倒立擺機(jī)器人系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述

1、倒立擺機(jī)器人的模型倒立擺動力學(xué)模型示意圖如圖1.1所示。圖1.1 倒立擺動力學(xué)模型示意圖表1.1 參數(shù)說明參數(shù)名稱參數(shù)定義主動臂的長度主動臂相對于連接點(diǎn)到質(zhì)心的距離欠驅(qū)動臂相對于連接點(diǎn)到質(zhì)心的距離主動臂相對于坐標(biāo)軸的角度欠驅(qū)動臂相對于主動臂的角度主動臂相對于質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量欠驅(qū)動臂相對于質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量主動臂質(zhì)量欠驅(qū)動臂質(zhì)量重力加速度拉格朗日動力學(xué)方程拉格朗日方程以廣義坐標(biāo)為自變量，通過拉格朗日函數(shù)來表示。拉格朗日體系分析力學(xué)處理問題時以整個力學(xué)系統(tǒng)作為對象，用廣義坐標(biāo)來描述整個力學(xué)系統(tǒng)，著眼于能量概念。對于機(jī)械系統(tǒng)，其拉格朗日函數(shù)都可以定義成該系統(tǒng)動能和勢能之差，即：(1.1)系統(tǒng)的動能和勢能可以用

2、任意選取的坐標(biāo)系來表示。系統(tǒng)的動力學(xué)方程（第二類拉格朗日方程）為：(1.2)由于勢能不含速度項，因此動力學(xué)方程也可以寫成：(1.3)由此可見，對于Pendubot系統(tǒng)，其拉格朗日運(yùn)動方程則為：(1.4)其中，為Pendubot系統(tǒng)的動能之和，為Pendubot系統(tǒng)的勢能總和。擺臂受到的力矩為，只有擺臂與電機(jī)相連接的主動關(guān)節(jié)受力，而另一個關(guān)節(jié)是欠驅(qū)動的。由于兩桿均為剛體，所以擺臂的動能與勢能可根據(jù)每一根桿的總質(zhì)量與相對于重心的慣量來唯一確定。欠驅(qū)動機(jī)械臂動力學(xué)模型根據(jù)式(1.4)，分析Pendubot擺臂的動能和勢能。計算平移動能的一般表達(dá)式為。由上圖可知，系統(tǒng)兩個擺臂的角速度可以表示為：(1.

3、5)對于系統(tǒng)的主動臂，其平移動能可以直接描述成以下形式：(1.6)由于系統(tǒng)的勢能大小與機(jī)械臂的質(zhì)心位置有關(guān)系，這里可以用y坐標(biāo)來表示擺臂的其位置高度，于是勢能可以直接描述為：(1.7)對于系統(tǒng)的欠驅(qū)動臂，要先得到其質(zhì)心位置的笛卡兒坐標(biāo)表達(dá)式，然后通過微分處理得到關(guān)節(jié)角速度。其中，欠驅(qū)動臂的質(zhì)心位置用下式來表示：(1.8)那么，通過對該位置進(jìn)行微分處理，即可得到其速度的笛卡兒坐標(biāo)分量為：(1.9)于是可得欠驅(qū)動臂在和方向上速度分量的平方和為：(1.10)因此，系統(tǒng)欠驅(qū)動臂的平移動能可以表示為：(1.11)由于擺臂長度是已知的，可以得到欠驅(qū)動臂的勢能為：(1.12)同時，由于Pendubot系統(tǒng)運(yùn)

4、動的特殊性，這里注意到系統(tǒng)的動能組成中，除了常規(guī)的平移動能外，還存在旋轉(zhuǎn)動能部分，那么根據(jù)式(1.6)可以得到系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)動能為：(1.13)根據(jù)式(1.1)給出的拉格朗日算子的描述方法，可以由上述系統(tǒng)動能和勢能的關(guān)系得到Pendubot系統(tǒng)的拉格朗日算子，表示為：(1.14)為了得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程，根據(jù)式，對上式做關(guān)于和的微分處理，可得：(1.15)由以上的各微分項，根據(jù)第二類拉格朗日方程，本文可以直接得到系統(tǒng)中主動臂的關(guān)節(jié)力矩表達(dá)式為(1.16)將式(1.14)對和求微分，得到欠驅(qū)動臂的關(guān)節(jié)動力學(xué)方程： (1.17)于是可以得到欠驅(qū)動臂的關(guān)節(jié)動力學(xué)方程為：(1.18)可以將式(1.16)和

5、式(1.18)簡化描述成如下形式：(1.19)其中各項可表示為：上式中的各個參數(shù)表達(dá)式如下：這里需要注意的是，如果系統(tǒng)動力學(xué)模型表示成式(1.19)，那么和并非兩個完全獨(dú)立的矩陣，兩者之間存在關(guān)系，為反對稱矩陣。其實(shí)際物理意義是擺臂動能的微分量與擺臂重力矩和驅(qū)動機(jī)構(gòu)力矩的功率輸入總和相等。即：(1.20)因此，對于任意時刻都有：(1.21)本文得到Pendubot系統(tǒng)動力學(xué)表達(dá)式如式(1.19)所示，在系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中，為了方便參數(shù)計算與系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，引入以下五個代換參數(shù)表達(dá)式：(1.22)因此，式(1.19)中的各項可以表示為：(1.23)(1.24)(1.25)綜上所述，本文已經(jīng)得到了Pend

6、ubot系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并將系統(tǒng)中的七個未知參量整理替換成了如式(1.22)所示五個系統(tǒng)參數(shù)，可以通過能量守恒的方法對其進(jìn)行辨識。欠驅(qū)動機(jī)械臂系統(tǒng)控制器設(shè)計模型建立將式(1.19)中所描述的Pendubot系統(tǒng)的動力學(xué)方程通過簡單的線性變換改寫成如下的狀態(tài)方程形式：(1.26)引入狀態(tài)變量，令得到系統(tǒng)方程如下的表示形式：(1.27)則可根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，得到Pendubot系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：(1.28)上式中的各項具體表達(dá)式如下：(1.29)式(1.28)所描述的狀態(tài)方程形式是十分具有代表性的，這種形式可以被視作一類欠驅(qū)動系統(tǒng)的規(guī)范表達(dá)式，不僅本文的研究對象Pendubot可表示為這種

7、類型的狀態(tài)方程，Acrobot系統(tǒng)、吊車系統(tǒng)和單擺系統(tǒng)等欠驅(qū)動系統(tǒng)的模型也都可以被整理成該形式。通過設(shè)計參數(shù)辨識程序，獲得參數(shù)辨識結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖1.2 Pendubot模塊LQR方法設(shè)計控制器本實(shí)驗(yàn)采用LQR最優(yōu)控制方法設(shè)計平衡控制器來控制Pendubot，使之在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近保持平衡。xdxu-LQR控制器控制對象圖1.3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖為設(shè)計平衡控制器，首先必須將Pendubot的非線性運(yùn)動方程線性化，同時設(shè)計一個具有線性模型的全狀態(tài)反饋控制器。泰勒級數(shù)近似表達(dá)式用于線性化。(1.30)其中，為狀態(tài)向量，為Pendubot唯一控制輸入。分別為Pendubot的平衡狀態(tài)向量及控制輸入

8、。平衡控制器是將Pendubot控制在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，因此為0，因此我們所要做的是找到偏微分矩陣并求其在平衡點(diǎn)的值。其中(1.31)在平衡情況下，電機(jī)提供的轉(zhuǎn)矩主要克服兩根桿重力相對于支撐點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩，因此Pendubot的平衡點(diǎn)可作如下定義:(1.32)將Pendubot的動力學(xué)方程對于狀態(tài)向量求偏微分則有(1.33)將Pendubot的動力學(xué)方程對于控制輸入求偏微分則有(1.34)根據(jù)不同平衡點(diǎn)的不同，并結(jié)合前面應(yīng)用系統(tǒng)辨識出的參數(shù)常量的值，就可以得到系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的線性化模型形式：(1.35)得到線性化模塊后，根據(jù)LQR方法設(shè)計全狀態(tài)反饋控制器。Pendubot系統(tǒng)LQR控制方法仿真在上平衡情況下，。將該初始條件代入得