微專題1直線與圓

1、第六講解析幾何微專題1直線與圓命題者說考題統(tǒng)計(jì)考情點(diǎn)擊2018全國卷山T6直線與圓位 置關(guān)系的應(yīng)用2018北京高考T7點(diǎn)到直線距 離的最值2017全國卷山T10直線與圓的 位置關(guān)系2016全國卷H T4圓的方程、點(diǎn) 到直線的距離1圓的方程近兩年為高考全 國課標(biāo)卷命題的熱點(diǎn)，需重點(diǎn)關(guān) 注。此類試題難度中等偏下，多 以選擇題或填空題形式呈現(xiàn)。2直線與圓的方程偶爾單獨(dú)命 題，單獨(dú)命題時(shí)有一定的深度， 對(duì)直線與圓的方程（特別是直 線）的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線 的綜合問題上。首向剖折 對(duì)點(diǎn)鍛純r(jià)iri-ieisB _.F « I fJl jT T f Nin s ri r 韋hd關(guān)m 曲考向一

2、直線的方程k的值是()B. 1 或 5D. 1 或 2B(m,m)(1<m<4), C(4,2)，則當(dāng))【例1】(1)已知直線11： (k-3)x+ (4-k)y+ 1 = 0與直線I?: 2(k- 3)x- 2y+ 3= 0 平行，則A . 1 或 3C. 3 或 5(2)在厶 ABC 中，A(1,1), ABC的面積最大時(shí)，m=(A. IC 1C. 2解析（1）當(dāng)k= 4時(shí)，直線11的斜率不存在，直線12的斜率存在，所以兩直線不平行；當(dāng)kz 4時(shí)，兩直線平行的一個(gè)必要3一 k42條件是= k 3,解得k= 3或k= 5;但必須滿足工(截4 kk42距不等)才是充要條件，經(jīng)檢驗(yàn)知

3、滿足這個(gè)條件。故選Co(2)由兩點(diǎn)間距離公式可得|AC|= 10,直線AC的方程為x3y+ 2= 0,所以點(diǎn)B到直線AC的距離d=冋-3； + 2|,從而1 i1 i 3 C. 8D. 2解析 易知直線l1: 4x+ y= 1關(guān)于直線l2： x y= 0對(duì)稱的 直線方程為 x+ 4y= 1，又13: 2x my= 3。故由題意得 1X 2 +1 ABC 的面積 S= 2|AC|d = 2|m /m+ 2| = /mqf4，又391<m<4，所以1< m<2，所以當(dāng).m= f，即m=4時(shí)，S取得最大值。故選B o答案(1)C(2)B直線方程應(yīng)用的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)求解兩條直

4、線平行的問題時(shí)， 在利用A1B2 A2B= 0建立 方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的情 況。(2)求直線方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時(shí)要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意。變|式|訓(xùn)|練1. (2018 門模擬)已知三條直線11： 4x+ y= 1, I2： x y=0, I3： 2x my= 3,若b關(guān)于I?對(duì)稱的直線與I3垂直，則實(shí)數(shù)m 的值是()1A . 8B . 214X ( m) = 0,所以m =。故選D。答案 D2. （2018河南名校聯(lián)考）已知 m, n, a, b R，且滿足3m + 4n = 6,3a + 4b= 1,貝m a 2+ nb2

5、的最小值為（）A. 3B.21C. 1D. 2解析 此題可理解為點(diǎn)A(m, n)和點(diǎn)B(a, b)分別在直線3x + 4y= 6與l2： 3x + 4y= 1上，求A、B兩點(diǎn)距離的最小值，|AB|="'m a 2+ n b 因?yàn)?I, I2,所以 |AB|minl£1| =；'32+ 421。答案 C考向二圓的方程【例2】(1)(2018珠海聯(lián)考)已知圓C與直線x y= 0及x y 4 = 0都相切，圓心在直線 x+ y= 0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 為()A. (x+1)2+ (y 1)2=2B. (x 1)2+ (y+ 1)2= 2C. (x 1)2+ (y

6、 1)2= 2D. (x+1)2+ (y+ 1)2=2(2)(2018貴陽摸底)過點(diǎn)M(2,2)的直線l與坐標(biāo)軸的正方向分 別相交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OAB的面積為8,則 OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。解析(1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a, a),則有|a匕已"=|aa - 4|,即|a|= |a-2|,解得a= 1。故圓心坐標(biāo)為(1,-1),2半徑r = 2= 2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+ (y+ 1)2= 2 故選B。(2)解法一：設(shè)直線I的方程為£ + b= 1(a>0, b>0)，由直線I2 2 1過點(diǎn) M(2,2)，得|+ b= 1,

7、又 °ab=新=8,所以 a = 4, b= 4,不妨設(shè)A(4,0), B(0,4), OAB外接圓的方程為 x2+ y2+ Dx + EyF = 0,+ F = 0,則將0, A, B的坐標(biāo)分別代入得 16 + 4D + F = 0,解16 + 4E+ F= 0,F = 0得D = 4, 所以 OAB外接圓的方程為x2 + y2-4x-4y= 0,E= 4,標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+ (y- 2)2= 8。解法二：設(shè)直線I的方程為：+ b = 1(a>0, b>0),由直線l過2 21點(diǎn) M(2,2)，得-+ b = 1。又 SoAB= 2ab = 8,所以 a= 4,

8、b = 4, a b2所以 OAB是等腰直角三角形，且 M是斜邊AB的中點(diǎn)，則OAB外接圓的圓心是點(diǎn) M(2,2),半徑|0M| = 2 2,所以 OAB外 接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x- 2)2+ (y- 2)2 = 8。答案 (1)B(2)(x- 2)2 + (y-2)2= 8求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：通過已知條件，利用相應(yīng)的幾何知識(shí)求圓的圓心, 半徑。(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程， 再由條件求得各 系數(shù)。變|式|訓(xùn)|練1拋物線y2= 4x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于 A, B兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則過M, A, B三點(diǎn)的圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程為。解析 由題意知，A(1,

9、2), B(1 , - 2), M(- 1,0), AMB 是 以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則線段 AB是所求圓的直徑， 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+ y2= 4。答案 (x- 1)2+ y2= 42.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線 mx -y-2m- 1 = 0(m R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方解析解法:由題意得：半徑等于冊(cè)T''m+ 1 2,m2 + 1"1+活+產(chǎn)、1 + m+p 2，當(dāng)且僅當(dāng)m= 1時(shí)取等號(hào), 所以半徑最大為r2,所求圓為(x-1)2+ y2= 2。解法二：直線 mx- y-2m- 1 = 0, y=

10、 m(x- 2)- 1 恒過點(diǎn)M(2,- 1)，如圖，設(shè) C(1,0)，貝U M為切點(diǎn)時(shí)半徑最大，且rmax=|CM |= p (2- 1 f + ( - 1 )2 = (2，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 為(x- 1)2+ y2 = 2。答案(x 1)2+ y2= 2考向三直線與圓的位置關(guān)系 微考向1:直線與圓的相交弦【例3】(1)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線I與圓C: (x-2)2 + (y-3)2= 1交于 M , N兩點(diǎn)，若IMN匸專，則直線1的方程為。(2)設(shè)直線x y a= 0與圓x2 + y2= 4相交于A, B兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 AOB為等邊三角形，則實(shí)數(shù)A. 土-

11、3B. ±, 6 C. ±解析(1)直線l的方程為距離 d=|2k-3+1|=|2k 2|,k2+ 1D.y= kx+1,圓心 -f1a的值為()'k2+ 111+三，解得k= 2或1,所求直線52(2 )由題意知：圓心坐標(biāo)為為2,所以 AOB的高為3,由 r2= d2+ |MN| 2 得 1±C(2,3)到直線I的_(2k 2)2=k2+ 11l的方程為y= 2x+ 1或y=2x+ 1。(0,0)，半徑為2,則厶AOB的邊長(zhǎng) 即圓心到直線x y a=0的距離為V3,所以寸J+( "2 = V3,解得a= ±6。故選B1答案(1)y=

12、2x+ 1 或 y = 2x+ 1(2)Biffi(1)直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半 徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩 半徑差與和的比較。(2)弦長(zhǎng)的求解方法 根據(jù)半徑，弦心距，半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2= d2 + 4（其中I為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直 線的距離），弦長(zhǎng)1 = 2 'r2- d2。 根據(jù)公式：l = 1 + k2% X2I求解（其中I為弦長(zhǎng)，Xi , X2 為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)， k為直線的斜率），或根據(jù)I =1 + ：2“1y2i 求解。 求出交點(diǎn)坐

13、標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解。變i式 i訓(xùn)i練（2018合肥一模）設(shè)圓X2+ y2 2x 2y 2 = 0的圓心為C,直 線I過（0,3），且與圓C交于A, B兩點(diǎn)，若AB|= 2 3，貝V直線I 的方程為（）A . 3x+ 4y 12= 0 或 4x 3y+ 9 = 0B. 3x+ 4y 12= 0 或 x= 0C. 4x 3y+ 9 = 0 或 x= 0D. 3x 4y+ 12= 0 或 4x+ 3y+ 9 = 0解析 當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，直線I的方程為x= 0,圓 心到直線I的距離為d= 1,所以|AB| = 2.4 1 = 2 3，符合題意。 當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=

14、 kx+ 3,因?yàn)閳Ax2+ y2 2x 2y 2= 0 即(x 1)2+ (y 1)2 = 4,所以圓心為 C(1,1),圓的半徑r = 2，易知圓心 C（1,1）到直線y= kx+ 3的距離d =k 1 + 3| = |k+ 2|k2+ 1 = . k2+ 1因?yàn)閐2 +晉F=r2,所以法+ 3= 4解【例4】(1)(2018全國卷山)直線x+ y+ 2 = 0分別與x軸， y軸交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x- 2)2 + y2= 2上，則 ABP面積 的取值范圍是()A 2,6B. 4,8C. 2, 3 2D. 2 2, 3 2(2)(2018北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，記 d為點(diǎn)P(c

15、osB, sin®到直線x-my-2 = 0的距離。當(dāng)6, m變化時(shí)，d的最大值 為()A . 1B . 2C. 3D. 4解析(1)因?yàn)橹本€x+ y+ 2= 0分別與x軸，y軸交于A, B 兩點(diǎn)。所以A( 2,0), B(0, - 2),則|AB|= 2 2。因?yàn)辄c(diǎn)P在圓 (x-2)2+ /= 2上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離 d1 = |2+ 0； 2|= 2 2故點(diǎn)P到直線x+ y+ 2= 0的距離d2的取值范圍為 r.2, 3 2O(2 )解法一：為圓心的單位圓，又x-my- 2 = 0表示過點(diǎn)(2,0)且斜率不為0的 直線，如圖，可得點(diǎn)(一1,0)到直線x=

16、2的距離即為d的最大值。 故選C。解法二：由題意可得|cos 0 msin 0 2| |msin 0 cos 0+ 2|d=m2+ 1r 2m . A + (考向一)已知直線 A： ax+ (a+ 2)y+ 1 = 0,x+ ay+ 2=0,其中 a R，則“ a=- 3” 是 “h 丄 D” 的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析 直線h丄12的充要條件是a + (a + 2)a= 0,所以a(a + 3) = 0,所以a= 0或a=- 3。故選 A。答案A 帀+sn0£m+cosm2 +1| m2 + 1sin 0 °

17、+ 2|、m2+ 1因?yàn)橐? < sin( 0 其中 cos# mm+ 1, SM= - m2m2 +°)= 1，所以m2 + 1，m2+ 1 + 2'卅+ 1 + 2 = 1 +賽 dw f2+ 1，m2 + 122，所以當(dāng)m= 0時(shí)，d取最大值3。故選Com2+ 1答案(1)A(2)C禾U用圓的圖形特征求解有關(guān)距離的最值問題往往比一些常 規(guī)的方法簡(jiǎn)單、便捷。變|式|訓(xùn)|練x+ y)1. (2018太原五中模擬)已知k R，點(diǎn)P(a, b)是直線=2k與圓x2 + y2= k2 2k+ 3的公共點(diǎn)，貝U ab的最大值為(A . 15B. 9C. 15D. 32kl解析

18、 由題意得，圓心到直線 x+ y= 2k的距離d =2< k2 2k+ 3,且 k2 2k+ 3>0，解得3< k< 1，因?yàn)?2ab= (a + b)2 (a2+ b2) = 4k2 (k2 2k+ 3) = 3k2 + 2k 3,所以當(dāng) k= 3 時(shí)，ab取得最大值9。故選B。答案 B2. (2018山西晉中二模)由直線y= x+ 1上的一點(diǎn) P向圓(x-3)jPM|2- 1 2 ；22- 1 = 7。則切線長(zhǎng)的最小值為7o答案 7IK夾彼壓軸小題課外選做沖擊 1 (考向二)(2018安徽“江南十?！甭?lián)考)已知圓C的圓心在直線x+ y= 0上，圓C與直線x- y=

19、0相切，且在直線 x- y 3= 0上截得的弦長(zhǎng)為&，則圓C的方程為。 + y2= 1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為 。解析 設(shè)圓心 M到直線y = x + 1的距離為 d，貝U d =2 2。所以切線長(zhǎng)3. （考向三）（2018鄭州外國語中學(xué)調(diào)研）已知圓Ci： （x+ 2a） 1 |OA|OB|sin/ AOB= sin / AOB當(dāng)/AOB= 90°寸， AOB + y2= 4和圓C2： x2 + （y b）2= 1只有一條公切線，若a, b R1 i且abz 0,則孑+小的最小值為（）A. 2B. 4C. 8D. 9解析由題意可知，圓C1的圓心為（2a,0）,半徑為2,圓C

20、2的圓心為（0, b），半徑為1,因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以''2a 0 2+ 0 b 2 = 2 1,即卩 4a2+ b2= 1。所11 1 12 ,2b2 4a2b2 4a2 、/以孑+產(chǎn)尹/ （4a + b）=5+孑+ 475+2 .孑習(xí)=9當(dāng) 且僅當(dāng)b?=嘗，且4a2+ b2= 1,即a2= 6, b2 =扌時(shí)等號(hào)成立，所1 1以孑+ U的最小值為9。故選D。答案 D4. （考向三）（2018南寧、柳州聯(lián)考）過點(diǎn)（.2, 0）作直線I與 曲線y=- 1 X2相交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng) AOB的 面積取最大值時(shí)，直線I的斜率等于 。解析1令 PC.2, 0），如圖，易知 |OA|=|OB|= 1，所以 aob = 2的面積取得最大值，此時(shí)過點(diǎn)0作0H丄AB于點(diǎn)H，則|OH= 22,于是sin/°PH =帯唏 =2,易知/ OPH為銳角，所以/ OPH=30°則直線AB的傾斜角為150°故直線AB的斜率為tan 150 °3。答案-33B,C兩點(diǎn)，且/ BAC = 120°則圓C的方程為由題意，