教案1無(wú)窮級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)教案1第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)編寫(xiě)人:吳炯圻I. 授課題目: 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì).教學(xué)目的與要求1、了解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其產(chǎn)生的背景； 2、掌握收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；3、會(huì)采用級(jí)數(shù)斂散的定義或收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)判斷較簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的斂散性；4、了解柯西審斂原理。.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義; 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。 難點(diǎn)：無(wú)窮個(gè)數(shù)量求和與有限個(gè)量求和的差別。關(guān)鍵: 1.會(huì)把級(jí)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為部分和序列來(lái)處理;2.熟悉數(shù)列的收斂與發(fā)散的判別.講授內(nèi)容：第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)圖1-1一、 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其產(chǎn)生的背景 1古代人如何求圓的面積?

2、 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽已經(jīng)利用無(wú)窮級(jí)數(shù)的思想來(lái)計(jì)算圓的面積. 在半徑為1的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形, 其面積記為, 它是圓面積的一個(gè)近似值. 再以這正六邊形的每一邊為底邊分別作一個(gè)頂點(diǎn)在圓周上的等腰三角形 (圖1-1) , 算出這六個(gè)等腰三角形的面積之和. 那么(即內(nèi)接正十二邊形的面積)也是的一個(gè)近似值, 其近似程度比正六邊形的好. 同樣 地, 在這正十二邊形的每一邊上分別作一個(gè)頂點(diǎn)在圓周上的等腰三角形, 算出這十二個(gè)等腰三角形的面積之和. 那么(即內(nèi)接正二十四邊形的面積)是的一個(gè)更好的近似值. 如此繼續(xù)進(jìn)行n次, 當(dāng)n是較大的整數(shù)時(shí)，得到的正多邊形的面積就很接近的值了. 2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 古代數(shù)學(xué)

3、家劉徽時(shí)代，人們只懂求有限個(gè)量之和，沒(méi)有極限的概念，僅能把求圓面積的步驟和準(zhǔn)確性停留在有限的數(shù)n上。隨著科學(xué)的進(jìn)步，人們認(rèn)識(shí)的提高，人們自然認(rèn)為，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，則的極限就是圓的面積，即 . (1.1)這時(shí)，上式右邊括號(hào)中的項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多，出現(xiàn)了無(wú)窮個(gè)數(shù)量累加的式子。一般地, 給定一個(gè)數(shù)列 , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 (1.2)叫做(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù), 簡(jiǎn)稱(常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).上述級(jí)數(shù)的定義只是一個(gè)形式的定義，怎樣理解無(wú)窮級(jí)數(shù)中無(wú)窮多個(gè)數(shù)量相加呢？聯(lián)系上面計(jì)算圓的面積的例子，即（1.1）式，用有限項(xiàng)的和Sn的極限來(lái)定義無(wú)窮多個(gè)數(shù)量相加的“和”，

4、我們自然要問(wèn)，對(duì)一般的級(jí)數(shù)是否也可以這樣做？這個(gè)思路是對(duì)的。為此，我們把級(jí)數(shù)(1.2)的前n項(xiàng)之和sn = u1+u2 +un稱為級(jí)數(shù)(1.1)的部分和, n依次取時(shí)得數(shù)列 s1, u2 , un 稱為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列. 在上面求面積的例子中，部分和數(shù)列收斂（為什么？），并由此求得面積, 即求得無(wú)窮多個(gè)量之和。但是，能否由此推斷, 所有級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂都收斂? (提問(wèn), 允許各種猜測(cè).)事實(shí)上, 正像一般的數(shù)列未必收斂一樣，部分和數(shù)列也未必收斂。例如1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+=.其部分和數(shù)列是：1，0，1，0，.,它顯然不收斂?？傊? 部分和數(shù)列可能收斂

5、, 也可能發(fā)散, 我們可據(jù)此定義級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散.定義 如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限, 即, 則稱級(jí)數(shù)收斂, 這時(shí)極限叫做這個(gè)級(jí)數(shù)的和, 并寫(xiě)成s = u1+u2 +un +;如果沒(méi)有極限, 則稱級(jí)數(shù)發(fā)散. 對(duì)于收斂級(jí)數(shù), 其部分和可作為級(jí)數(shù)的和的近似值, 它們之間的差 叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 表示代替和時(shí)所產(chǎn)生的誤差. 顯然, 對(duì)于收斂級(jí)數(shù)有 .從上述定義可知, 級(jí)數(shù)與數(shù)列極限有著密切的聯(lián)系. 給定級(jí)數(shù), 就有相應(yīng)的部分和數(shù)列; 反之, 給定數(shù)列, 就有以為部分和數(shù)列的級(jí)數(shù),其中 . 按定義, 級(jí)數(shù)與數(shù)列同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散, 且在收斂時(shí), 有 , 即 . 例1 討論如下公比為q的等比級(jí)數(shù)(也稱幾何級(jí)數(shù)

6、)的斂散性 (1.3)解 當(dāng)時(shí), 部分和 , 如果 , 則由, 可得 , 因此級(jí)數(shù)(1.2)收斂, 其和為 ; 如果, 則由, 得 , 這時(shí)級(jí)數(shù)(1.2)發(fā)散.當(dāng)時(shí), 如果, 部分和 隨為奇數(shù)或偶數(shù)而等于或0, 從而不存在, 級(jí)數(shù)(1.3)發(fā)散; 如果, 部分和, 從而, 因此級(jí)數(shù)(1. 3)發(fā)散.綜上所述, 幾何級(jí)數(shù), 當(dāng)時(shí)收斂, 其和為 ; 當(dāng)時(shí)發(fā)散.例2 判別級(jí)數(shù) 的收斂性.解 由于 , 所以部分和 , 故所給級(jí)數(shù)收斂, 其和為1.二、 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)根據(jù)上一段的討論, 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 級(jí)數(shù)的和就存在, 即無(wú)窮個(gè)項(xiàng)(量)相加就有意義. 那么, 有限個(gè)量相加的運(yùn)算律(回憶: 有限個(gè)量

7、相加有什么運(yùn)算律)是否也適用于無(wú)窮個(gè)量相加的情形? 無(wú)窮個(gè)量相加與有限個(gè)量相加有些什么不同之處么? 這自然是我們應(yīng)該關(guān)心的重要問(wèn)題.我們首先要記住,考慮無(wú)窮個(gè)量之和時(shí),首先要判斷級(jí)數(shù)是收斂或發(fā)散. 而收斂或發(fā)散是根據(jù)部分和數(shù)列的收斂或發(fā)散來(lái)定義的. 因此,級(jí)數(shù)的運(yùn)算律與數(shù)列的極限的運(yùn)算律有關(guān).注意到這兩個(gè)方面,我們不難得出收斂級(jí)數(shù)的如下基本性質(zhì).性質(zhì)1 如果常數(shù), 則級(jí)數(shù)與有相同的斂散性. 且若級(jí)數(shù)收斂于, 則收斂于, 即有 .(思考: k=0時(shí),情況如何?) 證 設(shè)與分別為與的部分和, 則 .由于, 所以可知與有相同的斂散性, 這表明級(jí)數(shù)與有相同的斂散性. 且當(dāng)時(shí), , 即 收斂于. 證畢.

8、同樣地, 按照定義, 可證得如下性質(zhì)2、性質(zhì)3和性質(zhì)4, 請(qǐng)讀者練習(xí).性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)及分別收斂于及, 則也收斂, 且其和為, 即有 .推論 如果收斂, 而發(fā)散, 則發(fā)散.性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的新級(jí)數(shù)仍然收斂, 且其和不變.(提問(wèn):這與有限個(gè)量求和的什么運(yùn)算律相對(duì)應(yīng)?)推論 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.注意 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂, 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂. 例如, 級(jí)數(shù) 收斂于零, 但級(jí)數(shù) 卻是發(fā)散的. (與有限個(gè)量求和的什么運(yùn)算律相比較)性質(zhì)5 (級(jí)數(shù)收斂的必要條件) 如果級(jí)數(shù)收斂,

9、則它的一般項(xiàng)趨于零, 即 .證 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為, 且, 則. 證畢.注意, 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零是級(jí)數(shù)收斂的必要條件而不是充分條件. 有些級(jí)數(shù)雖然一般項(xiàng)趨于零, 但仍然是發(fā)散的, 如下面的例3. 其逆否命題，即 ，則級(jí)數(shù)必發(fā)散. 可用它判斷發(fā)散級(jí)數(shù)，如 、.例3 試證調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散.證 利用第三章的微分中值定理可證得: 當(dāng)時(shí), 有. 于是調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和 , 所以 , 故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. 但當(dāng)時(shí), 卻有其一般項(xiàng).*三、柯西審斂準(zhǔn)則在第二小節(jié)我們已經(jīng)看到，級(jí)數(shù)能參加運(yùn)算，從而具有一系列性質(zhì)的前提是收斂. 因此，如何判別一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂與否，是一件重要的問(wèn)題。以下的柯西審斂準(zhǔn)則, 給出了級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件.定理 (柯西審斂準(zhǔn)則) 級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件為: 對(duì)任意給定的正數(shù), 總存在自然數(shù)N, 使得當(dāng)n >N時(shí), 對(duì)任意的自然數(shù)p, 都有 成立.證明從略.例：判別一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性。解：因?yàn)閷?duì)任意自然數(shù)p,=+<+= ()+(-)+(