從不同數(shù)學(xué)思想角度談解三角形(提升類)

1、 將簡(jiǎn)單的方法練到極致就是絕招！ 課題從不同數(shù)學(xué)思想角度談解三角形解三角形是近些年高考的熱點(diǎn)，各省市的命題人在命題方向上標(biāo)新立異，但是我們可以從不同的方向上來(lái)解析歷年省市的真題、各地的模擬題，從而探索解三角形的熱點(diǎn)命題規(guī)律，進(jìn)一步的提升考生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的解題能力。本篇將從不同的數(shù)學(xué)思想角度對(duì)解三角形問題進(jìn)行剖析！角度一：轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在研究、解決數(shù)學(xué)問題中，當(dāng)思維受阻時(shí)考慮尋求簡(jiǎn)單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維方式利用正、余弦定理，通過(guò)“邊化角、角化邊、切化弦等”的角度對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)

2、化為熟悉的三角恒等變換、三角函數(shù)、平面向量等問題，再進(jìn)行求解 1(2015·江南十校聯(lián)考)在三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a，c，1，則C等于( )A30°B45°C45°或135°D60°【解析】由1和正弦定理，得cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，cos A60°由正弦定理，得，則sin C又ca，C60°，故C45°【答案】選C 2(2015·安徽合肥質(zhì)檢)在三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分

3、別為a、b、c，且a2b2c2bc若a，S為ABC的面積，則S3cos Bcos C的最大值為( )A3BC2D【解析】由cos A，A，又a，故Sbcsin A··asin C3sin Bsin C，因此S3cos Bcos C3sin Bsin C3cos Bcos C3cos (BC)，于是當(dāng)BC時(shí)取得最大值3【答案】選A3(2015·四川德陽(yáng)二診)已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大的內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為( )ABCD【解析】依題意，不妨設(shè)三邊長(zhǎng)am1，bm，cm1，其中m2，mN，則有C2A，sin Csin 2A2s

4、in Acos A，由正、余弦定理得c2a·，則bc2a(b2c2a2)，于是m(m1)2(m1)(m24m)，解得m5，故cos A【答案】選A4(2015·安徽合肥模擬)在銳角三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，6cos C，則的值是 【解析】由6cos C，得b2a26abcos C.化簡(jiǎn)整理得2(a2b2)3c2，將切化弦，得·()··. 根據(jù)正、余弦定理得4. 【答案】45在ABC中，B60°，AC，則AB2BC的最大值為_ 【解析】由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A又AC120°，

5、AB2BC2sin C4sin(120°C)2(sin C2sin 120°cos C2cos 120°sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0°C120°，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2. 【答案】26(2015·浙江高考) 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知tan2 (1)求的值； (2)若B，a3，求ABC的面積【解】(1)由tan2，得tan A，(2)由tan A，A(0，)，得sin A，cos A 又由

6、a3，B及正弦定理，得b3由sin Csin (AB)sin (A)，得sin C則ABC的面積Sabsin C9【變式11】(2015·廣東汕頭質(zhì)檢)鈍角三角形的三邊長(zhǎng)為a，a1，a2，其最大角不超過(guò)120°，則a的取值范圍是( )A0a3Ba3C2a3D1a【解析】因?yàn)閍，a1，a2為鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，aa1a2，則a1由大邊對(duì)大角可知，邊長(zhǎng)為a2的邊對(duì)應(yīng)的角最大，由余弦定理得cos (0，)，得a3【答案】選B【變式12】(2015·甘肅蘭州模擬)若滿足條件C60°，AB，BCa的三角形ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是( )A(1，)B(，)C(

7、，2)D(1，2)【解析】因?yàn)镃60°，AB，由正弦定理，得2，a2 sin A，又AB120°，且三角形有兩解，60°A120°，且A90°，即sin A1，得a2【答案】選C【變式13】(2013·四川高考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影【解】(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)

8、cos Bsin(AB)sin B.則cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0A，得sin A，由正弦定理，有，所以sin B.由題知ab，則AB，故B.根據(jù)余弦定理，有(4)252c22×5c×，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影為|cos B.角度二：函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題方程思想，是從問題中的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)使問題獲解有時(shí)，還通過(guò)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的1(2

9、015·石家莊模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csin Aacos C，則sin Asin B的最大值是()A1BCD3【解析】由csin Aacos C，得sin Csin Asin Acos C，在ABC中sin A0，所以sin Ccos C，tan C，C(0，)，則C. 所以sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin，A，所以當(dāng)A時(shí)，sin Asin B取得最大值 【答案】選C2(2015·天津和平二模)在ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，DC2BD，AD，ADC45°，若ACAB，則BD等于( )A2B4C

10、2D3【解析】在ADC中，AC2AD2DC22AD ·DC ·cos 45°2DC22·DC ·2DC22DC；在ABD中，AB2BD2AD22BD ·AD ·cos 135°BD222·BD ·2·(2BD22BD)，整理得BD24BD10，解得BD2或2(舍去) 【答案】選C3(2015·湖北武漢)在三角形ABC中，2sin2 sin A，sin (BC)2cos Bsin C，則 【解析】2sin2 sin A1cos Asin Asin (A)因?yàn)?A，A，則A，所以

11、A再由余弦定理，得a2b2c2bc，；將sin (BC)2cos Bsin C展開得sin Bcos C3cos Bsin C，將其角化邊，得b·c·，即2b22c2a2，；將代入，得b23c2bc0，左右兩邊同除以c2，得230，解得或(舍去)，【答案】4(2015·浙江杭州月考) 在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知bcos Cbsin Cac0(1)求B；(2)若b，求2ac的取值范圍【解】(1)由正弦定理知sin Bcos Csin Bsin Csin Asin C0，將sin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C

12、代入上式，得sin Bsin Ccos Bsin Csin C0，在ABC中，sin C0，則sin Bcos B10，即sin又0B，則B(2)由(1)得2，2ac4sin A2sin C4sin A2sin (A)5sin Acos A2sin(A)，其中tan ，是第一象限角，由于0°A120°，且是第一象限角，2sin(A)(，2因此2ac的取值范圍為(，25(2015·江西臨川二聯(lián))凸四邊形PABQ中，其中A、B為定點(diǎn)，AB，P、Q為動(dòng)點(diǎn)，滿足APPQQB1(1)寫出cos A與cos Q的關(guān)系式；(2)設(shè)三角形PAB和三角形PQB的面積分別為S和T，求

13、S2T2的最大值【解】(1)在PAB中，由余弦定理知PB2PA2AB22PA ·AB ·cos A42cos A， 同理，在PQB中PB222cos Q， 42cos A22cos Q，cos Qcos A1(2)由已知得，SPA ·ABsin Asin A，TPQ ·QB·sin Q， S2T2sin2Asin2Q(1cos2A)(1cos2Q)cos2Acos A2，當(dāng)cos A時(shí)，S2T2有最大值為【變式2-1】已知ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量m(sin B,1cos B)與向量n(2,0)的夾角的余弦值為 (1

14、)求角B的大?。?2)若b，求ac的范圍【解】(1)m(sin B,1cos B)，n(2,0)，m·n2sin B，又|m|2，0B，0，sin 0，|m|2sin .而|n|2，cos cos ，B.(2) 由(1)得2，且ACac2sin A2sin C2sin A2sin (A)sin Acos A2sin (A)，又0A，所以A， 所以sin1，所以2sin2，即ac的取值范圍為(，2.【變式22】(2015·湖南高考)設(shè)ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，abtan A，且B為鈍角 (1)證明：BA； (2)求sin Asin C的取值范圍【證明】

15、(1)由abtan A及正弦定理得，所以sin Bcos A，即sin Bsin ，又B為鈍角，則A(，)，故BA，即BA.【解】(2)由(1)可知C(AB)(2A)2A0，故A(0，).則sin Asin Csin Asin sin Acos 2A2sin2 Asin A10A，故0sin A，因此22由此可知sin Asin C的取值范圍是【變式23】(2015·河北衡水五調(diào))已知圓O的半徑為R(R為常數(shù))，它的內(nèi)接ABC滿足2R(sin2 Asin2 C)(ab)sin B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，求ABC面積的最大值【解】由正弦定理得a2c2b(ab)，即a2

16、b2c2ab 由余弦定理得cos C，則C 則Sabsin C·2Rsin A·2Rsin B·sin R2sin Asin B 又AB，即BA則SR2sin Asin BR2sin Asin (A)R2(sin2 Asin Acos A)R2 sin (2A) 又0A，則2A 則當(dāng)2A，即AB時(shí)，ABC面積的最大值為SmaxR2角度三：數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將反映問題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，也是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)的一種解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”

17、，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題形象化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合1(2015·河南長(zhǎng)葛模擬)在三角形ABC中，已知AB12，ACB的平分線CD把三角形分成面積為32的兩部分，則cos A等于( )ABCD0【解析】如圖，B2A，ACDBCD，設(shè)AD3k，BD2k (k0)，在ACD中，由正弦定理得，；在BCD中，由正弦定理得，即，；由得2cos A，即cos A【答案】選C2(2015·吉林長(zhǎng)春調(diào)研)在扇形AOB中，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P引平行于OB的直線交OA于點(diǎn)C，設(shè)AOP，則三角形POC面

18、積取最大值時(shí)的值為 【解析】如圖，CP/OB，CPOPOB60°，OCP120°，在POC中，由正弦定理得，CPsin ，又，OCsin(60°)，三角形POC面積為S()CP·OCsin120°·sin ·sin(60°) ·sin ·sin(60°)sin (cos sin )sin(230°)，(0°，60°)，230°(30°，150°)，當(dāng)30°時(shí)，S()取得最大值為【答案】30°【變式31】(2

19、015·浙江杭州模擬)在三角形ABC中，C90°，M是BC的中點(diǎn)若sinBAM，則sinBAC 【解析】如圖，設(shè)ACb，ABc，BCa，在ABM中，由正弦定理得，；因?yàn)閟inBMAsinCMA ，又ACb，AMsinBMA，又由得，兩邊平方化簡(jiǎn)得4c412a2c29a40，2c23a20，則sinBAC【答案】【變式32】(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷)ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分ABC，ABD面積是ADC面積的2倍 (1)求； (2)若AD1，DC，求BD和AC的長(zhǎng)【解】(1)如圖，SABDAB·ADsinBAD，SACDAC·ADsinCA

20、D， SABD2 SACD，BADCAD，AB2AC， 由正弦定理，得(2)，BD， 在ABD和ACD中，由余弦定理得 AB2AD2BD22 AD·BD·cosADB，AC2AD2DC22 AD·DC·cosADC， 故AB22AC23AD2BD22DC26， 由(1)知AB2AC，AC1角度四：分類討論思想所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，如不能用同一標(biāo)準(zhǔn)、同一種運(yùn)算、同一個(gè)定理或同一種方法去解決，因而會(huì)出現(xiàn)多種情況，我們就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)論得到整個(gè)問題的解答實(shí)質(zhì)上分

21、類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略分類討論時(shí)應(yīng)注意理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)、不遺漏地分類討論”1在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，ac3，SABC.(1)求B；(2)若b，求ABC的周長(zhǎng)【解】(1)因?yàn)镾ABCacsin B，所以×3sin B，即sin B.又因?yàn)?B，所以B或.(2)由(1)可知，B或，當(dāng)B時(shí)，因?yàn)閍2c2ac(ac)23ac2，ac3，所以ac；當(dāng)B時(shí)，因?yàn)閍2c2ac2，ac3，所以a2c21(舍去)，所以ABC的周長(zhǎng)為acb.2在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b

22、，c.(1)若c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀【解】(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當(dāng)cos A0時(shí)，0<A<，A，ABC為直角三角形；當(dāng)sin Asin B0時(shí)，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC為等腰三角形A