)為A（經(jīng)度，緯度），兩標(biāo)定點(diǎn)，清晰直觀。設(shè)地球半徑為R，球面上兩點(diǎn)A、B的球面坐標(biāo)為A（1，1），B（2，2），1、2-，1、2-，如圖，設(shè)過地球O的球面上A處的經(jīng)線與赤道交于C點(diǎn)，過B的經(jīng)線與赤道交于D點(diǎn)。設(shè)地

4、球半徑為R；AOC=1，BOD=2，DOC=1-2。另外，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C所在直線為X軸，地軸所在直線ON為Z軸建立坐標(biāo)系O-XYZ（如圖）。則A（Rcos1,0,Rsin1）,B(Rcos2cos（1-2）,Rcos2sin（1-2）,Rsin2)cosAOB =cosOA，OB=cos1cos2cos（1-2）+sin1sin2 AOB=arcoscos1cos2cos（1-2）+sin1sin2其中反余弦的單位為弧度。于是由弧長公式，得地球上兩點(diǎn)球面距離公式：=R·arcoscos1cos2cos（1-2）+sin1sin2 （I）上述公式推導(dǎo)中只需寫出A，B兩點(diǎn)的球面坐標(biāo)，

5、運(yùn)用向量的夾角公式、弧長公式就能得出結(jié)論，簡單明了，易于理解，公式特征明顯.從公式的推導(dǎo)中我們體會(huì)到坐標(biāo)法在解決立幾問題的不凡表現(xiàn)。由公式（I）知，求地球上兩點(diǎn)的球面距離，不需求弦AB，只需兩點(diǎn)的經(jīng)緯度即可。公式對(duì)求地球上任意兩點(diǎn)球面距離都適用,特別地，A、B兩點(diǎn)的經(jīng)度或緯度相同時(shí)，有：1、1=2=，則球面距離公式為：=R·arcoscos2cos（1-2）+sin2 （II）2、1-2=，則球面距離公式為：=R·arcos（cos1cos2+sin1sin2）=R·arcoscos（1-2） （III）例1、 設(shè)地球半徑為R，地球上A、B兩點(diǎn)都在北緯45

6、6;的緯線上，A、B兩點(diǎn)的球面距離是R，A在東經(jīng)20º，求B點(diǎn)的位置。分析：1=20º，1=2=45º，由公式（II）得：R= R·arcoscos245ºcos（20º-2）+sin245ºcos= cos（20º-2）+cos（20º-2）=0, 20º-2=±90º即：2=110º或2=-70º所以B點(diǎn)在北緯45º，東經(jīng)110º或西經(jīng)70º球 1一個(gè)球的內(nèi)接正方體（正方體的頂點(diǎn)都在球面上）的表面積為6，則球的體積為_由已

7、知得正方體棱長為1，因球的直徑等于正方體的對(duì)角線長，所以直徑， 球體積2在赤道上，東徑140°與西徑130°的海面上有兩點(diǎn)A、B，A、B的球面距離是_（設(shè)地球半徑為R）設(shè)球心為O， A、B在赤道這個(gè)大圓上， AOB（180°140°）+（180°130°）90°， ， A、B的球面距離為3設(shè)正方體的全面積為，一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是（）A p B p C p D p A由正方體全面積為，則棱長為2cm，內(nèi)切于正方體的球的直徑為2cm，則球的半徑為1，其體積為4一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，其棱長為2cm，則球的

8、表面積為（）A8p B12p C16p D20p B球的直徑與正方體的對(duì)角線長相等， ， ，球表面積5設(shè)地球半徑為R，在北緯60°圈上有A、B兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L是，則這兩地的球面距離是（）A B C DB如圖答9-70，設(shè)北緯60°圈的圓心為，球心為O，則， A、B在緯度圈上的弧長為，則， A、B三點(diǎn)共線， OAOB， AOB是正三角形， ， A、B的球面距離等于6一個(gè)正方體的內(nèi)切球與它的外接球的體積比是（）A1 B1 C1 D1A設(shè)正方體的棱長為2a，則其內(nèi)切球半徑為a，外接球半徑為，二球體積比為7球面上有A、B、C三點(diǎn)，ABBC2cm，球心O到截面ABC的距離等

9、于球半徑的一半，求球的體積 A、B、C是球面上三點(diǎn)， OAOBOC設(shè)截面圓圓心為，則平面ABC， ， 是ABC的外接圓圓心 ABBC2， ， ABC是直角在中，OAR， 有，解得，球體積8半徑為1的球面上有三點(diǎn)A、B、C，其中A和B、A和C的球面距離為，B和C的球面距離為，求球心到平面ABC的距離3設(shè)球心為O，由球面距離的定義可知， OAOB，OAOC， OA平面BOC 三棱錐OABC的體積在ABC中，, ,BC1，取BC中點(diǎn)M，則AMBC，設(shè)點(diǎn)O到平面ABC的距離為h， ， ， 即點(diǎn)O到平面ABC的距離為 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：，（計(jì)算公式） （3）球的截

10、面是圓面： 球的大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓。9. 已知倒立的圓錐形容器的軸截面是一個(gè)等邊三角形，在此容器內(nèi)注入水，并放入半經(jīng)為r的一個(gè)球，此時(shí)，水面恰好與球相切，求取出球后水面的高度。 解：如圖所示，圓錐軸截面為正三角形ABP，設(shè)球心為O，PC為圓錐的高，取出球后，水面為EF，其高度為PH，連結(jié)OC、OA。 則 。， 又 。 故取出球后水面高為。10. 在北緯45°的緯度圈上有A、B兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng)70°與東經(jīng)160°的經(jīng)度圈上，設(shè)地球的半徑為R，求A、B兩點(diǎn)的球面距離。 分析：要求A、B兩點(diǎn)間球面距離，要把它放到AOB中去分析，只要求得AOB的度數(shù)，

11、AB的長度，就可求球面距離。 解：設(shè)北緯45°圈的圓心為O'，地球中心 為O，則AO'B=160°70°=90° OBO'=45°，OB=R 則 故A、B兩點(diǎn)間球面的距離為。11已知地球的半徑為 ，球面上 兩點(diǎn)都在北緯45°圈上，它們的球面距離為 ， 點(diǎn)在東經(jīng)30°上，求 點(diǎn)的位置及 兩點(diǎn)所在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧的長度 分析：求點(diǎn) 的位置，如圖就是求 的大小，只需求出弦 的長度對(duì)于 應(yīng)把它放在 中求解，根據(jù)球面距離概念計(jì)算即可解：如圖，設(shè)球心為 ，北緯45°圈的中心為 ，由 兩點(diǎn)的球面距離

12、為 ，所以 = ， 為等邊三角形于是 由 ， 即 = 又 點(diǎn)在東經(jīng)30°上，故 的位置在東經(jīng)120°，北緯45°或者西經(jīng)60°，北緯45° 兩點(diǎn)在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧 說明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計(jì)計(jì)算方案12自半徑為 的球面上一點(diǎn) ，引球的三條兩兩垂直的弦 ，求 的值分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)解：以 為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐 補(bǔ)成一個(gè)長方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長

13、方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對(duì)角線長是球的直徑 = 說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算*例7把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長為兩球半徑之和2解：由題意，四球心組成棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高 而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為 13. 一個(gè)球的

14、半徑為R，A、B是球面上的兩個(gè)點(diǎn)，如果A、B沿球面的最短距離為 解： 要使O到平面ABO的距離最長（O為過AB的圓的圓心），只須過A、B的小圓最小，即AB=2r 14. 設(shè)A、B是地球北緯60o圈上兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B的經(jīng)度分別是東經(jīng)40o和西經(jīng)20o，求A、B兩點(diǎn)的球面距離。 解：設(shè)O為北緯60o圈所在圓圓心，r為半徑，地球半徑為R 小結(jié)： 15. 求棱長為a的正四面體內(nèi)切球的體積。 解：設(shè)正四面體ABCD高為AO=h，內(nèi)切球心為O，半徑為r 注：正四面體外接球與內(nèi)切球半徑之比為3：1。16. 在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，若PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的體積和表面

15、積。 解：設(shè)過P、A、B三點(diǎn)的圓為圓O1 【關(guān)于“球”的常見問題】問題： 地球半徑為R，A、B兩地都在北緯45°線上，且A、B的球面距離為 ，求A、B兩地經(jīng)度的差.解答:分析：如圖，O為球心，O1為北緯45°小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得AOB的弧度數(shù)，進(jìn)而求得線段AB的長，在AO1B中，AO1B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差.解  設(shè)O1是北緯45°圈的中心，A、B都在此圈上，O1AO1B R.A、B的球面距離為 ，AOB ,AOB為等邊三角形. ABR，在AO1B中，O1A2+O1B2 R2+ R2R2AB2，AO1B90°

16、;.A、B兩地的經(jīng)度差是90°.評(píng)析：注意搞清緯度和經(jīng)度的問題，球面距離三步驟的運(yùn)用是非常重要的問題. 問題：已知圓錐的母親長為l，母線對(duì)圓錐底面的傾角為，在這個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)接的正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的體積.  解答:解  設(shè)球半徑為R，以內(nèi)接正方體對(duì)角面為軸截面，如圖.連接OA，OAD ，RODAD·tan ,VAl,ADlcos,Rlcostan ,又設(shè)正方體棱長為x，則3x2EG24R2,x R.V正方體 (lcostan )3.問題：如圖，過半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)

17、求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐PABC的體積的最大值.  解答:分析：先選其中兩條弦PA、PB，設(shè)其確定的平面截球得O1，AB是O1的直徑，連PO1并延長交O1于D，PADB是矩形，PD2AB2PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.解  (1)設(shè)過PA、PB的平面截球得O1，PAPB，AB是O1的直徑，連PO1并延長交O1于D，則PADB是矩形，PD2PA2+PB2.設(shè)O為球心，則OO1平面O1，PCO1平面，OO1PC，因此過PC、PD的平面經(jīng)過球心O，截球得大圓，又PCPD.CD是球的直徑.故  PA2+PB2

18、+PC2PD2+PC2CD24R2定值.(2)設(shè)PA、PB、PC的長分別為x、y、z，則三棱錐PABC的體積V xyz，V2 x2y2z2 ( )3 · R6.V R3.即  V最大 R3.評(píng)析：定值問題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.球面上任一點(diǎn)對(duì)球的直徑所張的角等于90°，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì).問題：求棱長為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑.  解答:解  如圖，作AH底面BCD于H，則AH a，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，O點(diǎn)與A、B、C、D相連，得四個(gè)錐體，設(shè)底面為

19、S，則每個(gè)側(cè)面積為S，有4· ·Sr S·AH，r AH a,設(shè)外接球心為O，半徑R，過A點(diǎn)作球的半徑交底面CD于H，則H為圓BCD的圓心，求得BH a,AH a,由相交弦定理得 a×(2R- a)( a)2.解得R a.問題：球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的 ，經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為4，那么這個(gè)球的半徑為(    )A.4         B.2        

20、 C.2          D. 解答:解  設(shè)球半徑為R，小圓半徑為r，則2r4,r2.如圖，設(shè)三點(diǎn)A、B、C，O為球心，AOBBOCCOA ，又OAOBAOB是等邊三角形同理，BOC、COA都是等邊三角形，得ABC為等邊三角形.邊長等于球半徑R，r為ABC的外接圓半徑. r AB R R r2 應(yīng)選B.問題：已知球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離都是球半徑的一半，且ABBCCA2，則球表面積是(    )A.     

21、     B.           C.4           D. 解答:解  如圖，過ABC三點(diǎn)的截面圓的圓心是O，球心是O，連結(jié)AO、OO，則OO      AO.ABC中，ABBCCA2，故ABC為正三角形.AO ×2 設(shè)球半徑為R，則OAR，OO  在RtOAO中，OA2OO2+OA2，即R2 +( )2R 球面面積為4R2 應(yīng)選A.說明  因?yàn)镽OAOA AB1，所以球面積S4R24.從而選A. 問題：長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱分別是3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是(    )A.20           B.25           C.50&