心理統(tǒng)計學精髓學習知識重點

1、第一節(jié)正態(tài)分布1正態(tài)分布的特點 首先，鐘形對稱分布其次，|X | 1.96 的概率是95%; |X |2.58 的概率是99%;將|X| 1.96稱為決策水平0.05上的小概率事件，將|X | 2.58稱為決策水平0.01上的小概率事件。其中，X是總體中的隨機抽取的一個數(shù)值；卩為總體 平均值，第三，曲線兩端無限靠近橫軸。2應(yīng)用(1) 某學校三年級學生的平均智商是100，其標準差為15.那么，從中隨機抽取 一個學生，其智商大于等于130的概率是多少？其智商小于等于 85的概率是多 少？(2) 某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品重量均值為100，標準差為15。質(zhì)檢人員從市場上隨機 抽取一件，發(fā)現(xiàn)其重量為115,僅從

2、質(zhì)量上看，如何用統(tǒng)計學視角來判斷此產(chǎn)品 是否屬于這一企業(yè)(決策水平為 0.05)。(3) 在上題中，如果質(zhì)檢人員從市場上發(fā)現(xiàn)一個產(chǎn)品的重量為140，那么，僅從質(zhì)量上判斷，此產(chǎn)品是否屬于這一企業(yè)(決策水平為0.01)。3數(shù)據(jù)處理一讓學生報告自己的身高、體重以及自己的肥胖感知(我認為自己很肥胖) 、以及 自己的性別。數(shù)據(jù)處理任務(wù)包括：報告三個變量的莖葉圖，并大致判斷其分布形 態(tài)；報告三個變量的平均值、中數(shù)以及中位數(shù)、標準差。第二節(jié)標準正態(tài)分布將總體的平均值記為卩，標準差記為c,將其中的數(shù)據(jù)或個案記為 X。那么，使用X公式z ，就可以將正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布是正態(tài)分布的一個特例，

3、因此，第一節(jié)的內(nèi)容皆可以標準正態(tài)分布 進行直譯。思考題：標準正態(tài)分布的標準差是多少？其平均值又是多少？對于標準正態(tài)分布而言，|z| 1.96為決策水平0.05上的小概率事件，將|z| 2.58 為決策水平0.01上的小概率事件思考題：某地三年級學生的身高是一個總體，并且是正態(tài)分布，均值為160厘米， 標準差為5厘米。研究者隨機抽取一個學生，其身高為170厘米。那么，此生在 標準正態(tài)分布中的身高數(shù)值應(yīng)該為多少？這次抽到他是一個小概率事件嗎？為 什么？練習：將“數(shù)據(jù)處理一”中三個變量轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，并報告其莖葉圖。第三節(jié)樣本均值的分布1存在一個非常數(shù)總體，無論其為何種分布。并且此總體平均值卩與

4、標準差C已 知。用（放回式）隨機抽樣，獲得無數(shù)個容量相等的樣本 ，當每一個樣本容量大 于30時，樣本均值的分布就是正態(tài)分布。2將樣本平均值記為X，標準差記為S,容量記為n,則此分布的標準誤 3樣本均值分布的特點：首先，是正態(tài)分布，第二，此分布的理論均值等于總體均值卩第三，其標準誤 X第四，X 1.96X的概率是95%將X1.96 X稱為決策水平為0.05上的小概率事件；|X |2.58 X的概率是99%將|X |2.58 X的事件稱為決策水平為0.01上的小概率事件；第五，用公式Zx仝一將其標準化，則得到標準正態(tài)分布。那么，IZx| 1.96X為決策水平0.05上的小概率事件，將| zX|2.

5、58為決策水平0.01上的小概率事件。第四節(jié)統(tǒng)計檢驗的邏輯如果一個樣本是從某一總體中隨機抽樣得來的，那么，這一個樣本必定能夠代表這一總體的特征，其含義有三。其一，兩者的分布形態(tài)是一致的；其二，兩者的 方差是一致的；其三，兩者的平均值是一致的?！耙恢隆钡慕y(tǒng)計含義是，在0.05或者0.01的決策水平上，是沒有差異的。當然，隨機樣本不能百分百地代表總體的特征， 當這樣的樣本不能代表總體特征 時，就說是小概率事件發(fā)生了。在科學研究中，總體往往是一個理論上的或者特定的描述，包括其分布形態(tài)、平 均值以及其標準差。而樣本往往來自于現(xiàn)實的抽取中， 通過比較三個方面，就可 以決斷這個樣本是不是屬于這個理論或者特

6、定的總體。比如，某地區(qū)90年代的14歲兒童的平均身高為卩厘米，標準差為c厘米，并且 為正態(tài)分布?，F(xiàn)在來考察這一地區(qū)14兒童的身高是否與90年代同齡兒童的身高 是否一致。在統(tǒng)計學上，只能這樣做：從現(xiàn)在的 14歲兒童中，隨機進行抽樣，比如，抽取 n個兒童構(gòu)成一個樣本，其平均值為 ，X標準差為So由于是真正的隨機抽樣，那么，決策者會檢驗三個方面。第一，看此樣本的分布 是否與（90年代的那個）特定總體的分布形態(tài)有一致性，如果兩者分布形態(tài)一 致，即樣本也是正態(tài)分布，那么第二，看此樣本的方差是否與特定總體的方差具 有一致性，如果兩者方差一致，那么第三，看此樣本的平均值是否與特定總體的 均值具有一致性，如果

7、一致，則可以認為此樣本依然屬于那個特定的總體，或者說，如今此地區(qū)14歲兒童的身高依然與90年代一樣。在上述中，“一致”是指在0.05或者0.01的水平上進行判斷，即沒有發(fā)生小概率事件。如果小概率事件發(fā)生，則說明“不一致”，或者說“具有顯著性差異”。 關(guān)于分布形態(tài)一致性檢驗與方差一致性檢驗在后面再學習。這里，我們先認為此樣本分布形態(tài)和方差皆與那個特定總體的一致，那么，就只剩下檢驗樣本均值是否與那個特定總體的一致。統(tǒng)計學上的檢驗過程表述如下。Ho:此樣本是從90年代的總體中隨機抽取的，那么，就有X x 1.96 x計算過程：因為XX 肩,所以只需要證明X1.96二是否成立，即n1.96是否成立。如

8、果成立，則認為Ho是正確的；反之，如果1.96，則說明小概率事件發(fā)生了； 一次隨機抽樣，就發(fā)生了小概率事件，那么我寧愿在0.05的水平上相信Ho是不正確的，也就是說，此樣本不是 從90年代的那個樣本中隨機抽取的，或者說，這個樣本不屬于這個特定的總體。 在上面的邏輯過程中，H0的表述非常重要，因為，只有先假定此樣本是能夠代表這個特定總體，才能套用公式|X X| 1.96 X，這是為什么？這是因為，從任 何非常數(shù)總體中，隨機抽取無數(shù)個容量相等的大樣本（通常指容量大于等于30）， 那么樣本的均值（無數(shù)個X ）形成正態(tài)分布（其理論均值X =，標準誤x f=）那么，X7n1.96 X的概率是95% 也即

9、，X1.96的概率是95%反之就是0.05水平上的小概率事件發(fā)生了。因此，理解H0與否，關(guān)系著統(tǒng)計檢驗的理解與否。練習：從“數(shù)據(jù)處理一”中隨機生產(chǎn)一個樣本，并且報告此樣本均值的標準分數(shù)。 看全班同學抽取到的平均值有幾個是小概率事件。第四節(jié)t分布存在一個非常數(shù)總體，無論其為何種分布。并且此總體平均值卩已知，但其標準 差c未知。用（放回式）隨機抽樣，獲得無數(shù)個容量相等的樣本，樣本均值X的分布就是t分布。t分布的特點如下表述。首先，t分布為對稱分布，并且左右對稱其次，t分布是一簇曲線，并且每個df （即自由度，df=n-1 ）皆有自己的分布形 態(tài)。df越大，t分布越接近正態(tài)分布。,其中S是樣本的標準

10、差，s=J咅。，其理論均值 x等于總體均值。第三，在此情況下，樣本均值分布的標準誤sSX 第四，|x X t0.05水平上的臨界值SX的概率是95%，而X X t0.05水平上的臨界值SX則為 0.05水平上的小概率事件。X X t°.01水平上的臨界值Sx的概率是99%，而to.01水平上的臨界值Sx則為0.01水平上的小概率事件t檢驗練習某心理量表的常模均值是14分。100名被試經(jīng)過測試發(fā)現(xiàn)平均分為16.4 （標準 差為1.44）。請檢驗以上樣本是否與量表的常模均值有顯著差異（假設(shè)有關(guān)的分 布是正態(tài)分布）。決策過程壬上44 =0.144。 n J00首先，提出虛無假設(shè)：H。：如果

11、此樣本是從（均值為14的）特定總體中隨機抽 取的，那么，在0.05的決策水平上，應(yīng)該有 X X t0.05水平上的臨界值sX 。第三步，計算。 X =14， X X =16.4-14=2.4。sX表，發(fā)現(xiàn)當df=100-1=99時t°.°5水平上的臨界值2.00，因此, to.o5水平上的臨界值 Sx =2.00 0.144=0.288 ， 2.4f 0.288可見，在0.05的水平上，|XX| t0.05水平上的臨界值sX是不成立的，這樣，小概率事件發(fā)生了。決策結(jié)果是，此樣本（均值為 16.4 ）不是從（均值為14的）特定 總體中隨機抽取也來的，而是從另一個均值顯著大于1

12、4的總體中隨機抽取出來的。進一步推斷，這100名學生代表著一個智商遠遠大于14的總體。第五節(jié)獨立樣本t檢驗存在一個非常數(shù)總體，無論其為何種分布。并且此總體平均值卩與標準差c皆未 知。用（放回式）隨機抽樣，得到兩個獨立的樣本，它們的平均值分別為X1與X2， 標準差分別為®與S2，樣本容量分別為 n1與壓X1的分布為t分布，自由度df= m-1； X2的分布為t分布，自由度df= n2-1;當n1與n2皆較大時，兩個樣本皆可以較好地代表這個總體，這意味著，兩個樣本的方差 致（或同質(zhì)），兩個樣本的平均值一致，即 X1與X2在統(tǒng)計學上是相等的。均值之差的分布具有自由度df= df1 df2=

13、山+ n2-2兩個樣本均值之差（X1 - X2 ）也是t分布，與相關(guān)的結(jié)論表述如下: 首先，其次,均值之差分布的標準誤為sX1 X2 ,j2S聯(lián)合2，其中S聯(lián)合ss, SS2df1 df2 '第三.X1 X2t0.05水平上的臨界值SX1 X2的概率是95%X1 X2t0.05水平上的臨界值sx1 X2的概率是5%稱為0.05水平上的小概率事件。.X1X1 x2練習：X2t°.01水平上的臨界值 Sx X2的概率是99%,t0.01水平上的臨界值Sx x2的概率是1%稱為0.01水平上的小概率事件。一個研究者對雙性化心理特征感興趣。他在大學一 年級新生中選取了 10名雙性化和

14、20名非雙性化對其 施測雙性化量表。10名雙性化學生在量表上得到的 平均分是X125，S3670 ；0名非雙性化學生的平均分是X218，SS21010。這些數(shù)據(jù)能否表明兩組間存在差異？ （=0.01）決策過程如下表述。首先，如果這兩個樣本為同一總體中隨機得來的獨立樣本，那么，兩個樣本的方差應(yīng)該一致或者同質(zhì)。關(guān)于樣本方差同質(zhì)性檢驗以后再學?，F(xiàn)在我們暫且認為兩個樣本方差同質(zhì)。其次，提出虛無假設(shè) H。：如果這兩個樣本為同一總體中隨機得來的獨立樣本，那么，在0.01的決策水平上，就應(yīng)該有X1 X2 t°.01水平上的臨界值Sx1 X 2計算過程。X1 X2 =17，在df 28時，t

15、6;.01水平上的臨界值=2.763S聯(lián)合SS1 S' （670 1010）/28 60，sXdf1 df21t0.05水平上的臨界值 sx1 乂2=2.7633=8.289X2可見X13X2X1率事件發(fā)生了。 一次實驗或抽樣就發(fā)生了小概率事件，因此, 是來自同一個總體，雙性化學生（總體）的均值要顯著高t0.01水平上的臨界值 Sx1 X2 是不成立的,t0.01水平上的臨界值我們寧可相信，于非雙性化學生（總體）的均值。sX1 X2，小概兩個樣本并不練習：在“數(shù)據(jù)處理一”中，有三個變量的數(shù)據(jù)。請比較男性與女性在三個變量 上是否有顯著的差異。要求寫出假設(shè)，并且解釋處理結(jié)果的關(guān)鍵數(shù)據(jù)。第五

16、節(jié)獨立樣本t檢驗中的方差齊性檢驗 首先介紹F分布。從一個正態(tài)總體中，隨機抽取兩個樣本，它們的方差分別為s2與s2，F(xiàn)將較大者視為S2）是F分布。S2F0.05水平上臨界值的概率是95%此F0.05水平上臨界值，就認為在0.05的0.01水平上的情形類推。時，就認為兩個樣本方差同質(zhì)（或者相齊、一致） ；- 水平上，兩者方差不相齊，或者說它們來自不同的總體。在 練習：一個研究者對雙性化心理特征感興趣。他在大學一 年級新生中選取了 10名雙性化和20名非雙性化對其施測雙性化量表。10名雙性化學生在量表上得到的 平均分是X125，SSi 670 ；0名非雙性化學生的平均分是X218，SS21010。請

17、檢驗兩個樣本的方差是否同質(zhì)（=0.01 ）。下面是決策過程。首先，提出虛無假設(shè) H0:如果兩個樣本是隨機來自于同一個總體，那么，就應(yīng)該有 笙FS2 F0.0i水平上臨界值。26702 SQ 1010S 74.4474.44, S2-53.158。一 =1.409df119S2 53158查表，在分子df1 9,分母df2 19的情況下，F(xiàn)0.01水平上臨界值=3.52。所以，在0.01的決策S2 水平上，篤S2樣本各自代表的總體具有一致的方差。計算過程。Si2 SS|df153.158。F0.0i水平上臨界值 是成立的，因此接受 H 0。所以，在0.01的決策水平上，兩個練習：在“數(shù)據(jù)處理一”

18、中，有三個變量的數(shù)據(jù)。請比較男性與女性在三個變量 上的方差是否具有一致性。要求寫出假設(shè)，并且解釋關(guān)鍵結(jié)果的含義。第六節(jié)相關(guān)樣本t檢驗從某一人群中隨機抽取一個樣本（容量為n），然后測量其打字水平，對這一樣本培訓一段時間，再次測量其打字水平。計算出每個被試前后測量的差異D,根據(jù)D的情況來判斷培訓是否有效。以上情況應(yīng)該用相關(guān)樣本t檢驗。 檢驗過程：首先，確保差異數(shù)據(jù) D是正態(tài)分布（如果不符合正態(tài)分布，則用非參數(shù)檢驗） 其次，提出虛無假設(shè) H0:當培訓沒有效果時， D便是一個隨機樣本，它來自均值為 自由度為n-1的t分布，這樣，在0.01的決策水平上，應(yīng)該有|D2Dt0.01水平上的臨界值 昂，其中,D2 n df最后，根據(jù)計算結(jié)果進行決策。 如果小概率事件發(fā)生，就拒絕虛無假設(shè)，做出與虛無假設(shè)相 反的結(jié)論。實驗：產(chǎn)生“數(shù)據(jù)處理二”。SDn，sD第七節(jié)方差分析1獨立樣本方差分析從一個正態(tài)總體中，隨機抽取K個樣本，如果這K個樣本皆能很好地代表同一個 總體，那么，必定有（1）K個方差一致（2）K個樣本分布一致，皆為正態(tài)分布;（3）K個樣本均值一致，此時，在F觀測值MS組內(nèi) F0.05水平（df組間,df組內(nèi)）0.05的決策水平上，必有, 三個樣本均值相等其中MS組間SQi間/ df組間，MS組內(nèi)SQ且內(nèi)/ df組內(nèi)2重復