3求數(shù)列通項的一種簡潔方法——構造常數(shù)列

1、求數(shù)列通項的一種簡潔方法構造常數(shù)列題 1(2008 年高考天津卷理科第22 題(部分 )在數(shù)列 an 中， a11，其前 n 項和 Sn 滿足 nSn 1(n3)Sn0 ，求數(shù)列an的通項公式 .解把 nSn 1(n 3) Sn , (n1) Sn 2(n4)Sn 1 相減，得an2an1n3n1an2an 1( n2)( n3)(n1)( n2)所以數(shù)列an1是常數(shù)列，再由a11，a2an也是常數(shù)列，(n3得數(shù)列1)( n 2)n(n1)所以ana11n(n1)22an1 n(n1)2題2(1990年 日 本 千 葉 大 學 入 學 試 題 ) 在 數(shù) 列 an中 ，a12，3(a1a2an

2、 ) (n 2)an , nN* ，試求數(shù)列an 的通項公式 an 與前 n 項和 Sn .解由 3(a1a2an )(n2)an ，得3Sn(n 2)(SnSn 1 )( n2)nSn1(n3)Sn0( nN* )同 題 1的 解 法 ， 可 得 ann( n 1)(nN*)，再將此式代入題設，可得Sn11)( n2) .n(n3題3(2006年高福建卷文科第22題 ( 部 分 ) 已 知 數(shù) 列 an滿 足a11, a2 3, an 23an 1 2an ，求數(shù)列 an的通項公式 .解 由 an 23an 1 2an ，得an 22an 1an 1 2an所以數(shù)列an 12an是常數(shù)列，得

3、an12ana22a11an 1an1an 11 an12n 12n2n1,n 12n2所以數(shù)列an1 是常數(shù)列，得2nan1 a111, an2n12n21注下面給出求二階遞歸數(shù)列an(滿足 an2pan 1qan (q 0,a1 , a2 已知 )通項的方法：得an 2xan 1( p x) an 1qan.由q0 知，可選復數(shù)x(xp、0)滿足x pqx，所以xpan 2xan 1( px)( an 1xan )an 2xan 1an 1xan( px) n1( px)n所以數(shù)列an 1xan是常數(shù)列，得( px) nan 1xana2xa1 ， an 1xana2xa1 ( px) n

4、( px)npxpx可設為an 1xanuv n若 v1 ，讀者容易求解； 若 v1，得 an 1yvn1xan(u yv)v n ，選 y u yv即 yu ，得1van1yvn 1xanyvn所以數(shù)列xanyvn 是常數(shù)列，得xan yvnxa1yvxa1yvyv nanx題 4(2013年高考湖南卷文科第 19題 ) 設 Sn 為 數(shù) 列 an的 前 n 項 和 ， 已 知a1 0,2ana1S1 Sn , nN*.(1) 求 a1, a2 ，并求數(shù)列an 的通項公式；(2) 求數(shù)列 nan 的前 n 項和 .解(1) a11, a22, an2n 1 .(2) 設數(shù)列 nan 的前 n

5、 項和為 Tn ，由待定系數(shù)法，可得Tn 1 n 2n 1Tn( n 1) 2n即數(shù)列 Tn(n 1) 2n 是常數(shù)列，可得數(shù)列nan的前 n 項和是 Tn(n 1) 2n1 .題 5(2013 年高考山東卷理科第20 題 ) 設等差數(shù)列 an的前 n 項和為Sn ，且S44S2 , a2 n2an1.(1) 求數(shù)列 an的通項公式；(2) 設數(shù)列bn的前 n 項和為 Tn ，且 Tnan1( 為常數(shù) )，令 cnb2 n ( n N *) ，2n求 cn的前 n 項和 Rn .解(1)an2n1.(2) 可得 bnnn12 (n 2) ，所以 cnnn 11 (nN *).24由待定系數(shù)法，

6、可得111n111n 1Rn1n4Rn( n1)439391 (nn 11 41 .即數(shù)列Rn1)11是常數(shù)列，可得Rn3n39494n 1題 6(2013年高考江西卷理科第17 題)正項數(shù)列an的 前 n 項 和 Sn 滿 足Sn 2( n2n1) Sn(n2n)0 .(1) 求數(shù)列 an 的通項公式 an ；(2) 令 bnn1，數(shù)列bn 的前 n 項和為 Tn ，證明：對任意的nN* ，都有( n2) 2 anTn5.64解(1) an2n.(2) 得 bn111，所以16n2(n2) 2Tn 1Tn1111116(n1) 2(n 2)2(n2)2( n 3) 2Tn 1111Tn111

7、16 (n2)2(n 3) 216(n 1) 2(n2)2即數(shù)列Tn111是常數(shù)列，可得16(n1) 2(n2)2Tn511156416(n1)2(n2)2.64題 7(2014 年高考廣東卷理科第19 題)設數(shù)列 an的前 n 項和 為 Sn ,滿足Sn2nan 13n24n,nN *，且 S315 (1)求 a1 , a2 ,a3 的值；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1) a13,a25, a37 (2)由 (1) 可猜想 an2n1，接下來可用數(shù)學歸納法證明此結論成立也可這樣簡解：可得 2nan 1(2n1)a n6n1，再得 2n (an 12n3)(2n1)( an2n 1) ，所以

8、數(shù)列(2n 1)( an2n1) 是常數(shù)列，得 ( 2n1)( an2n1)1(a11)0, an2n1 .題8(第 26屆 (2000年 ) 莫 斯 科 奧 林 匹 克 試 題 ) 已 知 數(shù) 列 an滿 足22 ，求證：數(shù)列a1 a21, an 2an 1an的各項都是整數(shù) .a n證明由數(shù)學歸納法可證數(shù)列an的各項都是正數(shù) .還可得 an 2 anan 122, an 3 an 1an 222 ，把它們相減后，可得an 3an 1an 2anan2an 1即數(shù)列an 2an是常數(shù)列，所以an 2ana3a14, an 24 an 1 an . 又 a1a 2 1 ，所以an 1an 1a

9、2由數(shù)學歸納法可證數(shù)列an中的各項都是整數(shù) .題 9已知數(shù)列 an滿足 a1a2 a31, an31an 1 an 2，求證：數(shù)列 an的各項都是a n整數(shù) .證明由數(shù)學歸納法可證數(shù)列an的各項都是正數(shù) .還可得 an3 anan 1a n 21, a n 4 an1an2 an 31，把它們相減后，可得an 4an 2an 2anan3a n 1即 數(shù) 列a2 n 2a2 n,a2 n 1a2 n 1均是常數(shù)列，進而可得a2n 1a2 na2 n 12a2 na2n 1 , a2 n 23a2 n 1 a2 n (a1a2a31) ，所以由數(shù)學歸納法可證數(shù)列an 的各項都是整數(shù) .題10(2

10、013年清華大學保送生考試數(shù)學試題第 1題)求證：n3i0n 3 i2n 2 n 4( n N* ).21 2n3n 3i ,Tnn22n 4 ,n N.證明令 Sni 0212n 63Sn6i0n2n 3n1n 3n23n 63in 3in333 Sn23322i 023可設 n3kr ( kN , r0,1,2)，得Sn 6Sn3k 93k r 3 k 13k r 3 k 2r 1r2Sn3k 4222可證 r1rr (r0,1,2)，所以22Sn 6Sn3k4rSnn4n 6264n22n4Tn2 n4又612n4Tn n12所以 Sn 6Tn 6SnTn ( nN).又 S0T00，

11、S1T1 0， S2T21， S3 T31， S4T42， S5T53 ，所以數(shù)列SnTn(n N)是常數(shù)列 0 ，得欲證成立 .題 11(2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽賽區(qū)初賽試題第12題 )設數(shù)列an滿足a1 1, a22, an(1 an 1 ) 2 (n3) .an2(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：對任意正整數(shù)k,a2 k 1 和a2 k 都是整數(shù) .2解 (1)由數(shù)學歸納法知 an 0(n N *). 可得an 1an 1 an22an1, an an 2an 122an 1 1( n 3)相減后，可得an 1an 12 anan 2 2( n 3)an 2an2anan 1，即數(shù)列是常數(shù)列 .an 1可得 a39an 2an26, an 26an 1，所以an 1令 anbn16