微專題5平面向量中的求值問題

1、微專題5平面向量中的求值問題真題感悟（2019江蘇卷）如圖，在 ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE = 2EA,AD與CE交于點O.若ABAC = 6AOEC,則器的值是設(shè) E（1, 0），C（a，b），則B(3, 0)， D解析 法一 如圖，過點D作DF / CE交AB于點F，由D是EBC的中點，可知 F為BE的中點.又BE = 2EA，則知EF= EA，從而可得 ao=od，則有 AO= 2ad = *AB+ AC），ec=ACAl=Ac-Ab ，所 以 6ao ec=2(ab+aC) ac-拯=3疋2忑2+ab ac=ab ac，整理可得AB2=3AC2，所以Ab=V3.法二

2、以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示Iad :by=x,a+ 3?0*+ 3 blCE：y= b (x 1)44a 1v AB AC= 6AO EC，(3,o) (a，b)=6 寧,4"，b)，即 3a= 6(a+ 3)( a1)4 a2+ b2= 3, aAC=V3.宦=蒼©答案 3考點整合1平面向量的兩個充要條件若兩個非零向量a= (xi, yi), b= (x2，y2)，貝U(1) a/ b? a= ?b? xiy2 x2yi = 0.(2) a丄 b? a b = 0? xix2 + yiy2= 0.2. 平面向量的三個性質(zhì)(i)若 a=

3、 (x, y)，則|a|= . a a= ,;x + y2.若 A(xi, yi), B(x2, y2)，貝U |AB|= ；_ (x2xi) 2+( y2 yi) 2若 a= (xi, yi), b= (x2, y2), B為 a與 b 的夾角,a bxiX2+ yiy2cos ° |a|b|*；xi + yi*x2+ y3. 平面向量的三個錦囊 (i)向量共線的充要條件：0為平面上一點，則A, B,P三點共線的充要條件是0P=入0A+力0B(其中入+ 2e= 1).三角形中線向量公式：若 P OAB的邊AB的中點，則向量OP與向量OA, OB 的關(guān)系是 OP= 2(OA+ OB)

4、.三角形重心坐標的求法：G為 ABC的重心？ GA + GC =0? GxA + XB+ xCyA+ yB + yc3熱點一平面向量的坐標運算【例1】(1)(2019全國U卷改編)已知向量a= (2, 3), b= (3, 2)，則|a b|=(2019 全國 U 卷改編)已知AB= (2,3),AC= (3,t),|BC匸 1,則AB bC =解析(1)：a b= (2, 3)-(3, 2)= (1,1), |a b|= ： (- 1) 2+ 12= 2.(2)因為BC = AC (3, t) (2, 3)= (1, t 3),所以；12+(t 3) 2=1, 解得 t = 3,所以BC=

5、(1 , 0),所以 AB BC = 2X 1 + 3x 0 = 2.答案(1) .2 (2)2探究提高 若向量以坐標形式呈現(xiàn)時，則用向量的坐標形式運算；若向量不是以 坐標形式呈現(xiàn)，則可建系將之轉(zhuǎn)化為坐標形式，再用向量的坐標運算求解更簡捷 【訓練1】 已知向量BA= 2 爭,BC= 弩,2，則/ ABC=.解析 |BA匸 1, |BC|= 1, cos/ ABC= BA，又 0 </ ABCV 180；則|BA| |BC|/ ABC= 30°答案 30°熱點二平面向量的“基向量法”運算【例 2】(1)(2019 南京一模)在厶ABC 中，/ ABC= 120°

6、;, BA= 2, BC = 3, D, E是線段AC的三等分點，貝U BD BE的值為.(2)已知菱形ABCD的邊長為2,/ BAD = 120°點E, F分別在邊BC, DC 上,BC = 3BE, DC = X DF若AE AF = 1,貝U 入的值為.解析 (1)由題意得 BD BE= (BA+Ad) (BC+ CE)=BA+§AC -BC+ 3CA=EBA+3 (BC-BA)-Bc+ 3 (bA BC)1二 3bc+2 - 1 -3BC+3baBA+ |BA225211=|X 1+ |X 2x 3x cos 120 ° |X 4= ©.法一 如

7、圖，Ae=Ab+ Be=Ab+3BC, Af=Ad+ Df =AD+應(yīng)=BC + 瞬，所以 AE AF = AB + 3bC -BC + 如=1+3Iab bc+1Ab2 + 1Bc2= 1 +2X2X cos 120 + 4+ 3= 1,解得法二建立如圖所示平面直角坐標系由題意知:A(0, 1), C(0,1), B(- 3 0), D( .'3, 0).由 BC = 3BE, DC =入 DF可求點E, F的坐標分別為E -律-1 , F '31-1, Aeaf=-穿，-4 311- I,141二2 1-I + 3 1+1 = 1,解得 12.11答案(1)6(2)2并運用

8、探究提高 用平面向量基本定理解決此類問題的關(guān)鍵是先選擇一組基底, 平面向量的基本定理將條件和結(jié)論表示成基底的線性組合，再通過對比已知等式 求解.=30°點E在線段CB的延長線上，且AE= BE,則BD Ae = 解析 如圖，：E在線段CB的延長線上， EB/ AD.vZ DAB= 30° / ABE= 30° AE= BE，/ EAB= 30°又 v AB= 2 3，二 BE= 2.2 _vAD二5, EB=2AD.Afe= Ab+ Be=Ab-又 v bd=Ad - Ab,.Bd /ae= (Ad- Ab) -Ab-|Ad =AD AB- 5ad2-

9、Ab2+|Ad Ab=7|AD| Ab| cos 30 - 5x 52-(2，'3)2=7x 5X 2 '3X,32-10- 12= 21 - 22= 1.答案 1熱點三 向量平行與垂直【例3】(1)(2019南京沖刺卷)已知向量a= (2, 1), b= (0,1).若(a+ 2)丄 a,(2)(2018 全國川卷)已知向量 a= (1, 2), b= (2,- 2), c= (1,貝 U 2=.解析 (1)由題意可得 a+?b= (2, 12)，則(a+2) a= (2, 12若 c/ (2a+ b),-2 (2, 1) = 5 -入=0,解得 2= 5.4 一 5-所以t

10、an(asin ( a 33 = cos ( a 334,35.(2)2a+ b= (4, 2),因為 c= (1, 2),且 c/ (2a+ b).1所以1 X 2 = 4 2即卩2= 2.答案(1)5 (2)1探究提高向量的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標滿足的等式，通過解方程求解.若沒有給出向量的坐標，則將向量用基底表示，a / b轉(zhuǎn)化為a= 2, a丄b轉(zhuǎn)化為a b= 0求解.【訓練31 (2019南京、鹽城高三模擬)設(shè)向量a= (cos a,啟in M, b= (cos 3nsin 3,其中2>0, 0v aV 3<2，且a+ b與a b互相垂直.(1)求實數(shù)入的值；4若a b

11、= 5，且tan 3= 2,求tan a的值.解 (1)由 a+ b 與 a b 互相垂直，可得(a+ b) (a b)= a2 b2= 0,所以cos2 a+0.又因為 sin2 a+ coS(a= 1,所以(2 1)sin2a= 0.因為 Ov aV2，所以 sin'aO,所以 21= 0.又因為心0,所以2= 1.由(1)知 a= (cos a, sin4 /4由 a b=5,得 cos ocos B+ sin osin5,即卩 cos(a因為 OV aV 3Vn 所以才 a 0,以 sin( a 3 = 1 cos2 ( a 3)因此tana= tan( a 3 +3 =tan

12、 (a 3 + tan 311 tan ( a 3 tan 3 2【新題感悟】(2019南京、鹽城高三模擬)已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高，點P在DA的延長線上，且滿足(PB+ PC) AD = 4 2若AD = 2則PB PC的值為.解析設(shè)/DPC =a / DPB = B,由題得 PBAD + PC Ad = 4 2,二 |PB|2 cos B+ |PC| : ' 2 cos a 4 2所以 |PB| 呼 + |PC| 呼=4, a |PD|= 2.所以 PB PC= |PB|PC|cos(a+ ®=4- ADJ 4- ( ,'2)2= 2.答案2專s

13、um時接高割沁二，一、填空題1.(2019 全國川卷)已知向量 a= (2, 2), b= (-8, 6),則 cosa, b=解析 t a= (2, 2), b = ( 8, 6),a a b 2 x ( 8) + 2 x 6 4, |a= 22+ 22 2迄，|b|-“(-8) 2+ 6 10.h -0-b4 止2x- 2-c0S<a, b|a|b| 2：2X10-10.2. (2019徐州期末)已知平面向量a (4x, 2x), b 1, 一歹,x R,若a丄b,2x - 2解析 因為 a丄b,所以 4x+ 2xx= 4x+ 2x 2= 0,解得 2x= 2(舍)或 2x= 1,故

14、 a= (1, 1), b= (1， 1),故 a b= (0, 2),故 |a b|= 2.答案23. (2019杭州模擬)已知平面向量 a= (2, 1), a b= 10,若|a+ b|= 5 2,則|b| = 解析 因為 50= |a+ b|2=|af+ |bf+ 2a b= 5+ 20 + |b|2，所以 |b| = 5.答案 54. (2019全國I卷改編)已知非零向量a, b滿足|a|= 2|b|,且(a b)丄b,貝U a與b的夾角為解析 由(a b)丄b,可得(a b) b= 0,a b = b2.- |a| = 2|b|,cos< a, b=陸=2b2=夕n 0<

15、;<a, b> <n,a a 與 b 的夾角為 3.答案n5. (2019南京高三一模)在矩形ABCD中，已知AB= .'2, AD= 2,點E是BC的 中點，點f在cd 上, Ab - AF=(2，則Ae Bf的值是解析 建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0, 0), B( .' 2, 0),E(2 1),設(shè) F(x, 2)(0<x< ，則AF= (x, 2),又AB= (；2,0),故由 AB AF= 2得：.2x='2,解得：x = 1,所以 BF = (12 2), AE BF= ,'2X (1 '2) + 2=

16、'2.答案 26. (2018江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A為直線I: y= 2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5, 0),以AB為直徑的圓C與直線I交于另一點D.若AB CD = 0,則點A的橫坐標為.解析 因為ABCD = 0,所以AB丄CD，又點C為AB的中點，D為以AB為直徑 的圓C的圓周上的點，所以/ BAD = 4.設(shè)直線I的傾斜角為0,直線AB的斜率為nk,貝U tan 0= 2, k= tan 0+ 4 =一 3.又 B(5, 0),所以直線 AB 的方程為 y= 3(x-5),又A為直線I: y = 2x上在第一象限內(nèi)的點，聯(lián)立直線AB與直線I的方程，x=y= 3 (

17、x 5),x= 3,得解得所以點A的橫坐標為3.y=2x,y= 6,答案 37. (2017江蘇卷)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量 OA, OB, OC的模分別為1, 1,返，OA與OC的夾角為a,且tan a 7, OB與OC的夾角為 45°.若OC= mOA+ nOB(m, n R),貝U m+ n =解析如圖,設(shè) OD= mOA, Dc= nOB,則在 ODC 中有 OD =m, DC = n,OC= 2 / OCD = 45°.由 tan a= 7,得COS a請,又由余弦定理知m2= n2 +( :'2) 2 2 2ncos 45 ,n2= m2 +( 一2

18、2 2 '2mcos a,m2 n2= 2 2n,即222n2 m2= 2 m,52 + 得 4 2n- 5m= 0，即 m= 10-5n,代入得 12n2-49n + 49= 0,解得 n757,m= 10 5X 3= 3<0(不合題意，舍去)，當n = 4時，m二 10 5X7二4,故 m+ n = 4 + 4二3.答案 3fiD8. （2016江蘇卷）如圖，在 ABC中，D是BC的中點，E, F是AD上的兩個三等分點，BA CA=4, BF CF= 1,則BE CtE的值 是.解析 設(shè)AB= *， AC = b，貝U BA CA= ( *) (一 b) = * b = 4.

19、又 D為BC中點，E，F(xiàn)為AD的兩個三等分點,則 Ab= 2（AB+ AC） = !*+ 2b,二1a+ 1b，1 i6a+6b，BF= BA+AF + 1*+ 3b=-2*+ 3b,CF = CA+ AF =1112b+ 3* + §b= 3* §b，則-CF= 1*+ 3b !* fb =b2) + 9X 4= 1.2 2 2 25-9a 9b + 9a b二可得a2 + b2 =詈.廠-1L51U又 BE= BA+AEh a+ 6* + 6»= 6*+ 6»，1115,CE = CA+ AE= b+ 6* + 6b= 6* 6匕，Mr 5115則

20、BECE= 6* + 6b 6* 6b5 2226529 267=-36 + b) + 36* b=-362 + 36X 4弋答案8、解答題9.(2019 南京模擬)已知向量 m_(cos a, 1), n_(2, sin M,其中 an0, 2，且 m±n.求COS 2a的值；若si n(a®=0°，且英0, n,求角B的值.解由 ml n,得 2cos a sin a 0, sin代入cos2 a+ sin2 a a 1,得 5co$a= 1 ,a= 2COS a,口n/5又 a 0,，貝U cos a_5 ,cos 2a_ 2cos2 a 1 _ |.,nn

21、/口由a 0, 2 ,阻0, 2，得a阻n2,因為 Sin(a B_0°，所以 cos(a B_ 310,而 sin a 1 cos2 a=令5則 sin A sin a (a ®=sin ocos( a B cos osin( a B_ 2/5 3sfi0逅 血亞 a 5 X 10 5 X 10 _ 2 .nn因為英0, 2，所以4.10.(2019 鎮(zhèn)江模擬)已知向量 a= (2cos a sin2 a, b= (2sin a, t), a為實數(shù).2(1)若 a b_ 5, 0，求 t 的值;若t_ 1,且a b_ 1,求tan2a+n的值.解 (1)因為向量 a_(2cos a, sin2", b_(2sin a, t),2且 a b_ 5 , 0 ,所以 cos a sin a , t = sin 3解 (1)因為 a= (cos a, sin a , b= ( sin B, cos B , c= , 飛 ,所以 |a|= |b|=|c匸 1 ,且 ab= cos osin 3+ sin aossin(a B. 因為 |a+ b|= |c| , a51i由 cos a sin a= 5, 得(cos a sin a