二項(xiàng)式定理各種題型解題技巧

1、二項(xiàng)式定理1 .二項(xiàng)式定理：(a b)n C0an C：an1b " C；an rbrCnbn(n N),2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù) C； (r 0,1,2, ,n),項(xiàng)數(shù)：共(r 1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第 r 1項(xiàng)C；an rbr叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用Tr 1 C；an rbr表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有 (n 1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇 a, b,其順序不能更改。(a 9”與9 a)n是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n

2、,是升哥排列。各項(xiàng)的 次數(shù)和等于n .率數(shù).注音F蹄區(qū)八一麻式素?cái)?shù)與麻的率數(shù) 一工而式率數(shù)依次杲C0 C1 C2CrCn工而的車7切為、區(qū)入 箕匚na、ii- J_m 刁5區(qū)乂 J 口 J力、區(qū)入, *' 刁個(gè)區(qū)乂人匕Xa/n , n , n , , n , , n .七火甘J力'數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4 .常用的結(jié)論：今 a 1 b xn 012 2rrnn a 17b x,(l X)C n C n X C n xC n xC n x (n N )令 a 1,b x, (1 x)n C： C1x C；x2 " C：x( 1)nC；xn(n N )5 .

3、性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C0 Cn , Cnk Cn 1二項(xiàng)式系數(shù)和：令 a b 1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C0 C： CnIII C； W C； 2n ,變形式 C： C2 Cnr I" C： 2n 1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 =偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令 a 1,b1 ,則 C0 Cn C； C； ( 1)nC； (1 1)n 0,從而得到：Cn Cn CnC2rCn C；小 Cn2r 112n 2n 1奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：(a x)n C；anx° (x a)n C0aoxn 令 x 1,則 a0 a1

4、 令 x 1,則 a0 a1 得,a0 a2 得,a1 a3Cnan 1x C；an 2x2C：a°xn a0 a1x1C：axn1 C2a2xn2 4I C；anx。axn | a2 a3an (a 1)a2 a3an(a 1)na4|“ an (a奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和2 a?x2 a?xHI此1a1x a0a5 m an曳圣(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)nCn2取得最大值。如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)n 1 n 1c/ , Cn同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定

5、系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別A- 1 Ar為A1, A2, , An 1，設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出r來。Ar 1 Ar 26 .二項(xiàng)式定理的十一種考題的解法： 題型一：二項(xiàng)式定理的逆用;例：C： c2 6 c3 62 cn 6n 1.席R/人C n° 0八 1 C八 2c2八 33 3I I I 八 n n n t_. > 7rl LJ / ,、/. CL斛：(16)CnCn 6Cn6Cn 6 Cn 6與已知的有一些差距，cc2 公 C32n n 111 公 C22n nC n Cn 6 Cn 6C n 66 (Cn 6 Cn 6C n 6 )1(C0 cn 6

6、C2 62 HI C： 6n 1) 1(1 6)n 1 1(7n 1) 666練：cn 3C： 9C3 W 3n 1C； .解：設(shè) Sn cn 3C2 9cl3 "I 3n則3sC13C232C333cn3nC0C13C232C333c n 3n1(13)n13SnCn3Cn 3Cn3Cn 3CnCn3Cn 3Cn3Cn 31(l3)1(1 3)n 13題型二：利用通項(xiàng)公式求 xn的系數(shù);例：在二項(xiàng)式(4( #7)n的展開式中倒數(shù)第 3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)?解：由條件知C： 2 45,即C2 45,n2 n 90 0 ,解得n9(舍去)或n 10,由1210 r 2r

7、Tr 1Cir0(x 4)10 r(x3)rCir0X k 3 ,由題意10 r 2-r433,解得r 6 ,則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1 C16)x3 210x3,系數(shù)為210 。練：求(x21)9展開式中x9的系數(shù)？2x解：Tr 1 C；(x2)9 r( )r C；x18 2r( -)rx r2x2故x9的系數(shù)為C；( 1)321。22題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；C；( 1)rx18 3r，令 18 3r 9,則 r 32例：求二項(xiàng)式(x2的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?解：1 C10(x ) (=) &0() x 2，令 20 r 0 ,得 r_8 1 8458,所以T9 Cw(-)8

8、22561 6練：求一項(xiàng)式(2x )的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2xr 6 r r 1 rr r 6 r 1 r 6 2r斛：Tr 1 C6 (2 x) ( 1)()( 1) C6 2 () x ，令 6 2r 0 ,付 r 3 ,所以2x2T4 ( 1)3C；201 n練：若(x2 一)n的二項(xiàng)展開式中第 5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n . x解：T5 C：(x2)n 4(1)4 C：x2n12,令 2n 12 0,得 n 6. x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(jx 次)9展開式中的有理項(xiàng)？11解：Tr 1 C；(x。9 r( x3)r27 r(1)rC；xk ,令 2Z ,( 0

9、r 9)得 r3或 r9,6所以當(dāng) r 3 時(shí)，27 4, T4 ( 1)3C；x484 x4,6當(dāng) r 9 時(shí)，27 3, T10 ( 1)3C9x3x3。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若(JJ 工=)n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為256,求n ., x解：設(shè)（,X23X2)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0,a1， an,an 0,，令 X 1,則有 a。 ai a? a3nn(1) an2 ,練:將-得：2(a1 a3 a5)2n, & a3 a5有題意得，2n 125628, n 9。若（，二，二）n的展開式中,所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為解"0242r1

10、32r1Cn C n C nCnCn C n Cn所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為 n 6,n 7,2n1024,求它的中間項(xiàng)。2n 1,2n 11024 ,解得 n 11T51 式(''6( 4)5 462 x 4, T6161462 x*題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；1 口 例：已知（2x）n,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二2項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：；C： C： 2C5, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14,當(dāng)n 7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)1351最大的項(xiàng)是T4和T5 T4的系數(shù) C73（-）423 一，T5的系數(shù) C7 （-）324

11、70,當(dāng)n 14222時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是丁8,T8的系數(shù)c174（1）727 3432。2練：在（a b）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù) 2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即 T2nTn 1 ,也就是第n 1項(xiàng)。n 12一,X 1n練：在（一 一）的展開式中，只有第 5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？23 x解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則口 1 5 ,即n 8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于 2C86（1）272例：寫出在（a b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的哥指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二

12、項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有T4C3a4b3的系數(shù)最小，T5 C；a3b4系數(shù)最大。例：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求(1 2x)n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？2012一一， ” 11解：由 Cn Cn Cn 79,解出 n 12,假設(shè) T.1 項(xiàng)最大，(一2x)12 ()12(1 4x)121 22r 10,Ar 1A C；24r C11214r 1r 11212，化簡(jiǎn)得到 9.4 r 10.4,又 0 r 12,Ar 1Ar 2 C；24rG214r 1(展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11，有T11 (1)12C1120410x10 16896x102練：在(1 2x)10的展開

13、式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解：假設(shè)Tr 1項(xiàng)最大，；Tr 1 C1ro 2rxrr) r _),化簡(jiǎn)得到6.3 k 7.3,又2(10 r)Ar 1Ar C；0 2rC1012r 1 解得2(11Ar 1Ar2 C；02rC；。12r 1,年寸r 1 *-7-7770 r 10, r 7,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 丁8 Ci02 x 15360x .題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng)(x2 3x 2)5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法:(x2 3x 2)5 (x2 2) 3x5, Tr 1 C；(x22)5 r (3x)r ,當(dāng)且僅當(dāng)r 1時(shí)，1的展開式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)Tr1 T2 C5(x2

14、_4_ 一 .一,_1_4 _4_2) 3x ,所以x得一次項(xiàng)為C5c4 2 3x它的系數(shù)為c5c：243 240 。解法：(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5 (C5)x5 C5x4C；)(C；x5 C5x425 5C525)故展開式中含x的項(xiàng)為C；xC；25 C；x24240x ,故展開式中x的系數(shù)為240.,一 ,、，、一13練：求式子(x 2)3的常數(shù)項(xiàng)？ 岡2)3 (抽 名)6,設(shè)第r 1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則.1斛：(x |xTr 1C6(1)r|x6r(i1)r(1)6C；x6 2r，得 6 2r 0, r 3,T31(1)3C320.岡題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：求(1 2x

15、)3(1 x)4展開式中x2的系數(shù).解：(1 2x)3的展開式的通項(xiàng)是 Cm (2x)m C 2m xm,(I x)4的展開式的通項(xiàng)是C4( X)nC41n Xn,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3,4,令m n 2,則m 0且 n 2, m 1且 n 1,m0,因此(1 2x)3(1 x)4的展開式中x2的系數(shù)等于C30 20 C：(1)2c321C4 ( 1)1 C； 22 C： ( 1)01 ,練:求(1 377)6(1白)10展開式中的常數(shù)項(xiàng)、x解:(1衣)6(1 J)10展開式的通項(xiàng)為c6nxxm3 nC1°xm nC6 C104m 3n12x 12其中 m 0

16、,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10，當(dāng)且僅當(dāng) 4m口 e m3n,即 n0m 3m 6,或 或0,n 4,n 8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C； C* C63 C140 C； Cw 4246.一C1 c練：已知(1 x x )(x )的展開式中沒有吊數(shù)項(xiàng)，n N且2 n 8,則n . x1解：(x+尸展開式的通項(xiàng)為cn xnr x3rcn xn 4r，通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得xC： xn4r,C： xn4r1,C： xn 4r 2：展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2 n 8n 4r且n 4r 1 且 n 4r2,即 n 4,8且n 3,7且n 2,6, n 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)

17、和；例：在(x 揚(yáng)2006的二項(xiàng)展開式中，含對(duì)勺奇次曷的項(xiàng)之和為 S,當(dāng)x啦時(shí),S 解：設(shè)(x衣)2006=%a1x1a2x2a3x3|a2006x2006 20061232006(x M2) =a0 axa?xa3x | a2006x 得2(a1x %x3a5x5| a2005x2005) (x/) 2006(x業(yè)2006(x 揚(yáng)2006展開式的奇次曷項(xiàng)之和為S(x) 1(x V2) 2006(x 行) 200623 2006當(dāng)x -.2Bt,S(x2) 1 ( . 22) 2006 (-、2 ,2) 200622 300822題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式(3眩 1)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和

18、為p,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xp s 272，則n等于多少?解：若(3次1)na0a1xa2x2anxn ,有 PaQaan, S C： Cn 2n,x令 x "HP 4n，又 p s 272，即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16) 0 解得2n 16 或 2n17(舍去)，n 4.練：若3 . xn的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64 ,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少?解：令x 1,則3yxn的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n 64,所以n 6,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為 C3(3 ,x)3 (f3540.例：若(1 2x)2009 a0 aR a2x2 a3x3 |解： 令x :，可得 a0122'I20090,2009a1 a2a2009a2009x(x R),則f2009 的值為2 22a1a2a2009T2222009a0在令x 0可彳#a0 1,因而a1 |簧 1.，/5, 554練：右(x 2)a5x a4x3a3x2 a2x1axa0,則 a1a2a3a4a5解：令x 0