礦大高數(shù)85隱函數(shù)的求導(dǎo)公式ppt課件

1、0),(. 1 yxF一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式)(xyy ?dxdy如何求如何求第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:公公式式推推導(dǎo)

2、導(dǎo)0),(yxF)(xyy 0)(,(xyxFFxyx:求導(dǎo)求導(dǎo)0dxdyyFxFyxFFdxdy例例驗(yàn)證方程驗(yàn)證方程0122 yx在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 0(的某鄰的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)、且域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)、且0 x時(shí)時(shí)1 y的隱函數(shù)的隱函數(shù))(xfy ，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在數(shù)在0 x的值的值.解解令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時(shí)

3、時(shí)1 y的的函函數(shù)數(shù))(xfy 函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy解解 令令那那么么,arctan)ln(21),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx :另解另解求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對兩邊對x222221yxyyx2211xyxyxy)(dxdy.xyyx隱隱函函數(shù)數(shù)存存在在定定理理 2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(zyxF在在點(diǎn)點(diǎn),(0 xP ),00zy的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且

4、且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，則則方方程程,(yxF 0) z在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxP的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)恒恒能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值連連續(xù)續(xù)且且具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz ，它它滿滿足足條條件件),(000yxfz ， 并并有有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),(. 2 zyxF),(yxzz ?,yzxz如何求如何求:公公式式推推導(dǎo)導(dǎo),),(0zyxF),(yxzz ,),(,(0yxzyxFFxyzxy求求導(dǎo)導(dǎo)將將上上式式分分別別對對yx,0 xzFFzxzxFFxz0yzFFzyzyFFyz解

5、解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx :另解另解求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)對對x0422xzxzzx,zxxz2.)2()2(322zxz 2)2(2)2(zzxxz 2)2()2(zxzxz )(xzxxz22)(zxx2思路：思路：解解令令, zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(vufz , zyxu ,xyzv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxy

6、fv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(vufz , zyxu ,xyzv 例例5解：解：記記)(),(zyzxzyxF , 則則zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx . xz例例6. 設(shè)設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF. zd解法一解法一 . 設(shè)設(shè)是由方程 ),(yxfz 0),(zyzxFzxFFxz yz212FyFxFz211FyFxFzydyzxdxzzd求1F 1F)(2zx 2F)(2zy2F確定)(2121y

7、dFxdFFyFxz的隱函數(shù) , 那么z1z1 1F)(2zx 2F)(2zy解法二解法二. . 對方程兩邊微分 1F)(2121ydFxdFFyFxzzd)(2zzdxxdzzdzFyFx221zydFxdF21例例6.6. 設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF. zd求)(2zzdyydz)(zxd 2F0)(zyd 1F 2F0 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程組的情形),(),(yxvvyxuu?,yvxvyuxu如如何何求求00),(),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu00),(),(,(),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)方方程程組組對對x00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvuxxvxu,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)方程組對方程組對yyvyu,解解 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導(dǎo)求導(dǎo)x,00 xvxvxuyxvyxuxu解得解得,22yxyvxuxu 22,vyuxvxxy將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導(dǎo)，用同樣方法得求導(dǎo)，用同樣方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 8例例.,sindzduzyxzyxxyu求求且且10222:解解求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程組組