chapt09-冪級(jí)數(shù)解法、本征值問(wèn)題ppt課件

1、第九章 冪級(jí)數(shù)解法 本征值問(wèn)題9.1二階常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法二階常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法9.1.1冪級(jí)數(shù)解法理論概述冪級(jí)數(shù)解法理論概述 用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對(duì)拉普拉斯方程、波動(dòng)方程、輸用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對(duì)拉普拉斯方程、波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程進(jìn)行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德運(yùn)方程進(jìn)行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程用方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程用其他坐標(biāo)系對(duì)其他數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離變量，其他坐標(biāo)系對(duì)其他數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離變量，還會(huì)出現(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程它們大多是二階線還會(huì)出現(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程它們大多

2、是二階線性常性常 微分方程微分方程不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)的線性二階常不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)的線性二階常微分方程微分方程 220001d( )d ( )( )( ) ( )0dd() ()zzp zq zzzzw zCw zCwww（9.1.1）其中 z為復(fù)變數(shù)， z0為選定的點(diǎn)，C0, C1 為復(fù)數(shù).說(shuō)明：這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級(jí)數(shù)解法解出可用冪級(jí)數(shù)解法解出所謂冪級(jí)數(shù)解法，就是在某個(gè)任意點(diǎn)所謂冪級(jí)數(shù)解法，就是在某個(gè)任意點(diǎn)Z0Z0的鄰域上，把待求的鄰域上，把待求的解表為系數(shù)待定的冪級(jí)數(shù)，代入方程以逐個(gè)

3、確定系數(shù)的解表為系數(shù)待定的冪級(jí)數(shù)，代入方程以逐個(gè)確定系數(shù)冪級(jí)數(shù)解法是一個(gè)比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借冪級(jí)數(shù)解法是一個(gè)比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數(shù)的理論進(jìn)行討論助于解析函數(shù)的理論進(jìn)行討論求得的解既然是級(jí)數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍的問(wèn)題求得的解既然是級(jí)數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍的問(wèn)題. . 盡管冪級(jí)數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應(yīng)用于微分方程盡管冪級(jí)數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應(yīng)用于微分方程的求解問(wèn)題中的求解問(wèn)題中如果方程如果方程9.1.1的系數(shù)函數(shù)的系數(shù)函數(shù) )(zp)(zq0z和和在選定的點(diǎn)在選定的點(diǎn)的鄰域的鄰域 中是解析的，則點(diǎn)中是解析的，則點(diǎn)0z方程方程9.1.1的常

4、點(diǎn)的常點(diǎn). 如果選定的點(diǎn)如果選定的點(diǎn) 0z)(zp)(zq是是或或的奇點(diǎn)，則點(diǎn)的奇點(diǎn)，則點(diǎn) 0z叫作方程叫作方程9.1.1的奇點(diǎn)的奇點(diǎn) 叫作叫作1方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)概念方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)概念2. 常點(diǎn)鄰域上的冪級(jí)數(shù)解定理定理定理9.1.1 若方程若方程9.1.1的系數(shù)的系數(shù) )(zp)(zq0zRzz0和和為點(diǎn)為點(diǎn)的鄰域的鄰域中的解析函數(shù)，中的解析函數(shù)， 則方程在這圓中存在唯一的解析解則方程在這圓中存在唯一的解析解 ( ) zw滿足滿足00()zCw01()zCw01CC，初始條件初始條件，其中，其中是任意給定的復(fù)常數(shù)是任意給定的復(fù)常數(shù)，故可以把它表示為此鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)故可以把它表示為此鄰域上的

5、泰勒級(jí)數(shù). 0zRzz0既然線性二階常微分方程在常點(diǎn)既然線性二階常微分方程在常點(diǎn)的鄰域的鄰域上存在唯一的解析解，上存在唯一的解析解， 00( )()kkkzazzw（9.1.2）其中其中012,ka a aa為待定系數(shù)為待定系數(shù) 為了確定級(jí)數(shù)解為了確定級(jí)數(shù)解9.1.2中的系數(shù)，具體的做法是以中的系數(shù)，具體的做法是以 （.2代入方程代入方程.1），合并同冪項(xiàng)，令合并后的系數(shù)），合并同冪項(xiàng)，令合并后的系數(shù)分別為零，找出系數(shù)分別為零，找出系數(shù)012,ka a aa之間的遞推關(guān)系，之間的遞推關(guān)系， 0C1C最后用已給的初值最后用已給的初值，來(lái)確定各個(gè)系數(shù)來(lái)確定各個(gè)系數(shù)

6、), 2 , 1 , 0(kak從而求得確定的級(jí)數(shù)解從而求得確定的級(jí)數(shù)解 下面以下面以階勒讓德方程為例，具體說(shuō)明級(jí)數(shù)解法的步驟階勒讓德方程為例，具體說(shuō)明級(jí)數(shù)解法的步驟 l9.1.2常點(diǎn)鄰域上的冪級(jí)數(shù)解法 勒讓德方程的求解注：注： （參考書上（參考書上9.19.1節(jié)內(nèi)容，特別是書上節(jié)內(nèi)容，特別是書上226-228226-228頁(yè)內(nèi)容頁(yè)內(nèi)容由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在 00 x鄰域上求解鄰域上求解l階勒讓德方程階勒讓德方程 0) 1(2)1 (2 yllyxyx故方程的系數(shù)故方程的系數(shù) 01) 1(1222 yxllyxxy212)(xxxp21

7、) 1()(xllxq在在 00 x，單值函數(shù)，單值函數(shù) 0)(0 xp) 1()(0llxq，均為有限值，它們必然在均為有限值，它們必然在00 x解析解析 00 x是方程的常點(diǎn)根據(jù)常點(diǎn)鄰域上解的定理，是方程的常點(diǎn)根據(jù)常點(diǎn)鄰域上解的定理，解具有泰勒級(jí)數(shù)形式：解具有泰勒級(jí)數(shù)形式：0)(kkkxaxy（9.1.3） 泰勒級(jí)數(shù)形式的解，將其代入勒氏方程可得系數(shù)間的遞推關(guān)系2()(1), 0,1,2,(1)(2)kklk lkaakkk （9.1.4）因而，由任意常數(shù)因而，由任意常數(shù) 可計(jì)算出任一系數(shù)可計(jì)算出任一系數(shù) 10,aa, 3 , 2,kak偶次項(xiàng)的系數(shù)偶次項(xiàng)的系數(shù):20(2) (22)(1)

8、(3) (21)( 1)(2 )!mml llmlllmaam 奇次項(xiàng)的系數(shù)奇次項(xiàng)的系數(shù) 211(1)(3)(21)(2)(4)(2 )( 1)(21)!mmlllmlllmaam 將它們代入解的表達(dá)式中，得到勒讓德方程解的形式 (9.1.7)240351(1)(2)(1)(3)( )12!4!(1)(2)(1)(3)(2)(4) 3!5! = ( )( )lll ll llly xaxxlllllla xxxp xq x其中( )lp x( )lq x分別是偶次項(xiàng)和奇次項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)分別是偶次項(xiàng)和奇次項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)l不是整數(shù)時(shí)不是整數(shù)時(shí) ( )lp x( )lq x無(wú)窮級(jí)數(shù)，容易求無(wú)窮級(jí)數(shù)，容易

9、求得其收斂半徑均為得其收斂半徑均為1 1x時(shí)，時(shí)， ( )lp x( )lq x發(fā)散于無(wú)窮發(fā)散于無(wú)窮 ln是非負(fù)整數(shù)是非負(fù)整數(shù) 042nnaa遞推公式遞推公式9.1.4） n是偶數(shù)時(shí)，是偶數(shù)時(shí)， ( )lp x是一個(gè)是一個(gè)n次多項(xiàng)式，但函數(shù)次多項(xiàng)式，但函數(shù) ( )lq x1x為在為在 處發(fā)散至無(wú)窮的無(wú)窮級(jí)數(shù)處發(fā)散至無(wú)窮的無(wú)窮級(jí)數(shù) 是奇數(shù)時(shí)，是奇數(shù)時(shí)， ( )lq xn( )lp x1x是是次多項(xiàng)式，而次多項(xiàng)式，而仍然是在仍然是在處無(wú)界的無(wú)窮級(jí)數(shù)處無(wú)界的無(wú)窮級(jí)數(shù) l 是負(fù)整是負(fù)整數(shù)時(shí)數(shù)時(shí) ( )lp x( )lq x一個(gè)是多項(xiàng)式，另一個(gè)一個(gè)是多項(xiàng)式，另一個(gè)是無(wú)界的無(wú)窮級(jí)數(shù)是無(wú)界的無(wú)窮級(jí)數(shù) 所以不

10、妨設(shè) 導(dǎo)出這個(gè)多項(xiàng)式的表達(dá)式導(dǎo)出這個(gè)多項(xiàng)式的表達(dá)式 ,l是非負(fù)整數(shù)是非負(fù)整數(shù)n（因在實(shí)際問(wèn)題中一般總要求有界解）（因在實(shí)際問(wèn)題中一般總要求有界解） 把系數(shù)遞推公式把系數(shù)遞推公式9.1.4改寫成改寫成 2(1)(2) (2)()(1)kkkkaaknnk nk (9.1.8)于是可由多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)于是可由多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)na來(lái)表示其它各低階項(xiàng)系數(shù)來(lái)表示其它各低階項(xiàng)系數(shù)取多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)為取多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)為nnannna)12(2)1(2nnnannnnnnannna) 32)(12 ( 42) 3)(2)(1() 32 ( 4) 3)(2(242(2 )!, 1,2,3,2 (

11、!)nnnann (9.1.9)這樣取主要是為了使所得多項(xiàng)式在這樣取主要是為了使所得多項(xiàng)式在 1x處取值為處取值為1，即實(shí)現(xiàn)歸一化，即實(shí)現(xiàn)歸一化. 可得系數(shù)的一般式為可得系數(shù)的一般式為2(22 )!( 1), (2)2 !()!(2 )!knknnkak nk n k nk (9.1.10)因而，我們得出結(jié)論：因而，我們得出結(jié)論：2ln是非負(fù)偶數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解是非負(fù)偶數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解 22(2 )!(22)!( )2 ( !)2 (1)!(2)!lllllllp xxxlll220(22 )!( 1)2!()!(2 )!lklklklkxklklk （9.1.11）21ln是正奇數(shù)時(shí)，

12、勒讓德方程有解是正奇數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解(1) 220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkp xxklklk (9.1.12)對(duì)上述討論進(jìn)行綜合，若用對(duì)上述討論進(jìn)行綜合，若用 2l表示不大于表示不大于 2l的整數(shù)部分，的整數(shù)部分，用大寫字母用大寫字母P寫成統(tǒng)一形式解寫成統(tǒng)一形式解 220(22 )!P( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxklklk（9.1.13）ln是非負(fù)整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的是非負(fù)整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的基本解組基本解組 )(xpn)(xqn中只有一個(gè)多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式中只有一個(gè)多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式 P ( )n

13、x，也稱為第一類勒讓德函數(shù)；，也稱為第一類勒讓德函數(shù)； 另一個(gè)是無(wú)窮級(jí)數(shù)，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)，另一個(gè)是無(wú)窮級(jí)數(shù)，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)， 記為大寫的記為大寫的 Q ( )nx可以得出它們的關(guān)系可以得出它們的關(guān)系22dQ ( )P( )(1-) ( )lllxxxxP x（9.1.14）經(jīng)過(guò)計(jì)算后，經(jīng)過(guò)計(jì)算后， Q ( )lx可以通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)及勒讓德多項(xiàng)式可以通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)及勒讓德多項(xiàng)式 P ( )lx表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達(dá)式為表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達(dá)式為 221011243Q ( )P( )lnP( )21(21)(1)llllkkxlkxx

14、xxklk (9.1.15)特別地特別地2012111113Q ( )ln; Q ( )ln1; Q ( )(31)ln2121412xxxxxxxxxxxx可以證明這樣定義的可以證明這樣定義的 Q ( )lx，其遞推公式和，其遞推公式和 P ( )lx的遞推公式具有相同的形式而且在一般情況下勒讓德方程的遞推公式具有相同的形式而且在一般情況下勒讓德方程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx的通解為兩個(gè)獨(dú)立解的線性疊加的通解為兩個(gè)獨(dú)立解的線性疊加12( )P ( )Q ( )lly xcxcx但是在滿足自然邊界即要求定解問(wèn)題在邊界上有限）但是在滿足自然邊界即要求定解問(wèn)題在邊界上有限）Q ( )

15、lx的形式容易看出，它在端點(diǎn)的形式容易看出，它在端點(diǎn) 1x處是無(wú)界的，處是無(wú)界的，故必須取常數(shù)故必須取常數(shù) 20c 從而勒讓德方程的解就只有從而勒讓德方程的解就只有 第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式：第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式： P( )lx綜合可得如下結(jié)論：綜合可得如下結(jié)論：（1當(dāng)當(dāng) l不是整數(shù)時(shí)，勒讓德方程在區(qū)間不是整數(shù)時(shí)，勒讓德方程在區(qū)間1 , 1上無(wú)有界的解上無(wú)有界的解 （2當(dāng)當(dāng) ln為整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的通解為為整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的通解為 12( )P ( )Q ( )nny xcxcx，其中，其中 P ( )nx稱為第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式），稱為第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多

16、項(xiàng)式）， Q ( )nx稱為第二類勒讓德函數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù). ln為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下(即要求在即要求在 有界解的情況下有界解的情況下)求解，則勒讓德方程的解只有第一求解，則勒讓德方程的解只有第一 類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式P ( )nx因?yàn)榈诙愐驗(yàn)榈诙惱兆尩潞瘮?shù)勒讓德函數(shù) Q ( )nx在閉區(qū)間在閉區(qū)間 1 , 1上是無(wú)界的上是無(wú)界的9.1.3 奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程的求解奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程的求解前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我我們來(lái)

17、討論這個(gè)方程的冪級(jí)數(shù)解法按慣例，仍以我們來(lái)討論這個(gè)方程的冪級(jí)數(shù)解法按慣例，仍以 x表示自變量，以表示自變量，以 y表示未知函數(shù)，那么表示未知函數(shù)，那么 階貝塞爾方程為階貝塞爾方程為22222dd()0ddyyxxxyxx (9.1.18)其中，其中， 為任意復(fù)數(shù)，為任意復(fù)數(shù)， 但在本節(jié)中但在本節(jié)中 由于方程的系數(shù)中出現(xiàn)由于方程的系數(shù)中出現(xiàn) 只限于取實(shí)數(shù)。只限于取實(shí)數(shù)。2 項(xiàng)，不妨?xí)合燃俣?xiàng)，不妨?xí)合燃俣?0221( ), ( ) 1pxqxxx 故故 0 x為為 ( ), ( )p x q x的奇點(diǎn)。的奇點(diǎn)。 下面介紹奇點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程的求解下面介紹奇點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方

18、程的求解設(shè)方程設(shè)方程9.1.18的一個(gè)特解具有下列冪級(jí)數(shù)形式：的一個(gè)特解具有下列冪級(jí)數(shù)形式： )(2210kkcxaxaxaaxy0kkckxa00a (9.1.19）其中，常數(shù)其中，常數(shù) c和和 ), 2 , 1 , 0(kak可以通過(guò)把可以通過(guò)把 y和它的導(dǎo)數(shù)和它的導(dǎo)數(shù) yy ,代入代入9.1.18來(lái)確定來(lái)確定 將將9.1.19及其導(dǎo)數(shù)代入及其導(dǎo)數(shù)代入9.1.18后，得后，得 22010c kkkckckckxa x化簡(jiǎn)后寫成化簡(jiǎn)后寫成2222212012210ccc kkkkcaxcaxc kaax要使上式恒成立，必須使得各個(gè)要使上式恒成立，必須使得各個(gè) x次冪的系數(shù)為零，次冪的系數(shù)為零

19、， 從而得下列各式：從而得下列各式： 220()0a c (9.1.20)22110ac (9.1.21)2220,(2,3,)kkckaak(9.1.22)由由9.1.20） 得得 c ；代入；代入9.1.21），得），得 01a現(xiàn)暫取現(xiàn)暫取 c，代入，代入9.1.22得得 2(2)kkaakk (9.1.23)因?yàn)橐驗(yàn)?01a，由，由9.1.23知：知： 07531aaaa,642aaa都可以用都可以用 0a表示，即表示，即020406022(22)2 4(22)(24)2 4 6(22)(24)(26)( 1)2 4 62(22)(24)(22)mmaaaaaaaamm 02( 1)2!

20、(1)(2)()mmamm由此知由此知9.1.19的一般項(xiàng)為的一般項(xiàng)為202( 1)2!(1)(2)()mmma xmm0a是一個(gè)任意常數(shù)，令是一個(gè)任意常數(shù)，令 0a取一個(gè)確定的值，就得取一個(gè)確定的值，就得9.1.18） 的一個(gè)特解我們把的一個(gè)特解我們把 0a取作取作 012(1)a這樣選取這樣選取 0a與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān)。與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān)。 運(yùn)用下列恒等式運(yùn)用下列恒等式 ()(1)(2)(1) (1)(1)mmm 使分母簡(jiǎn)化，從而，使使分母簡(jiǎn)化，從而，使9.1.19中一般項(xiàng)的系數(shù)變成中一般項(xiàng)的系數(shù)變成221( 1)2! (1)mmmamm （9.1.24

21、）以以9.1.24代入代入9.1.19得到貝塞爾方程得到貝塞爾方程9.1.18的一個(gè)特解的一個(gè)特解2120( 1) (0)2! (1)mmmmxymm用級(jí)數(shù)的比值判別式或稱達(dá)朗貝爾判別法可以判定用級(jí)數(shù)的比值判別式或稱達(dá)朗貝爾判別法可以判定 這個(gè)級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)這個(gè)級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù) 所確定的函數(shù)，稱為所確定的函數(shù)，稱為 階第一類貝塞爾函數(shù)，記作階第一類貝塞爾函數(shù)，記作220J ( )( 1) (0)2! (1)mmmmxxmm (9.1.25）至此，就求出了貝塞爾方程的一個(gè)特解至此，就求出了貝塞爾方程的一個(gè)特解 ( )Jx另外，當(dāng)另外，當(dāng) c 即取負(fù)值時(shí)，用同樣方

22、法可得即取負(fù)值時(shí)，用同樣方法可得貝塞爾方程貝塞爾方程9.1.18的另一特解的另一特解220J ( )( 1),2! (1)mmmmxxmm （9.1.26）比較比較9.1.25與與9.1.26可見，只需在可見，只需在9.1.25的右的右端把端把 換成換成 ，即可得到，即可得到9.1.26）故不論）故不論 是正是正 數(shù)還是負(fù)數(shù)，總可以用數(shù)還是負(fù)數(shù)，總可以用9.1.25統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函數(shù)數(shù)討論：討論：(1)當(dāng)當(dāng) 不為整數(shù)時(shí)，例如不為整數(shù)時(shí)，例如 J ( )x為分?jǐn)?shù)階貝塞爾函數(shù)：為分?jǐn)?shù)階貝塞爾函數(shù)： 1122J ( ),J ( ),xx等等, 當(dāng)當(dāng) 0 x時(shí)，時(shí)， 1

23、J ( )()0(1) 21J( )()(1) 2xxxx 故這兩個(gè)特解故這兩個(gè)特解 J ( )x與與 J( )x是線性無(wú)關(guān)的，由齊次線是線性無(wú)關(guān)的，由齊次線性常微分方程的通解構(gòu)成法知道，（性常微分方程的通解構(gòu)成法知道，（9.1.18的通解為的通解為J ( )J( )yAxBx （9.1.28）其中，其中， BA,為兩個(gè)任意常數(shù)為兩個(gè)任意常數(shù) 根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達(dá)朗貝爾比值法根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達(dá)朗貝爾比值法222lim0mmmaa 故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) J ( )x和和 J( )x的收斂范圍為的收斂范圍為 x0(2)當(dāng)當(dāng) n為正整數(shù)或零時(shí)注為正整數(shù)或零時(shí)注:以下推導(dǎo)凡用以下推導(dǎo)凡用 n即表整數(shù)），即表

24、整數(shù)）， )!() 1(mnmn故有故有220J ( )( 1) (0,1,2, )2!()!nmmnnmmxxnm n m（9.1.27）稱稱 J ( )nx為整數(shù)階貝塞爾函數(shù)易得為整數(shù)階貝塞爾函數(shù)易得 24602235111J ( )1 ( )( )( )2(2!)2(3!)211J ( )( )( )22! 22!3! 2xxxxxxxx 需注意在取整數(shù)的情況下，需注意在取整數(shù)的情況下， J ( )nx和和 J( )nx線性相關(guān)，線性相關(guān)，這是因?yàn)檫@是因?yàn)? 20( )2J( )( )( 1)2! (1)mnmnmxxxmmn2220( )( )22( )( 1)( 1) ( )( 1)

25、2()! !2!()!lnlnn lnnlllnxxxxnl ll nl 可見正、負(fù)可見正、負(fù) n階貝塞爾函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)因子階貝塞爾函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)因子 n) 1(這時(shí)貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特解這時(shí)貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特解 我們定義第二類貝塞爾函數(shù)又稱為諾依曼函數(shù)為我們定義第二類貝塞爾函數(shù)又稱為諾依曼函數(shù)為 cos( )J ( ) J ( )N ( )sin( )xxx是一個(gè)特解，它既滿足貝塞爾方程，又與是一個(gè)特解，它既滿足貝塞爾方程，又與 J ( )nx線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān) 2100200( 1) ( )2212N ( )J ( )(ln)2(

26、 !)1mmmmkxxxxmk12021100021(1)!N ( )J ( )(ln)( )2!2( 1) ( )1112 ()!()!11nnmnnmmnmn mmmkkxnmxxxmxm nmkk 其中，其中， 0.5772為歐拉常數(shù)為歐拉常數(shù)可以證明是貝塞爾方程的特解，可以證明是貝塞爾方程的特解， 且與且與 J ( )nx線性無(wú)關(guān)的線性無(wú)關(guān)的.綜述：（綜述：（1當(dāng)當(dāng) n，即不取整數(shù)時(shí)，其貝塞爾方程的，即不取整數(shù)時(shí)，其貝塞爾方程的通解可表示為通解可表示為J ( )J( )yAxBx（2不論不論 是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可表示為表示為J ( )N (

27、)yAxBx其中其中 BA,為任意常數(shù)，為任意常數(shù)， 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù) 9.2 施圖姆劉維爾本征值問(wèn)題 從數(shù)學(xué)物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程從數(shù)學(xué)物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來(lái)的，往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來(lái)的，也可以是沒有寫出來(lái)的所謂自然邊界條件滿足這些邊界也可以是沒有寫出來(lái)的所謂自然邊界條件滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值這些特定值條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值這些特定值叫做本征值或特征值、或固有值），相應(yīng)的非零解叫做叫做本征值或特征值、或固有值），相應(yīng)的非零解叫做本征函數(shù)特征函數(shù)、固有函數(shù)求本征值和本征函數(shù)的本征函數(shù)特征函數(shù)、固有函數(shù)求本征值