chap7常微分方程數(shù)值解ppt課件

1、第七章 常微分方程數(shù)值解法1 1 、引言、引言00:( ,)()dyfx yaxbdxyyx一 階 常 微 分 方 程 的 初 值 問(wèn) 題2yxy2y4xy4x2yf x y4y 13xdy2yf x y4dxxy 13: - ( , ) ( )-( , )( ) 例例方方程程令令：且且給給出出初初值值就就得得到到一一階階常常微微分分方方程程的的初初值值問(wèn)問(wèn)題題： ( , )( , )( , )f x yyLipschitzLf x yf x yL yy只要函數(shù)適當(dāng)光滑連續(xù)，且關(guān)于 滿足條件，即存在常數(shù) ，使得由常微分方程理論知，初值問(wèn)題的解必存在且唯一。 微分方程的數(shù)值解：設(shè)方程問(wèn)題的解微分

2、方程的數(shù)值解：設(shè)方程問(wèn)題的解y(x)y(x)的存在區(qū)的存在區(qū)間是間是a,ba,b，令，令a= x0 x1 xn =b,a= x0 x1 xn =b,其中其中hk=xk+1-xk , hk=xk+1-xk , 如是等距節(jié)點(diǎn)如是等距節(jié)點(diǎn)h=(b-a)/n , hh=(b-a)/n , h稱為步長(zhǎng)。稱為步長(zhǎng)。y(x)y(x)的解析表達(dá)式不容易得到或根本無(wú)法得到，我們用的解析表達(dá)式不容易得到或根本無(wú)法得到，我們用數(shù)值方法求得數(shù)值方法求得y(x)y(x)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)xkxk上上y(xk)y(xk)的近似值，用的近似值，用ykyk表示，即表示，即yky(xk)yky(xk)，這樣，這樣y0 , y

3、1 ,.,yny0 , y1 ,.,yn稱為微分稱為微分方程的數(shù)值解。方程的數(shù)值解。 主要問(wèn)題v如何將微分方程離散化，并建立求其數(shù)值解的遞推公式；v遞推公式的局部截?cái)嗾`差，數(shù)值解與精確解的誤差估計(jì)；v遞推公式的穩(wěn)定性與收斂性。v用差商代替微商用差商代替微商v數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分vTaylor展開(kāi)展開(kāi)微分方程離散化常用方法微分方程離散化常用方法 1,1A ( , ( )nnnnnnnny xy xdyf x y xydx xxx用差商代替微商11111 , , , 0, 1, 2,nnnnnnnnnnnnnnhyyfhxxyxyxyyx yyyxhfny用代替，則 11B. : ( , ) (0,1

4、,) nnnnxxxxdydxf x y dxndx用數(shù)值積分方法離散化1111,(), (),( , )(,) (0,1,(,)nnnnnnxnnxnnnnyyy xy xf x y dxhf x yyh xnyfy用代替對(duì)右端積分采用取左端點(diǎn)的矩形公式 則有11111111,(), (),( , )(,) (0, 1, )(,)nnnnnnxnnxnnnnyyy xy xf x y dxhf xyyyhf xyn用代替對(duì)右端積分采用取右端點(diǎn)的矩形公式 則有11111111,(), (),( , )(,)(,)2 (,)(,)2 (0, 1 ,)nnnnnnxnnnnxnnnnnnyyy x

5、y xhf x y dxf x yf xyhyyf x yf xyn用代替對(duì)右端積分采用梯形公式 則有22C ( ) ()()()()2 ()(, ()()2nnnnnnnnnxy xTaylorhy xhy xhy xy xhy xhf xy xy x在附近的展開(kāi)：11 ( ) () ( ,) 0, 1, 2, nnnnnnnhyy xy xyyhf x ynTaylor取的線性部分， 且得的近似值：展開(kāi)法不僅可得到求數(shù)值解的公式，且容易估計(jì)截?cái)嗾`差。1 解常微分方程初值問(wèn)題的Euler方法EulerEuler方法方法EulerEuler方法的誤差分析方法的誤差分析v向前向前EulerEul

6、er公式公式EulerEuler折線法或顯格式）折線法或顯格式）v向后向后EulerEuler公式后退公式后退EulerEuler公式）公式）v梯形公式改進(jìn)的梯形公式改進(jìn)的EulerEuler公式）公式）vEulerEuler預(yù)估校正格式預(yù)估校正格式一、一、EulerEuler方法方法0010, 0 1,1, nnnnny xyyyhfxyxxnhban,NhN1 1、向前、向前EulerEuler公式公式 000000,0000 , , , , x y yy xdyf x yydx xf x yx y幾何意義由出發(fā)取曲線的切線(存在!)，則斜率由于及已知，必有切線方程。00000000, (

7、) (,)dyyyxxyxxf x yydx x由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程：1011000 ,hxxhyyyhf x y等步長(zhǎng)為 ，則，可由切線算出：（）11 , 0 1 2 nnnnnyy xxyyhf xyn逐步計(jì)算出（ ）在，點(diǎn)值 ：（）,， ，用分段的折線用分段的折線逼近逼近函數(shù)逼近逼近函數(shù)2、向后后退的、向后后退的Euler 方法方法11 nnny xy xy xh用向后差商：11100, nnnnyyhfxyy xy (隱式算法) 01111E , 0,1,2,1,nnnnkknnnulerhfhfknyyyxyyyx為避免解非線性方程，與法結(jié)合迭代法3、梯形公式11 ,nnnnxy x

8、y xfx y dtx由積分途徑 11 ,nnnnyy xyy x積分用梯形公式，令則得11100,2nnnnnnhyyfxyfxyy xy(0)1(1)( )111012,2 012nnnnkknnnnnnEulernyyhf x yhyyf x yf xyk, , ,同樣與法結(jié)合，形成迭代算法，對(duì)， ， ，4、改進(jìn)的尤拉公式、改進(jìn)的尤拉公式梯形公式雖然提高了精度，但使算法復(fù)雜。而在實(shí)際計(jì)算中只迭代一次，這樣建立的預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)稱作改進(jìn)的尤拉公式。1111 ( ,); ( ,)(,),2nnnnnnnnnnyyhf x yhyyf x yf xy預(yù)測(cè)校正11(,);(,);() / 2.pnn

9、ncnnpnpcyyhfxyyyhfxyyyy二、二、Euler方法的誤差分析方法的誤差分析11111) () nnnnnnnTy xyyyy xEulery局部截?cái)嗾`差在一步中產(chǎn)生的誤差而非累積誤差：其中是當(dāng)（精確解?。r(shí)由法求出的值，即無(wú)誤差！ 1121 () ()()(, () 2nnnnnnnnny xxTaylory xy xhy xhf xy xhyxx將在點(diǎn)展開(kāi)： 1121111 ,(), 2nnnnnnnnnnnnnyyhf x yyy xhf x y xhTy xyyxx則22212 max( ) , ( ) 2a x bnMy xy xhTMO h 令充分光滑，則： 11

10、, , 1(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnyyy xhf x y xyhf x yy xyh f x y xf x yLipschitzhL y xyhL e由條件11000121211 1 N 0 111 1nnnNNNNNNNeThL eney xyeThL eThL ThLThLT對(duì)一切 成立,對(duì)取定，由， 則：2） 總體方法誤差總體方法誤差 , ,nnnnnnf xyLipschitzf xy xf xyL y xy遞推方法：從任意兩相鄰步的總體誤差關(guān)系推出總體誤差與步長(zhǎng)的關(guān)系。由微分方程解的存在唯一性自然假定（ ， ）充分光滑，或滿足條件： 1111111111111 1 ,

11、 nnnnnnnnnnnnnnnnnnney xyney xyy xyyyTyyyyyy xhf x第 步的總體截?cái)嗾`差記為則對(duì)步 ：以下估計(jì)其中 ,ny x221211 11 1NNNNNNTO heThL ThLThLT由局部截?cái)嗾`差，則11200 1 1NNNKkkkkOhLhLhT 211 11NhL O h O hhL000 lim1lim1 NNxxNhhhLhLhLxxeh與 步 長(zhǎng)無(wú) 關(guān) 常 數(shù)總體截?cái)嗾`差與局部截?cái)嗾`差的關(guān)系是：1O h總體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差一般地，方法的總體截?cái)嗾`差階越高，精度也越高。pO hp定義：一個(gè)方法的總體截?cái)嗾`差若為， 則稱之為 階方法。誤差分析

12、表誤差分析表EulerEuler方法方法局部截局部截?cái)嗾`差斷誤差總體截總體截?cái)嗾`差斷誤差迭代收斂迭代收斂條件條件向前向前EulerEuler方法方法O(h2)O(h)向后向后EulerEuler方法方法O(h2)O(h)0hL1梯形公式梯形公式O(h3)O(h2)0hL2(L為為L(zhǎng)ip常數(shù)）常數(shù)）向后向后Euler Euler 方法收斂條件與截方法收斂條件與截?cái)嗾`差斷誤差 11111111111 , 01kkkknnnnnnkknnh ffhLhLyyyyxxyy收斂條件 21 01 nOO hhLhT局部截?cái)嗾`差，整體截?cái)嗾`差(當(dāng)時(shí))梯形公式的收斂性梯形公式的收斂性 11111111111

13、,2 2 012kkkknnnnnnkknnhffhLhLyyyyxxyy收斂條件 Euler梯形公式比法的局部與總體誤差均高一階，但每次迭代均多算一次函數(shù)值提高精度的計(jì)算代價(jià)。2(01);(0)1.xyyxyy例：用尤拉公式和改進(jìn)的尤拉公式解初值問(wèn)題10.12().nnnnnhxEuleryyh yy解：取步長(zhǎng)，公式為： 112();2();1().2npnnnncnppnpcxyyh yyxyyh yyyyy改進(jìn)的尤拉公式為：20.2(00.6); (0)1.hyyxyxy 例1：取步長(zhǎng)，用歐拉法解初值問(wèn)題122 , 0.2 0.80.2nnnnnnnnnnnEuleryyhfxyyyx

14、yyx y解：格式為：0122 1 0.2 0.8, 0.4 0.6144 0.6 0.461321yyyyyyy由計(jì) 算 得0.283(12); (1)2.5hyyxy例2：取步長(zhǎng)，用梯形解初值問(wèn)題小數(shù)點(diǎn)后至少保留 位。11111 ,20.2 83832nnnnnnnnnnhyyfxyfxyyyyy解：梯形公式為： 1012345716 131312, 1.22.307691.42.473371.62.562581.82.610622.02.63649nnyyyyyyyyyyyyyy故 由計(jì) 算 得 0.23(12); (1)2.5hyxyxy例2 ：取步長(zhǎng)，用梯形解初值問(wèn)題小數(shù)點(diǎn)后至少保留

15、 位。111111 ,2 0.1 33nnnnnnnnnnnnhyyfxyfxyyyx yxy解：梯形公式為： 0111110011234511111110.30.1 332,2.6*,&,%,?nnnnkknnnnnnkyyx yyyx yxyyyyyyyyyy迭代格式： 021234522222,*,&,%,yyyyyy20.2sin0 (1)1.1.21.45hyyyxyyy例3：取步長(zhǎng)，用歐拉預(yù)校方法解初值問(wèn)題計(jì)算及的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留 位。111121212111,2 0.2sin0.1sin + sinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyhfxy

16、hyyfxyfxyyyyyxyyyyxyyx解：歐拉預(yù)校格式為： 0112211,0.63171 1.20.7154880.476961.40.52611yyyyyyyy故 由計(jì) 算 得 50 (0)1.0.10.210yyyhy例4：寫(xiě)出用反復(fù)迭代的歐拉預(yù)校法解初值問(wèn)題的計(jì)算公式，并取步長(zhǎng)，計(jì)算，要求迭代誤差不超過(guò)。 01111101111,2 0,1,2, 0,1,2, 0.90.950.05nnnnkknnnnnnnnkknnnyyhfxyhyyfxyfxyknfx yyyyyyy 解：歐拉預(yù)校的迭代格式為：取 0012111341143751141101, 0.9,0.905,0.90

17、475, 0.9047625,0.9047618756.251010, 0.10.904761875yyyyyyyyyyyy故 由計(jì) 算 得由于 是 取 0012232452254652252201, 0.814286,0.818809, 0.818583, 0.818595,0.8185941010, 0.20.818594yyyyyyyyyyyy故 由計(jì) 算 得由于 是 取2.2.龍格龍格庫(kù)塔方法庫(kù)塔方法 基本思想基本思想 二階二階R-K方法方法 三階三階R-K方法方法 四階四階R-K方法方法 變步長(zhǎng)變步長(zhǎng)R-K方法方法1112() ()()()()()()2!( )( , ), ( )(

18、 , )( , ) ( , ),nnnppnnnnxypTaylory xyy xhhy xhy xyxyxPy xf x yyxfx yfx y f x y若用 階多項(xiàng)式近似函數(shù)有：其中。但由于公式中各階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算復(fù)雜，不實(shí)用。一、基本思想一、基本思想(0)(0)(0)(1)(1)(1)(2)(2)(2)( )(1); ;2,3,jjjjyffffyffxyffyffxyffyffjxy一般地有111112121(,)11()22 (,)(,)nnnnnnnnnnEulerEulerEuleryyhKKf xyEuleryyhKKKf xyKf xh yhK如果將公式與改進(jìn)公式寫(xiě)成下列形式：

19、公式改進(jìn)公式11 ( , )()( , )( , )nnf x yy xyf x yf x y以上兩組公式都使用函數(shù)在某些點(diǎn)上的值的線性組合來(lái)計(jì)算的近似值。Euler公式：每步計(jì)算一次的值，為一階方法。改進(jìn)Euler公式：需計(jì)算兩次的值，二階方法。( , )(,)( )-nnnf x yxyTaylory xxTaylorR K于是可考慮用函數(shù)在若干點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合來(lái)構(gòu)造近似公式，構(gòu)造是要求近似公式在處的展開(kāi)式與解在 處的展開(kāi)式的前面幾項(xiàng)重合，從而使近似公式達(dá)到所需要的階數(shù)。即避免求偏導(dǎo)，又提高了方法的精度，此為方法的基本思想。11111-(,)(,) (2,3,),pnniiinnii

20、ninijjjiijiRKyyhc KKf xyKf xa h yhb Kipabc一般地，方法設(shè)近似公式為其中 ，都是參數(shù).,(,)( )iijinnnab cxyTaylory xxTaylor確定參數(shù) ，的原則是:使近似公式在處的展開(kāi)式與在 處的展開(kāi)式的前面項(xiàng)盡可能多地重合。二、二階龍格庫(kù)塔方法二、二階龍格庫(kù)塔方法111221222112()(,)(,)nnnnnnpyyh c Kc KKf xyKf xa h yhb K當(dāng)時(shí)，近似公式為 112221123221( ,)( ,)(, ( ,)( ,) ( ,) ( ,)( ,) ( ,)( )nnnnnnnnnnnnnnnxnnynnn

21、nnx yTayloryyhc f x yc f xa h yhb f x yyh c f x yc f x ya hf x yhb f x y f x yO hy上式在處的展開(kāi)式為12222321() ( ,)( ,) + ( ,) ( ,)( )nnxnnynnnncc f x y h c a f x yb f x y f x yhO h123123()()()()()()2(,)(,)2 (,) (,)()nnnnnnnnnxnnynnnny xxTaylorhy xy xhy xy xO hhyf xy hfxyfxyf xyO h在 處的展開(kāi)式為122 232 211 1/2 1/2

22、 ( ),cccacbOh有 無(wú) 窮 多 組 解 ， 每 一 組 解 得 一近 似 公 式 ， 局 部 截 斷 誤 差 均 為這 些 方 法 統(tǒng) 稱 二 階 方 法 。43()()O hO h可以證明，無(wú)論這四個(gè)參數(shù)如何選擇，都不能使局部截?cái)嗾`差達(dá)到，也即在計(jì)算兩次函數(shù)值的情況下，局部截?cái)嗾`差的階最高為。122211121211,1,2()/2(,)(,)nnnnnnccabEuleryyh KKKf xyKf xh yhK取此為改進(jìn)公式。近似公式為 122211212110,1,2( ,)(2,2)nnnnnnccabyyhKKf x yKf xhyhK取此為常用的二階公式，稱為中點(diǎn)公式 三

23、、三階龍格庫(kù)塔方法三、三階龍格庫(kù)塔方法1123121312(4)6(,)(,)22(,2)nnnnnnnnRKhyyKKKKf xyhhKf xyKKf xh yhKhK常用的三階公式為：四、四階龍格庫(kù)塔方法四、四階龍格庫(kù)塔方法112341213243 (22)6(,)(,)22(,)22(,)nnnnnnnnnnRKhyyKKKKKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhK常用的四階公式為： 0.2,-83 ;(0)2.0.44 hR Kyyyy例：設(shè)取步長(zhǎng)寫(xiě)出用經(jīng)典（標(biāo)準(zhǔn)的）四階方法求解初值問(wèn)題 的計(jì)算公式，計(jì)算的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留 位。12,8 - 3 , =0.2

24、, 0.2,0.4fx yyhyyyy解：112341122343(22);6,83;,5.62.1;22,6.322.37;22,4.2081.578.nnnnnnnnnnnnnnhyyKKKKKf xyyKhKfxyyKhKfxyyKf xh yKy由經(jīng)典的四階龍格庫(kù)塔公式得 10121.20160.549402,0.22.30040.42.4654nnyyyyyyyy由于11,2,3,4,454652pRKppRKpppRKRKTaylor兩點(diǎn)說(shuō)明：）當(dāng)時(shí)， 公式的最高階數(shù)恰好是 當(dāng)時(shí)， 公式的最高階數(shù)不是，如時(shí)仍為 ，時(shí) 公式的最高階數(shù)為 。） 方法的導(dǎo)出基于展開(kāi)，故要求所求問(wèn)題的解具

25、有較高的光滑度。 RKEulerRKRKEuler當(dāng)解充分光滑時(shí)，四階 方法確實(shí)優(yōu)于改進(jìn)法。對(duì)一般實(shí)際問(wèn)題，四階方法一般可達(dá)到精度要求。如果解的光滑性差，則用四階 方法解的效果不如改進(jìn)法。五、變步長(zhǎng)的龍格五、變步長(zhǎng)的龍格庫(kù)塔庫(kù)塔方法方法( )1( )51115(2)1,(),2,2nhnhnnnnhnxhyy xychhxxhyc 以經(jīng)典四階龍格庫(kù)塔公式為例。從節(jié)點(diǎn) 出發(fā)，以 為步長(zhǎng)求一近似值將步長(zhǎng)折半，即取 為步長(zhǎng)從 跨兩步到，求一近似值每跨一步的截?cái)嗾`差是5(2)11(2)11()11(2)(2)()1111()2,2()1.16()1().15hnnhnnhnnhhhnnnnhy xyc

26、y xyy xyy xyyy因此有由上兩式 4 4、微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定、微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性性*111*11 nnnnnyyyy穩(wěn)定性分析，對(duì)計(jì)算誤差：其中是的近似計(jì)算值，誤差積累會(huì)淹沒(méi)真值？ = , 0 12 nn kn knyyhykh定義：一種數(shù)值方法求解 試驗(yàn)方程其中是復(fù)常數(shù)。對(duì)給定的步長(zhǎng)，若計(jì)算誤差在計(jì)算， ， 時(shí)不產(chǎn)生增大的誤差，即，稱對(duì)與 這種方法是絕對(duì)穩(wěn)定的。 hhh對(duì) ， 的允許范圍內(nèi)是絕對(duì)穩(wěn)定的，則稱的全體為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域。Euler法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域1*1 nnnnnyyEuleryyhyyhy 的算法：計(jì)算值 1 nnnh誤差方程：11 11 nnhh

27、從而當(dāng)是絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域 Im(h)-2 -1 0 Re(h)hA絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域越大， 可選大些，方法適應(yīng)性越強(qiáng)。如果整個(gè)左半平面是絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域稱穩(wěn)定的。向后向后Euler Euler 法的穩(wěn)定性法的穩(wěn)定性11 nnnyyEuleryyhy 對(duì)用向后法 ： 11 nnnh誤差公式：仍受限制。要求穩(wěn)定的。但收斂法是因此向后 , 10 hhLAEuler1 ()0 1nenRh只 要?jiǎng)t11/ 211 111nnhhh122122211112ehhRhh梯形公式的穩(wěn)定性梯形公式的穩(wěn)定性11 2nnnyyhnyyyy對(duì)用梯形公式）（1()0 1 A- nenRh當(dāng)時(shí)，梯形公式是穩(wěn)定的。11112212122

28、2 2211()411()4nnnnnnhhheehhRhhRR-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域2121233223443( , ) 11 ,22111 ()22411 ()24nnnnnnnyf x yyRKKh y KhyKyhhKhyKyhhhKhyKyhhhh將代入公式：112342341 22611112624nnnyyKKKKyhhhh234111112624nnhhhh則234111 112624hhhh絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域： 2 1-3 -2 -1 0 -1 -211-r1R-K,nnnnnnyyyyyy單步法在計(jì)算時(shí)，只用到前一步的信息 。為提高精度，需重新計(jì)算多個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)

29、值，如方法，計(jì)算量較大。如何通過(guò)較多地利用前面的已知信息，如 ，來(lái)構(gòu)造高精度的算法計(jì)算?；舅枷牖舅枷?.4.線性多步法線性多步法11110111 (,), (,) ,( ,)(1, ,)00Taylornnn rnnn rn rrrnin iin iiiiikkkyyyf xyf xyyyhfff x yknnn r 多步法中最常用的是線性多步法，它的計(jì)算公式中只出現(xiàn)， ，及的一次項(xiàng)，其一般形式為 其中均為常數(shù)，。若，顯式；，隱式。構(gòu)造線性多步公式常用展開(kāi)和數(shù)值積分方法。線性多步公式的導(dǎo)出1(),nnniiTaylorxTaylory xxTaylor 利用展開(kāi)導(dǎo)出的基本方法是：將線性多步

30、公式在 處進(jìn)行展開(kāi)，然后與在處的展開(kāi)式相比較，要求它們前面的項(xiàng)重合，由此確定參數(shù)。( )( )2( )1() (1,2,),( )( )()()2 ()()!kknnnnnnnnpppnnnyyxky xxTayloryy xyy xxxxyxxO xxp記則在 處的展開(kāi)為1011110111( ) ()nnnnnnry xyyyhfff以為例：設(shè)初值問(wèn)題的解充分光滑，待定的兩步公式為231(4)(5)45(6)21111( ),( )( ,) (),()2!3! ()4!5!(,)()2! iiiiinnnnnnnnnnnnnnnnyy xy xf x yinyyyy xhyy hhhyyh

31、hO hyff xyy xyy hh假設(shè)前 步計(jì)算結(jié)果都是準(zhǔn)確的，即則有(4)(5)34(5) ()3!4!nnyyhhO h1111(4)(5)234(5)(,)(,) () ()2!3!4!nnnnnnnnnnnnnff xyyff xyy xyyyyy hhhhO h1(5)2561()()() 2!5!1 nnnnnnnpy xxTayloryyy xyy hhhO hp為使上式有 階精度，只須使其與在 處的展開(kāi)式的前項(xiàng)重合。211011101113(4)4111111(5)56111()()()2()()6222466()( )1202424nnnnnnnyyy hy hy hy h

32、y hO h 將以上各公式代入并整理，得010101111111111111122111162261111246624aaaaaa5,5,11,2,3,4)iippp 個(gè)參數(shù)只須 個(gè)條件。由推導(dǎo)知，如果選取參數(shù)，使其滿足前個(gè)方程（，則近似公式為 階公式。11011111,0,02 ()2nnnnhyyff0如滿足方程組前三個(gè)方程，故公式此為二階公式。0111011115(5)6110,1,343 (4)31 ( )90nnnnnnnhyyfffRh yOh又如：解上面方程組得,相應(yīng)的線性二步四階公式（Simpson公式)為其截?cái)嗾`差為由此可知，線性二步公式至多是四階公式。1010123()1(

33、 )( )1 (1,2,)nnnriirrkkiiiirxTaylory xxTaylorikikp一般地，線性多步公式中有個(gè)待定參數(shù)，如令其右端在 處的展開(kāi)式與在處的展開(kāi)式的前p+1項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，可得方程組1111(1)21 1( )(1)! (1)( ) ()prpniirpppiniphRippiyO h其解所對(duì)應(yīng)的公式具有 階精度，局部截?cái)嗾`差為顯然，線性多步公式至多可達(dá)到2r+2階精度。二、常用的線性多步公式二、常用的線性多步公式1231010100123 (Adams)r=30,1()()1 (1,2,3 4)5559379=1,24242424riirrkkiiiiikik （

34、一）阿達(dá)姆斯公式取，并令由方程組，可解得，1123153354(5)61115(5)6(5559379)24=0Adams1( )5( )()5!251()720nnnnnnniiniinhyyffffhRiiyO hh yO h相應(yīng)的線性多步公式為因，此式稱為顯式公式，是四階公式.局部截?cái)嗾`差為12330101211125(5)610,91951 =1,24242424(9195)24Adams19()720nnnnnnnnhyyffffRh yO h如果令由方程組可解得，相應(yīng)的線性多步公式為稱其為四階隱式公式，其局部截?cái)嗾`差為利用數(shù)值積分方法求線性利用數(shù)值積分方法求線性多步公式多步公式11

35、1111()()( , ( )( ),( )( )( ),1nnnnxxnnxxnnn rnnn rry xy xf x y x dxF x dxxxxxxxF xrxF xr 基本思想是首先將初值問(wèn)題化成等價(jià)的積分形式用過(guò)節(jié)點(diǎn)或的的 次插值多項(xiàng)式代替求積分即得階的線性多步公式。123330123303,( ) ( )( ) ()()()()()( )()() (0,1,2,3)nnnnin iinnnnin in injjj irx xxxF xL xl x F xxxxxxxxxl xxxxxi例如時(shí)，過(guò)節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式為其中1111131301233231313233()()( )(

36、 ) ()()()()()6()()()()2()()()()2()()nnnnnnnnnnxxnnin ixxixnnnnxxnnnnxxnnnnxnny xy xL x dxl x dx F xxxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxxxxF xdxhxxxF x1123123)()655 ()59 ()37 ()9 ()24nnxnnxnnnnxxxdxhhF xF xF xF x1111233,(), (),(,)()(, () (,1,2,3),(5559379)24,nnnnkkkkkknnnnnnnnyyy xy xfxyF xf xy xkn nnnhyyffff

37、AdamsxxAdams對(duì)上式用代替用代替則得這就是四階顯式公式。由于積分區(qū)間在插值區(qū)間外面，又稱為四階外插公式。111(4)310(5)3031(5)35(5)10()()4!() ()4!,),( )251()( )4!720nnnnnnxxnnjxjxxnjxjnnxnnjxjFRxxdxyxxdxxxyRxxdxh y由插值余項(xiàng)公式可得其局部截?cái)嗾`差為由積分中值定理，存在（使得11223111231,( ) ( )( ) ()()()()()( )()() (1,0,1,2)nnnnin iinnnnin in in jjj ixx xxF xL xl x F xxxxxxxxxl x

38、xxxxi 同樣，如果過(guò)節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式為其中代( )F x替求積分，11125(5)12121 (9195)2419( )720,nnnnnnnnnnnnAdamshyyffffRh yxxxxAdamsAdams 即得四階隱式公式其局部截?cái)嗾`差為由于積分區(qū)間在插值區(qū)間內(nèi)，故隱式公式又稱為內(nèi)插公式一階常微分方程組與高階方程一階常微分方程組與高階方程 我們已介紹了一階常微分方程初值問(wèn)題的各種我們已介紹了一階常微分方程初值問(wèn)題的各種數(shù)值解法，對(duì)于一階常微分方程組，可類似得到各數(shù)值解法，對(duì)于一階常微分方程組，可類似得到各種解法，而高階常微分方程可轉(zhuǎn)化為一階常微分方種解法，而高階常微分方程可轉(zhuǎn)化

39、為一階常微分方程組來(lái)求解。程組來(lái)求解。 一階常微分方程組一階常微分方程組對(duì)于一階常微分方程組的初值問(wèn)題對(duì)于一階常微分方程組的初值問(wèn)題 0000( , , ), ()( , , ), ()yf x y z y xyzg x y z z xz（5.15.1） 可以把單個(gè)方程可以把單個(gè)方程 中的中的f 和和y看作向量看作向量來(lái)處理，這樣就可把前面介紹的各種差分算法推廣來(lái)處理，這樣就可把前面介紹的各種差分算法推廣到求一階方程組初值問(wèn)題中來(lái)。到求一階方程組初值問(wèn)題中來(lái)。 ( , )yf x y 設(shè)設(shè) 為節(jié)點(diǎn)上的近似解，為節(jié)點(diǎn)上的近似解，則有改進(jìn)的則有改進(jìn)的EulerEuler格式為格式為 0(1,2,3

40、,);,iiixxih iy z1( ,)iiiiiyyhf x y z1( ,)iiiiizzhg x y z預(yù)報(bào)：預(yù)報(bào)：1111( ,)(,)2iiiiiiiihyyf x y zf xyz1111( ,)(,)2iiiiiiiihzzg x y zg xyz校正：校正： （7.327.32） 又，相應(yīng)的四階龍格又，相應(yīng)的四階龍格庫(kù)塔格式經(jīng)典格式為庫(kù)塔格式經(jīng)典格式為 1123411234(22)6(22)6iiiihyyKKKKhzzLLLL（7.337.33） 112111221112312223122241334133(,)(,)(,)22(,)22(,)22(,)22(,)(,)ii

41、iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiKfxyzLg xyzhhKfxyKzLhhLg xyKzLhhKfxyKzLhhLg xyKzLKfxyhKzhLLg xyhKzhL式中式中 （7.347.34） 把節(jié)點(diǎn)把節(jié)點(diǎn)xi上的上的yi和和zi值代入式值代入式(7.34), 依次算出依次算出 , 然后把它們代入式然后把它們代入式(7.33), 算出節(jié)點(diǎn)算出節(jié)點(diǎn)xi+1上的上的yi+1 和和zi+1值。值。 對(duì)于具有三個(gè)或三個(gè)以上方程的方程組的初值問(wèn)題對(duì)于具有三個(gè)或三個(gè)以上方程的方程組的初值問(wèn)題,也可用類似方法處理也可用類似方法處理,只是更復(fù)雜一些而已。此外只是更復(fù)雜一些而已。此外,多步多步

42、方法也同樣可以應(yīng)用于求解方程組初值問(wèn)題。方法也同樣可以應(yīng)用于求解方程組初值問(wèn)題。 11223344,K L KL KL KL例例 用改進(jìn)的用改進(jìn)的EulerEuler法求解初值問(wèn)題法求解初值問(wèn)題 (0)1(0)2yxyzyxyzzz 00.2x取步長(zhǎng)取步長(zhǎng)h=0.1h=0.1，保留六位小數(shù)。，保留六位小數(shù)。 解解: : 改進(jìn)的改進(jìn)的EulerEuler法公式為法公式為),(1iiiiizyxhfyy),(1iiiiizyxhgzz預(yù)報(bào)：預(yù)報(bào)： ),(),(21111iiiiiiiizyxfzyxfhyy),(),(21111iiiiiiiizyxgzyxghzz校正：校正： 將將 及及h=0.

43、1h=0.1代入上式代入上式, ,得得 zyxzyxgzxyzyxfiiiiii),(,),(110.1()0.1iiiiiiiiiiyyx yzxyzzz11111110.05 ()()0.05iiiiiiiiiiiiiiiiyyx yzxyzxyxyzzzz由初值由初值 , ,計(jì)算得計(jì)算得 00(0)1,(0)2yyzz110.8000002.050000yz11(0.1)0.801500(0.1)2.046951yyzz220.6048202.090992yz22(0.2)0.604659(0.2)2.088216yyzz高階方程組高階方程組 高階微分方程高階微分方程(或方程組或方程組)

44、的初值問(wèn)題的初值問(wèn)題,原則上都原則上都可以歸結(jié)為一階方程組來(lái)求解。例如可以歸結(jié)為一階方程組來(lái)求解。例如,有二階微分方有二階微分方程的初值問(wèn)題程的初值問(wèn)題 0000( , ,)(),()yf x y yy xyy xy在引入新的變量在引入新的變量 后后, ,即化為一階方程組初值問(wèn)題即化為一階方程組初值問(wèn)題: :zy0000( , , ), (), ()zf x y zyz y xy z xy 式式7.367.36為一個(gè)一階方程組的初值問(wèn)題，對(duì)此可為一個(gè)一階方程組的初值問(wèn)題，對(duì)此可用用7.7.17.7.1中介紹的方法來(lái)求解。例如應(yīng)用四階龍格中介紹的方法來(lái)求解。例如應(yīng)用四階龍格- -庫(kù)塔公式得庫(kù)塔公

45、式得 1123411234(22)6(22)6iiiihyyKKKKhzzLLLL1121211123231222434133(,)2(,)222(,)22(,)iiiiiiiiiiiiiiiiKzLf xy zhKzLhhLf xyKzLhKzLhhLf xyKzLKzhLLf xyhKzhL消去消去 ，上式簡(jiǎn)化為：，上式簡(jiǎn)化為： (1,2,3,4)iK i 2112311234()6(22)6iiiiihyyhzLLLhzzLLLL1211223112224123(,)(,)22(,)242(,)2iiiiiiiiiiiiiiiLf xy zhhLf xyzzLhhhLf xyzL zLhLf xyhzLzhL上述方法同樣可以用來(lái)處理三階或更高階的微分方上述方法同樣可以用來(lái)處理三階或更高階的微分方程或方程組