奧數(shù)盈虧問題詳解

1、知識點說明：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時，如果每人少分，則物 品就有余（也就是盈），如果每人多分，則物品就不足 （也就是虧），凡研究這一類算法的應(yīng)用題叫做“盈虧問 題” 可以得出盈虧問題的基本關(guān)系式：（盈虧）兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)（盈盈）兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)（虧虧）兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種情況，都是屬于按兩個數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問題”注意1.條件轉(zhuǎn)換2.關(guān)系互換板塊一、直接計算型盈虧問

2、題【例1】 三年級一班少先隊員參加學(xué)校搬磚勞動如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬 5塊，則少2塊磚.這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？【解析】比較兩種搬磚法中各個量之間的關(guān)系：每人搬 4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊.這兩 次搬磚，每人相差5 4 1 （塊）第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差 磚數(shù)：7 2 9 （塊），每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差 9塊，所以有少先隊員9 1 9 （人）共 有磚：4 9 7 43 （塊）【鞏固】 明明過生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了 8元；每人出7元，就多出了 4元那么有多少個同學(xué)去買蛋糕？這個蛋糕的價錢

3、是多少？【解析】“多8元”與“多4元”兩者相差8 4 4 （元），每個人要多出8 7 1 （元），因此就知道，共有4 14 （人），蛋糕價錢是8 4 8 24 （元）【鞏固】 老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？【解析】老猴子的第一種方案盈 9個桃子，第二種方案盈2個，所以盈虧總和是9 2 7 （個），兩次分配 之差是11 10 1 （個），由盈虧問題公式得，有小猴子：7 1 7 （只），老猴子有7 10 9 79（個）桃子.【鞏固】 有一批練習(xí)本發(fā)給學(xué)生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，

4、則多10本，那么這個班有多少學(xué)生，多少練習(xí)本呢？【解析】由題意知：第一種方案：每人發(fā) 5本多出70本；第二種方案：每人發(fā) 7本多出10本；兩種方案 分配結(jié)果相差：70 10 60 （本），這是因為兩次分配中每人所發(fā)的本數(shù)相差：7 5 2 （本），相差60本的學(xué)生有：60 2 30 （人）練習(xí)本有：30 5 70 220 （本）（或30 7 10 220）.【例2】（2007年“走進美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃下午收工后，猴王開始分配若大猴分5個，小猴分3個，猴王可留10個若大、小猴都分 4個，猴王能留下20個在 這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只.【詳解】當(dāng)大猴分5個，

5、小猴分3個時，猴王可留10個.若大、小猴都分4個，猴王能留下20個.也就是 說在大猴分5個，小猴分3個后，每只大猴都拿出1個，分給每只小猴1個后，還剩下20 10 10 個，所以大猴比小猴多 10只.【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校新買來一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請冋有多少老師？多少本書？【解析】“差9本”和“差2本”兩者相差9 2 7 （本），每個人要多發(fā)10 9 1 （本），因此就知道， 共有老師7 1 7 （人），書有7 10 9 61 （本）【鞏固】 幼兒園給獲獎的小朋友發(fā)糖，如果每人發(fā)6塊就少12塊，如果每人發(fā) 9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢

6、？【解析】由題意知：兩次的分配結(jié)果相差：24 12 12 （塊），這是因為第一次與第二次分配中每人相差：9 6 3 （塊），多少人相差 12塊呢？ 12 3 4 （人），糖果數(shù)是：6 4 12 12 （塊）（或9 4 24 12) 鞏固】 王老師去琴行買兒童小提琴，若買 7 把，則所帶的錢差 110 元；若買 5把，則所帶的錢還多 30 元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？解析】 本題購物的兩個方案，第一個方案：買 7把差 110元，第二個方案：買 5把還多 30 元，從買 7 把變成買 5 把，少買了 7 5 2 （把），而錢的差額為： 110 30 140 （元），即 140

7、 元可以買 2 把小提琴，可見小提琴的單價是每把70 元，王老師一共帶了 70 7 110 380（元） .鞏固】 工人運青瓷花瓶 250 個，規(guī)定完整運到目的地一個給運費 20元，損壞一個倒賠 100 元運完這 批花瓶后，工人共得 4400 元，則損壞了多少個？解析】 本 題中“損壞一個倒賠 100 元”的意思是運一個完好的花瓶與損壞 1 個花瓶相差 100 20 120 （元），即損 1 個花瓶不但得不到 20 元的運費，而且要付出 120 元本例可假設(shè) 250 個花瓶都完 好，這樣可得運費 20 250 5000（元）這樣比實際多得 5000 4400 600 （元） 就是因為有損壞的瓶

8、子，損壞 1 個花瓶相差 120 元現(xiàn)共相差 600 元，從而求出共損壞多少個花 瓶根據(jù)以上分析，可得損壞了 （20 250 4400）（100 20） 5 （個）例 3 】 某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住 5 人則有 14 人沒有床位；如果每間住 7 人，則多出 4 個床位， 問宿舍幾間 ?住宿生幾人 ?解析】 由 已知條件每間 5 人少 14 個床位每間 7 人 多 4 個床位比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住 （7 5） 2 人， 一共要多出 （14 4） 18 個床位，根據(jù)兩種方案每間住的人數(shù)的差和床位差，可以求出宿舍間數(shù)， 然后根據(jù)已知條件可求出住宿生人數(shù)解：

9、 （4 14） （7 5）=9 （ 間）5 9 14 59（人），或7 9 4 59（人）鞏固】 學(xué)校有 30 間宿舍，大宿舍每間住 6 人，小宿舍每間住 4 人已知這些宿舍中共住了 168 人，那 么其中有多少間大宿舍？解析】 如果 30 間都是小宿舍，那么只能住 4 30 120（人），而實際上住了 168 人大宿舍比小宿舍每間多住 6 4 2 （人），所以大宿舍有 （168 120） 2 24 （間）（這是一個雞兔同籠，放在這里 做對比）鞏固】 智康學(xué)校三年級精英班的一部分同學(xué)分糖果， 如果每人分 4粒就多 9粒，如果每人分 5 粒則少 6 粒，問：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？解析】 由

10、題目條件知道，同學(xué)的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變，比較兩種分配方案，第一種每人分 4 粒就多 9 粒，第二種每人分 5 粒則少 6 粒，兩種不同方案一多一少差 9+6=15 （粒），相差原因在于兩種 方案分配數(shù)不同，兩次分配數(shù)之差為： 5-4=1 （粒），每人相差一粒， 15 人相差 15 粒，所以參 與分糖果的同學(xué)的人數(shù)是15 +1=15 （位），糖果的粒數(shù)為：4 05+9=69 （粒）.鞏固】 秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4 個，要多出48 個蘿卜；如果每天吃 6 個，則又少 8 個蘿卜那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃吃多少天？解析】 題中告訴我們每天吃

11、 4 個，多出 48 個蘿卜；每天吃 6 個，少 8 個蘿卜觀察每天吃的個數(shù)與蘿 卜剩余個數(shù)的變化就能看出， 由每天吃 4 個變?yōu)槊刻斐?6 個，也就是每天多吃 2 個時， 蘿卜從多 出48個到少8個，也就是所需的蘿卜總數(shù)要相差48 + 8= 56 （個）.從這個對應(yīng)的變化中可以看出，只要求 56 里面含有多少個 2，就是所求的計劃吃的天數(shù)；有了計劃吃的天數(shù)，就不難求 出共有多少個蘿卜了吃的天數(shù)：（48 + 8） + （ 6 4 ）= 56 -2 = 28 （天），蘿卜數(shù)：6X28 8=160 （個）或 4 X28 + 48 = 160 （個）.板塊二、條件關(guān)系轉(zhuǎn)換型盈虧問題【例 4】 貓媽媽

12、給小貓分魚，每只小貓分 10條魚，就多出 8條魚，每只小貓分 11條魚則正好分完，那 么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？【解析】 貓媽媽的第一種方案盈 8 條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是 8 條，兩次分配之差是11 10 1（條），由盈虧問題公式得，有小貓： 8 1 8 （只），貓媽媽有 8 10 8 88（條）魚.【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校三年級基礎(chǔ)班的一部分同學(xué)分小玩具，如果每人分4個就少 9個，如果每人分 3個正好分完，問：有多少位同學(xué)分多少個小玩具？【解析】 第一種分配方案虧 9 個小玩具，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9 個，兩次分配之差是：4 3 1（個），由盈虧問

13、題公式得， 參與分玩具的同學(xué)有： 9 1 9（人），有小玩具 9 3 27（個）.【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校買來一批小足球分給各班：如果每班分 4 個，就差 66 個，如果每班分 2 個，則正好分完，學(xué)而思小學(xué)一共有多少個班？買來多少個足球？解析】 第一種分配方案虧 66 個球，第二種方案不盈不虧， 所以盈虧總和是 66 個，兩次分配之差是 4 2 2（個），由盈虧問題公式得，朝陽小學(xué)有： 66 2 33 （個）班，買來足球 33 2 66（個） .鞏固】 一位老師給學(xué)生分糖果，如果每人分 4粒就多 9 粒，如果每人分 5粒正好分完，問：有多少位 學(xué)生？共多少粒糖果？解析】 第一種分配方案盈 9粒糖

14、，第二種方案不盈不虧， 所以盈虧總和是 9 粒，兩次分配之差是 5 4 1（粒），由盈虧問題公式得，參與分糖的同學(xué)有： 9 1 9 （人），有糖果 9 5 45（粒）鞏固】 實驗小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐 60 人，則有 15 人上不了車；如果每輛車多坐 5 人， 恰好多出一輛車 . 問一共有幾輛車，多少個學(xué)生？解析】 沒輛車坐 60 人，則多余 15 人，每輛車坐 60+5=65 人，則多出一輛車，也就是差 65 人 .因此車輛數(shù)目為：（65+15 ）十5=80 +5=16（輛）.學(xué)生人數(shù)為：60 X（16-1 ） +15=60 05+15=900+15=915（人）.例 5】 甲、乙

15、兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用 2 張信紙，乙每封信用 3 張 信紙，一段時間后， 甲用完了所有的信封還剩下 20 張信紙，乙用完所有信紙還剩下 10 個信封， 則他們每人各買了多少張信紙？解析】 由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺 30 張信紙這是盈虧問題，盈虧總額為 （20 30） 張信 紙， 兩次分配的差為（3 2）張信紙，所以有信封（20 + 30） +（3 2） = 50（個），有信紙2 X50 + 20=120（張）.例 6】 幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下 10個。如全部分給小班的小朋友，每人分到 8 個，則缺 2

16、 個。已知大班比小班多 3 人，問：這筐蘋果共有 多少個？解析】 先把大班人數(shù)和小班人數(shù)轉(zhuǎn)化為一樣。 大班減少 3 人，則蘋果又收回 3 5 15 個蘋果， 人數(shù)一樣，根據(jù)盈虧問題公式，小班人數(shù)為： （15 10 2） （8 5） 9人，蘋果總數(shù)是 8 9 2 70個。鞏固】 幼兒園把一袋糖果分給小朋友.如果分給大班的小朋友，每人5 粒就缺 6 粒.如果分給小班的小朋友，每人 4 粒就余 4 粒.已知大班比小班少 2 個小朋友， 這袋糖果共有多少粒？解析】 如果大班增加 2 個小朋友， 大、小班人數(shù)就相等了， 變?yōu)椤懊咳?5 粒缺 16 粒，每人 4 粒多 4 ?！钡挠潌栴}.小班有 （16

17、+ 4）十（5 4） = 20（人）.這袋糖果有 4 X20 + 4 = 84（粒）. 例 7】 有一些糖，每人分 5 塊則多 10塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的 1.5倍，那么每人 4 塊就少兩 塊，這些糖共有多少塊？解析】 第一次每人分 5 塊，第二次每人分 4 塊，可以認(rèn)為原有的人每人拿出 5 4 1塊糖分給新增加的人， 而新增加的人剛好是原來的一半， 這樣新增加的人每人可分到 2 塊糖果，這些人每人還差 4 2 2 塊 ， 一 共 差 了 10 2 12 塊 ， 所 以 新 增 加 了 12 2 6 人 ， 原 有 6 2 12 人 糖 果 數(shù) 為 ： 12 5 10 70（塊）鞏固

18、】 臥龍自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分 5 個還多余 10 棵竹子，如 果大熊貓數(shù)增加到 3 倍還少 5 只，那么每只大熊貓分 2 棵竹子還缺少 8 棵竹子，問有大熊貓多 少只，竹子多少棵？解析】 使同學(xué)們感到困難的是條件“ 3倍還少 5 只大熊貓”先要轉(zhuǎn)化這一條件，假設(shè)還有 10棵竹子， 10 2 5 ，就可以多有 5 個大熊貓，把“少 5 只大熊貓”這一條件暫時擱置一邊，只考慮 3 倍 大熊貓數(shù)， 也相當(dāng)于按原大熊貓數(shù)每只大熊貓給 2 3 6 （棵）竹子，每只大熊貓給 5 棵與給 6棵， 總數(shù)相差10 10 8 28（棵），所以原有大熊貓數(shù) 28 （6 5） 28

19、（只），竹子總數(shù)是 5 28 10 150（ 棵） 鞏固】 體育隊將一些羽毛球分給若干個人，每人 5個還多余 10 個羽毛球，如果人數(shù)增加到 3倍，那么 每人分 2 個羽毛球還缺少 8 個，問有羽毛球多少個？【解析】考慮人數(shù)增加3倍后，相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2 X3 = 6 （個），每人給5個與給6個，總數(shù)相差10 + 8 = 18 （個），所以原有人數(shù) 18 - （6 5） = 18 （人），乒乓球總數(shù)是 5 X18 + 10 = 100 （個）.例 8】 王老師給小朋友分蘋果和桔子， 蘋果數(shù)是桔子數(shù)的 2倍.桔子每人分 3個，多 4個；蘋果每人分7 個，少 5 個 . 問有多少個小朋友？多少

20、個蘋果和桔子？解析】 因為桔子每人分 3 個多 4 個，而蘋果是桔子的 2 倍，因此蘋果每人分 6 個就多 8 個.又已知蘋果每人分7個少5個，所以應(yīng)有（8+5 ）-（6-5 ） =13 （人）.蘋果個數(shù)為13 X7-5=86（個）.桔子數(shù)為13 X3+4=43 （個）.答：有 13 個小朋友， 86 個蘋果和 43 個桔子 .鞏固】 學(xué)而思學(xué)校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2 倍，分給同學(xué)們，每組分乒乓球拍 5副，余乒乓球拍 15副，每組分羽毛球拍 14副，則差 30副，問：學(xué)而思學(xué)校買來羽毛球拍、乒 乓球拍各多少副？（副），因為14-5 X2=4 （副），分到最后還差30畐所以比每

21、次分10副總共差30+30=60 （副）, 所以有小組：60網(wǎng)=15 （組），乒乓球拍有：5 05+15=90 （副），羽毛球拍90 X2=180 （副）.例 9】 用一根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時，多 5 米；如果繩子 3 折時，差 4 米. 求繩子長度和 井深.【解析】 井的深度為：（5X2+4 X3）-（3-2 ） =22 -1=22（米）.繩子長度為：（22+5 ）X2=27 X2=54 （米），或者 （22-4 ）X3=18 X3=54 （米）.例 10】 樂樂有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中 2分幣比 5分幣多 22個；按錢數(shù)算， 5分幣卻比 2 分幣多 4 角；另外，還有

22、 36 個 1 分幣樂樂共存了多少錢？解析】 假設(shè)去掉 22個 2分幣， 那么按錢數(shù)算， 5分幣比 2分幣多 8角 4分， 一個 5分幣比一個 2分幣多 3分，所以 5分幣有： 84 （5 2） 28（個）；2分幣有： 28 22 50（個）所以樂樂共存錢： 5 28 2 50 1 36 140 100 36 276（分）例 11】 陽光小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游 如果每車坐 65人，則有 5人不能乘上車； 如果每車多坐 5人， 恰多余了一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生？解析】 每車多坐 5人， 實際是每車可坐 5 65 70（人） ，恰好多余了一輛車， 也就是還差一輛汽車的人， 即 70人

23、因而原問題轉(zhuǎn)化為：如果每車坐 65人，則多出 5人無車乘坐；如果每車坐 70 人，還 少 70 人，求有多少人和多少輛車？車數(shù)是（5 5 65） 5 15（ 輛），人數(shù)是 65 15 5 980（ 人）或（5 65）（15 1）980（ 人） 鞏固】 幸福小學(xué)少先隊的同學(xué)到會議室開會，若每條長椅上坐3 人則多出 7 人，若每條長椅上多坐 4人則多出 3 條長椅問：到會議室開會的少先隊員有多少人？解析】 第二個條件可轉(zhuǎn)化為： “每條長椅上坐 7個人，則少 21 個人”，“多 7人”與“少 21 人”兩者相 差 7 21 28（人），每條長椅要多坐 7 3 4（人） ，因此就知道，共有 28 4

24、7（ 條）長椅，人數(shù) 是 7 3 7 28（ 人）鞏固】 智康小合唱隊的同學(xué)到會議室開會，若每條長椅上坐 3 人則多出 9 人，若每條長椅上坐 4 人則 多出 3 人 . 問：合唱隊有多少人？【解析】"多9人”與"多3人”兩者相差9 3 = 6 （人），每條長椅要多座 4 一 3 = 1 （人），因此就知 道，共有6 -1 = 6 （條）長椅，人數(shù)是 6 X3+9 = 27 （人）.鞏固】 少先隊員去植樹，如果每人挖 5 個樹坑，還有 3 個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖 4 個樹坑， 其余每人挖 6 個樹坑， 就恰好挖完所有的樹坑。 請問， 共有多少名少先隊員？共挖了多少樹

25、坑？解析】 這 是一個典型的盈虧問題，關(guān)鍵在于要將第二句話“如果其中兩人各挖4 個樹坑，其余每人挖 6個樹坑， 就恰好挖完所有的樹坑” 統(tǒng)一一下。 即：應(yīng)該統(tǒng)一成每人挖 6 個樹坑， 形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。 那么它就相當(dāng)于每人挖 6 個樹坑，就要差（ 6-4 ） *2=4 個樹坑。這樣，盈虧總數(shù)就是 3+4=7 ， 所以，有少先隊員 7/（6-5） =7 名，共挖了 5*7+3=38 個坑。 盈虧總數(shù)等于 3+（6-4） *2=7 ， 少先隊員有 7/ （ 6-5 ） =7 名，共挖了 5*7+3=38 個樹坑。鞏固】 六年級學(xué)生出去劃船。老師算了一下，如果每船坐 6 人，那么還剩下 22 人沒船坐

26、。安排時發(fā)現(xiàn) 有 3 條船壞了，于是改為每船坐 8 人，結(jié)果還剩下 6 人沒地方坐，請問：一共有多少學(xué)生？解析】 如果 3 條船沒有壞，每船坐 8 人，那么多余了 8 3 6 18 個座位。根據(jù)盈虧問題公式，有船（18 22） （8 6） 20條，學(xué)生人數(shù)為 20 6 22 142人。例 12】 學(xué)校為新生分配宿舍每個房間住 3人，則多出 23人；每個房間住 5人，則空出 3個房間問 宿舍有多少間？新生有多少人？解析】 每個房間住 3人，則多出 23人，每個房間住 5人，就空出 3個房間，這 3個房間如果住滿人應(yīng) 該是 5 3 15（人） ，由此可見，每一個房間增加5 32（人）兩次安排人數(shù)總

27、共相差23 15 38（人） ，因此，房間總數(shù)是： 38-2=19（間），學(xué)生總數(shù)是： 3 19 23 80（人），或者 5 19 5 3 80（人） 鞏固】 學(xué)校為新生分配宿舍每個房間住 3人，則多出 22 人；每個房間多住 5 人，則空 1 個房間問 宿舍有多少間？新生有多少人？解析】 每個房間住 3人，則多出 22 人，每個房間多住 5人，意味著就是每個房間住 8個人,則空出 1 個 房間，這 1 個房間如果住滿人應(yīng)該是 1 8 8（人），由此可見，每一個房間增加 8 3 5（人） 兩 次安排人數(shù)總共相差 22 8 30（人） ，因此，房間總數(shù)是： 30 5 6（ 間），學(xué)生總數(shù)是： 3

28、 6 22 40（ 人）鞏固】 軍隊分配宿舍，如果每間住 3人，則多出 20人；如果每間住 6 人，余下 2人可以每人各住一個 房間，現(xiàn)在每間住 10 人，可以空出多少個房間？解析】 每間住 6 人，余下 2 人可以每人各住一個房間，說明多出兩個房間，同時多出兩個人，即兩次分 配方案人數(shù)相差 20 6 2 2 30 （人） ，每間房間相差： 6 3 3（ 人） ，所以共有房間 ： 30 3 10（間） ，一共有： 3 10 20 50（ 人） ，即可以空出 10 50 10 5（間） 房間鞏固】 豬媽媽帶著孩子去野餐，如果每張餐布周圍坐 4 只小豬就有 6 只小豬沒地方坐，如果每張餐布 周圍多

29、坐一只小豬就會余出 4 個空位子， 問：一共有多少只小豬， 豬媽媽一共帶了多少張餐布？解析】 每張餐布周圍多坐一只小豬就是坐 5 只小豬，余出 4個空位子就是少 4 只小豬，所以原問題可以 轉(zhuǎn)化為：如果每張餐布周圍坐 4 只小豬，則多出 6 只沒處坐；如果每張餐布周圍坐 5 只，還少 4 只，求有多少只小豬多少張餐布？所以餐布數(shù)是：（6+4 ）十仁10 （張），有小豬：10 X4+6=46（只） .例 13】 國慶節(jié)快到了，學(xué)而思學(xué)校的少先隊員去擺花盆如果每人擺5盆花，還有 3 盆沒人擺；如果其中 2人各擺 4盆，其余的人各擺 6盆，這些花盆正好擺完問有多少少先隊員參加擺花盆活 動，一共擺多少

30、花盆？解析】 這是一道有難度的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各擺 4盆，其余的人各擺 6 盆，這些花盆正好擺完，這組條件中包含著兩種擺花盆的情況 2人各擺 4盆， 其余的人各擺 6 盆如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都擺6 盆，那么，就可以多擺（6 4） 2 4（盆）因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各擺5 盆花，還有 3盆沒人擺；如果每人擺 6 盆花，還缺 4 盆問有多少少先隊員，一共擺多少花盆？人數(shù)： 3 （6 4）（6 5） 7 （人） ，盆數(shù)： 5 7 3 38（盆）或 6 7 4 38（盆）鞏固】 媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分 4 個，其余人每人

31、分 2 個，則多出 4 個；如果 其中一人分 6個，其余人每人分 4個，則缺少 1 2個，媽媽買來橘子多少個 ?全家共有多少人 ?解析】 由“其中兩人分 4個，其余每人分 2個，則多出 4個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分 2個，這分 4個的兩 人每人都拿出 2個，共拿出 4個，結(jié)果就多了 4 4 8個；由“一人分 6個，其余每人分 4個， 則缺少 1 2個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分 4個，分 6個的人拿出 2個，結(jié)果就少了 12 2 10個，轉(zhuǎn)變成了盈虧問題的一般類型，則：全家的人數(shù)： 4 2 2 （12 2） （4 2） 18 2 9（ 人）橘子的個數(shù)： 2 9 8 26（ 個）例 14】 四班舉行 “六一

32、” 聯(lián)歡晚會， 輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢去買糖果 如果買芒果 13千克，還差 4 元； 如果買奶糖 15千克，則還剩 2 元已知每千克芒果比奶糖貴 2元，那么，輔導(dǎo)員老師帶了 元錢解析】 這筆錢買 13千克芒果還差 4 元，若把這 13千克芒果換成奶糖就會多出 13 2 26元，所以這筆錢買 13 千克奶糖會多出 26 4 22 元而這筆錢買 15 千克奶糖會多出 2 元，所以每千克奶糖的價格 為： （22 2） （15 13） 10 （元）輔導(dǎo)老師共帶了 10 15 2 152元鞏固】 小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買 10 千克牛肉則還差 6 元，若買 12 千克豬肉則還剩 4 元已 知每千克牛

33、肉比豬肉貴 3 元，問：小明媽媽帶了多少錢？【解析】因為“每千克牛肉比豬肉貴 3元”所以同樣買10千克豬肉的話，就剩了3X10 6 = 24 （元），這樣化成普通的盈虧問題，豬肉的價錢是：（24 4） + （12 10 ）= 10 （元），所以小明媽媽帶的錢數(shù)是：12 X10 + 4 = 124 （元）.鞏固】 食堂采購員小李到集貿(mào)市場去買肉，如果買牛肉 18千克，則差 4元；如果買豬肉 20千克，則 多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價 8角.問牛肉、豬肉各多少錢一千克？解析】 這里有兩種肉，思考起來比較困難，能否化為一種肉的問題呢？仔細(xì)分析一下已知條件，買牛肉18 千克差 4元，而買豬肉 20

34、千克還多 2元，說明牛肉貴一些 .每千克貴 8角， 如果18 千克牛肉換成18千克豬肉，就要少花 8 08=144 （角）=14元4角這樣就會多出14元4角-4元=10元 4 角 .因此問題就可變?yōu)椋?“小李買豬肉 18 千克多余 10 元 4 角，買 20 千克多余 2 元，求豬肉 單價和錢數(shù)”雖然兩次都是盈余，仍屬盈虧問題，不過豬肉單價=兩次錢的差十兩次千克量差解 由已知條件知牛肉比豬肉貴，每千克貴8角.18千克牛肉比18千克豬肉貴8 X18=144（角）=14 元 4 角.因此小李若買18千克豬肉就會多余14元4角-4元=10元4角.由已知小李買 20 干克豬肉多余 2 元，所以豬肉每千

35、克價格為（104-20 ）-（20-18 ） =84 +2=42（角）=4 元 2 角.所以牛肉每千克價格為： 4 元 2 角+8 角=5 元.小李帶的錢為：4.2 X20+2=86（元）.鞏固】 李明的媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價分別為 8元和 10元，李媽媽帶的錢買雕牌洗衣 粉比買碧浪洗衣粉可多買 3 袋，并且沒有剩余的錢問：李媽媽帶了多少錢？【解析】（法1） “李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋”,這三袋洗衣粉多花 8 X3 = 24（元），又因為花的錢總數(shù)一樣多，所以在買碧浪洗衣粉的時候要把這些錢補上，而碧浪比雕牌每袋貴2元，所以要買碧浪洗衣粉袋數(shù) 24 +2 =

36、 12 （件）.這樣李媽媽帶的錢數(shù)是 10 X12 = 120 （元）（法2 ）如果買雕牌與碧浪洗衣粉數(shù)量一樣多，則買雕牌洗衣粉以后還剩3 X8 = 24 （元），根據(jù)普通的盈虧問題解法，買碧浪洗衣粉的數(shù)量是：24 +（10 8 ）= 24 +2 = 12 （件），所以李媽媽帶的錢數(shù)是：12 X10 = 120 （元）.例 15】 小強由家里到學(xué)校，如果每分鐘走 50米，上課就要遲到 3分鐘；如果每分鐘走 60米，就可以比上課時間提前 2 分鐘到校。小強家到學(xué)校的路程是多少米？解析】 遲到 3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)： 50 3 150（米），提前 2 分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)： 60 2 120（米），距

37、離上課時間為： （150 120） （60 50） 27（分鐘），家到學(xué)校的路程為： 50 （27 3） 1500（米）鞏固】 東東從家去學(xué)校，如果每分走 80米，結(jié)果比上課提前 6分到校，如果每分走 50米，則要遲到 3 分，那么東東家到學(xué)校的路程是 米解析】 這道題看似行程問題， 實質(zhì)卻可以用盈虧問題來解 .先求出東東從家到學(xué)校路上要用多長時間，根據(jù)已知， （80 6 50 3） （80 50） 630 30 21 （ 分鐘 ） ，然后可求東東家離校的路程為：80 （21 6） 1200 （ 米） 鞏固】 王老師由家里到學(xué)校，如果每分鐘騎車 500 米，上課就要遲到 3 分鐘；如果每分鐘騎

38、車 600 米， 就可以比上課時間提前 2分鐘到校 .王老師家到學(xué)校的路程是多少米？【解析】 遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：500 X3=1500 （米），提前兩分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：600 X2 = 1200 （米）王老師家到學(xué)校需要（ 1500 1200 ）+（60-50 ） =270 （分鐘），王老師家到學(xué)校的路程： 500X(270+3 )= 136500(米)【鞏固】 學(xué)校規(guī)定上午 8時到校，小明去上學(xué)，如果每分種走 60米，可提早 1 0分鐘到校；如果每分鐘 走 50 米，可提早 8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8 時到校？由家到學(xué)校的路程是多少？【解析】 小明每分鐘走60米，可提早10分

39、鐘到校，即到校后還可多走 60 X10 = 600 （米）；如果每分鐘 走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走 50 X8 = 400 （米），第一種情況比第二種情況 每分鐘多走60 50 = 10 （米），就可以多走600 400 = 200 （米），從而可以求出小明由家到校 所需時間（1） 10分種走多少米？ 60 X10 = 600 （米），（2）8分種走多少米？ 50 X8 = 400 （米），（3） 需要時間：（600 400 ）-（60 50 ）= 20 （分鐘），所以小明7時40分離家剛好8時到 校.(4) 由家到校的路程：60 X(20 10 )= 600 (米)或：50

40、 X(20 8)= 600 (米).例 16】 “六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等花球原價1元錢 2個，白球原價 1 元錢 3 個.因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價都是 2 元錢 5個，結(jié)果 小明少花了 4元錢，那么小明共買了多少個球？解析】 花球原價 1元錢2個，白球原價 1元錢3個.即花球原價 10元錢20個，白球原價 10元錢30個.那么，同樣買花球和白球各 30 個，花球要比白球多花 10 2 5（元），共需要 30 2 30 3 25（元） .現(xiàn)在兩種球的售價都是 2元錢 5個，花球和白球各買 30個需要 （30 5）2224（元），說明花球和白球

41、各買 30 個能省下 25 24 1（ 元） .現(xiàn)在共省了 4 元，說明花球和白球各有30 4 120 （個），共買了 120 2 240（個）.例 17】（2009“數(shù)學(xué)解題能力展示”中年級組復(fù)試題）幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖.她發(fā)給每個小朋友 2 塊巧克力， 7 塊奶糖和 8 塊水果糖.發(fā)完后清點一下，水果糖還剩15塊，而巧克力恰好是奶糖的 3 倍.那么共有 個小朋友.解析】 畫線段圖分析，由題意知：巧克力L|J奶餓晝水果糖L一J從奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等.如圖：巧克力專取、1奶勲1f旳nI水果糖d那么2小段和5份都看成10份量，那么總量就相當(dāng)

42、于 19份量，水果糖中原有的 8份就是現(xiàn)在的 16份，則剩下的15塊水果糖就占有3份，則1份就是5塊，給小朋友們分出去的水果糖數(shù)量是： 16 5 80 （塊），小朋友的人數(shù)是：80 8 10 （人）方法二：由上圖知，設(shè)發(fā)完后奶糖剩下 1份，則巧克力剩下3份，而巧克力與奶糖每人分得相差 5 塊，對應(yīng)剩下的糖相差 2份，水果糖與奶糖每人分得相差 1塊，則對應(yīng)剩下的糖應(yīng)相差 2 5 0.4 份，所以水果糖最后應(yīng)剩下 1 0.4 0.6份，恰是15塊，所以1份對應(yīng)的是15 0.6 25，所以應(yīng) 用盈虧問題共有（25 15） （8 7）10 （人）.【例18】一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊.小唐

43、喝前兩盒咖啡時每袋咖啡都放3塊方糖，結(jié)果共用了 1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝后三盒咖啡時每袋咖啡都只放1塊方糖，最后第3包方糖還剩下36塊，那么每盒咖啡有多少袋？【解析】小唐喝前2盒咖啡，每袋放3塊糖，相當(dāng)于喝6盒咖啡每袋放1塊糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋 放1塊糖，所以喝后3盒用掉的方糖總量是前 2盒用掉方糖量的一半.同時，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24塊，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差 12塊，因此一包又24塊方糖與兩包差 24塊方糖一樣多，一包方糖有 （24 24） （2 1） 48 （塊）.于是喝前兩盒咖啡用掉方糖 48 24 72 （塊），每盒咖啡的袋數(shù)為：72 3 2 12

44、 （袋）.【鞏固】 巧克力每盒9塊，軟糖每盒11塊，要把這兩種糖分發(fā)給一些小朋友，每種糖每人一塊，由于又來了一位小朋友，軟糖就要增加一盒，兩種糖分發(fā)的盒數(shù)就一樣多，現(xiàn)在又來了一位小朋友，巧克力還要增加一盒，則最后共有多少個小朋友？【解析】 新來了一位小朋友，就要增加一盒軟糖，說明在此之前，軟糖應(yīng)該是剛好分完幾整盒，所以原來的小朋友人數(shù)是11的倍數(shù)增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再來一盒了，說明原有的小朋友分幾整盒巧克力糖之后還剩下一塊，也就是說，原有的小朋友人數(shù)是9的倍數(shù)減1 符合這兩個條件的最小的數(shù)是 44，而且它剛好滿足原有的巧克力比軟糖多一盒的條件，所以原有44個小朋友，最后有 46

45、個小朋友.【例19】 有若干盒卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7張；如果每人分8張卡片，則還缺少5張現(xiàn)在把所有卡片都分完，每人分到60張，而且還多出4張問：共有多少個小朋友？【詳解】 首先由題意，一盒卡片每人分 7張則有剩余，每人分 8張則少5張，證明總?cè)藬?shù)多于 5個.如果一共有7盒卡片，則所有人每人要想分到8 7 56 （張）卡片，還缺 35張，卡片張數(shù)比題中所述要少.如果一共有9盒卡片，則只要再添上5 9 45 （張）卡片，就能使所有人每人分到 8 9 72 （張）,人數(shù)為（45 4） （7260）4士 5，不滿足總?cè)藬?shù)多于 5個的要求.類似地，當(dāng)卡片總盒數(shù)多于9時，都不

46、滿足總?cè)藬?shù)多于 5個的要求.因此卡片一共有 8盒，添上5 8 40 （張）卡片，就能使所有人每人分到8 8 64 （張），所以總?cè)藬?shù)為：（404） （64 60）11 （人）.（二解）60 7 8L 4 , 60 8 7L 4，說明卡片的盒數(shù)是 8盒，“若都分8張則還缺少5張”即如 果我們在每盒中加 5張（8盒共加40張），每人就可以得到 8 864 （張），現(xiàn)在實際每人得到60張，即每人需要退出4張，其中要有4張是每人60張后多下來的，還有 40張是我們一開始借 來的要還出去，即要退出 44張，44 4 11 （人），說明有11人.【例20】 有若干個蘋果和若干個梨如果按每1個蘋果配2個梨分

47、堆，那么梨分完時還剩 2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨.蘋果和梨各有多少個？【解析】容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到原因在于第一種方案是1 個蘋果“搭配” 2 個梨，第二種方案是 3 個蘋果“搭配” 5 個梨 .如果將這兩種方案統(tǒng)一為 1 個 蘋果“搭配”若干個梨， 那么問題就好解決了 .將原題條件變?yōu)?“1個蘋果搭配 2個梨，缺 4個梨；1 個蘋果搭配 5/3 個梨，多 1 個梨”，此時盈虧總額為 4 1 5（個） 梨，兩次分配數(shù)之差為2 5/3 1/3 （個）梨.所以有蘋果 （4 1） （2 5/3） 15（個），有梨 15

48、2 4 26（個）.鞏固】 有若干個蘋果和梨，如果按 1 個蘋果配 3 個梨分一堆，那么蘋果分完時，還剩 2 個梨；如果按 半個蘋果配 2 個梨分一堆，那么梨分完時，還剩半個蘋果 . 問梨有多少個？解析】 1 個蘋果配 3 個梨，多 2 個梨；半個蘋果配 2 個梨，即 1 個蘋果配 4 個梨，剩半個蘋果，即少 2 個梨蘋果有（2+2 ）-（4-3 ） =4 （個），梨有3 X4+2=14 （個）.例 2 1 】幼兒園老師給小朋友分糖果 若每人分 8塊， 還剩 1 0塊；若每人分 9 塊，最后一人分不到 9 塊， 但至少可分到一塊那么糖果最多有多少塊？分析】 最后一人分不到 9塊，那么最多可以分

49、到 8 塊，即若每人分 9 塊，還差 1 塊根據(jù)盈虧計算公式， 人數(shù)有（1 10）（9 8）11（人），糖果最多有 9 11 1 98 （塊）；最后一人分不到 9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計算公式，人數(shù)有（8 10）（9 8） 18（人），糖果最多有 9 18 8 154 （ 塊 ）；所以，這批糖果最多有 154 塊例 22】幼兒園有三個班，甲班比乙班多 4 人，乙班比丙班多 4 人，老師給小孩分棗，甲班每個小孩比乙 班每個小孩少分 3 個棗，乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5 個棗，結(jié)果甲班比乙班共多分 3 個棗，乙班比丙班總共多分 5 個棗問：三個班總共分了多少個

50、棗？解析】 設(shè)丙班有 x 個小孩，那么乙班就有 （x 4）個小孩，甲班有 （x 8）個小孩乙班每個小孩比丙班每個小孩少分 5個棗，那么x個小孩就少分5x個棗，而乙班比丙班總共多分5個棗，所以多出來的那 4個小孩分了（5x 5）個棗.同樣的道理，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分 3個棗，那么（x 4）個小孩就少分（3x 12）個棗， 而甲班比乙班總共多分 3個棗，所以多出來的那 4個小孩分了 3x 12 3 3x 15個棗 甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗， 4個小孩就少 3 4 1 2個棗，因此我們得到：5x 5 3x 15 12 ，解得 x 11所以，丙班有 11個小朋友，乙班有 15個小朋友，甲班有 19個小朋友；甲班每人分 12個棗，乙班每人分 15個棗，丙班每人分 20 個棗共分了 12 19 15 15 20 11 673（個）棗鞏固】 有 48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多 5 人如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人 5 本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人 4 本，書不夠問第二組有多