四川省木里縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)平面向量整理資料人教A新版

1、平面向量一向量有關(guān)概念：1 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段 （向量可以平移） 。例：已知 A（1,2 ）， B（4,2 ），把向量 AB 按向量 a （ 1,3 ）平移得到的向量是_2 零向量 ：長度為0 的向量叫零向量，記作：0 ，注意 零向量的方向是任意的；3 單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量( 與 AB 共線的單位向量是4 相等向量 ：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（共線向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，記作：定零向量和任何向量平行

2、。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線直線平行不包含兩條直線重合；AB )；| AB|a b ，規(guī), 但兩條 平行向量無傳遞性！（因為有0) ；三點 A、 B、 C 共線AB、AC 共線；6 相反向量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。例： 下列命題：（ 1）若 ab ，則 ab 。（ 2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（ 3）若 ABDC，則 ABCD是平行四邊形。（ 4）若 ABCD是平行四邊形， 則 ABDC 。 （5）若 a b,bc ，則 a c

3、。（ 6）若 a/ b,b / c ，則 a / c 。其中正確的是 _二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB ，注意起點在前，終點在后；2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a ， b ， c 等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量i ， j 為基底，則平面內(nèi)的任一向量a 可表示為 axiy jx, y ，稱 x, y 為向量 a 的坐標(biāo)， a x, y 叫做向量 a 的坐標(biāo)表示。如果 向量的起點在原點 ，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么

4、對該平面內(nèi)的任一向量 a，有且只有一對實數(shù)1 、2 ，使 a=121 e 2 e 。例（ 1）若 a(1,1),b (1, 1),c( 1,2) ，則 c_（ 2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. e1(0,0), e2(1, 2)B.e1( 1,2), e2(5,7)C.e1(3,5), e2(6,10)D.e1(2,3),e213( ,)24（3）已知 AD, BE分別是ABC 的邊 BC , AC 上的中線 , 且 ADa, BE b , 則 BC 可用向量a,b 表示為 _（4） ABC ，點 D 在 BC 邊上，CD2DB ，CDr ABs AC ，則 rs 的值 _四

5、實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量 a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下： （ 1）aa ；（ 2）當(dāng)> 0時，a 的方向與 a 的方向相同；當(dāng)< 0時，a 的方向與 a 的方向相反；1 / 6當(dāng) 0時，a 0 。注意 ：a 0。五平面向量的數(shù)量積 ：1 兩個向量的夾角 ：對于非零向量a ， b ，作 OAa, OBb ，AOB0稱為向量 a ， b 的夾角。注： 當(dāng) 0 時， a ， b 同向；當(dāng)時， a ， b 反向；當(dāng)時， a ， b 垂直。22平面向量的數(shù)量積 ：如果兩個非零向量a ， b ，它們的夾角為，我們把數(shù)量 | a |b | cos 叫做 a 與 b 的數(shù)

6、量積（或內(nèi)積或點積） ，記作： ab ，即 ab a b cos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是 0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。例：（ 1） ABC中， | AB |3，|AC|4，| BC |5 ，則 AB BC _（ 2）已知 a(1, 1), b(0,1 ), cakb,dab ， c 與 d 的夾角為，則 k 等于 _224（ 3）已知 a2, b5,a b3 ，則 ab 等于 _（ 4）已知 a, b 是兩個非零向量，且abab ，則 a與ab 的夾角為 _3 b 在 a 上的投影 為 | b | cos ，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。例： 已知 | a |3 ， |

7、 b |5 ，且 a b12 ，則向量 a 在向量 b 上的投影為 _4 a b 的幾何意義：數(shù)量積 ab 等于 a 的模 | a |與 b 在 a 上的投影的積。5 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a ， b ，其夾角為，則： abab 0；a ba b a b22, a2aba b當(dāng)同向時，特別地，a a a aa；當(dāng)與反向時， a b ；當(dāng)為銳角時， ab 0，且 a、b 不同向， a b0是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時， ab 0，且 a、b 不反向， a b0是為鈍角的必要非充分條件 ；非零向量 a ， b 夾角的計算公式： cosa b| ab | | a | b |。 如；

8、a b（ 1）已知 a( ,2) ， b(3,2) ，如果 a 與 b 的夾角為銳角，則的取值范圍是 _（答：4或0 且13）；3（2）已知OFQ 的面積為 S ，且 OF FQ1，若1S3OF, FQ 夾角的取值范2，則圍是 _2（答： (,) ）；43（ 3）已知 a(cos x,sin x),b (cos y,sin y), a 與 b 之間有關(guān)系式kab3 akb ,其中 k 0 ，用 k 表示 a b ；求 ab 的最小值，并求此時a 與 b 的夾角的大?。ù穑?a bk 21 ( k0) ；最小值為1 ，60 ）4k2六向量的運算：1 幾何運算 ：2 / 6向量加法：利用“平行四邊

9、形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè) AB a, BCb ，那么向量 AC 叫做 a 與 b 的和，即a b AB BC AC ；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè) ABa, ACb,那么 a b AB AC CA ，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（ 1）化簡： AB BC CD_； ABAD DC _； ( ABCD ) ( AC BD ) _（答： AD ； CB ； 0）；（ 2）若正方形 ABCD 的邊長為 1， AB a, BCb, ACc ，則 | ab c | _（答：2 2

10、）；（ 3）若 O是 ABC 所在平面內(nèi)一點，且滿足OBOCOB OC2OA ，則 ABC 的形狀為_（答：直角三角形） ；（4）若 D 為ABC 的邊 BC 的中點，ABC 所在平面內(nèi)有一點 P ，滿足 PA BPCP0 ，設(shè)|AP|，則的值為 _|PD|（答： 2）；（ 5）若點 O 是 ABC 的外心，且 OA OBCO0 ，則 ABC 的內(nèi)角 C 為 _（答： 120）；2 坐標(biāo)運算 ：設(shè) a( x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，則： 向量的加減法運算： ab( x1 x2 ， y1y2 ) 。如（ 1）已知點 A(2,3), B(5,4)， C(7,10) ，若 APAB

11、AC(R) ，則當(dāng) _時，點 P 在第一、三象限的角平分線上（答： 1 ）；（ 2）已知 A(2,3), B(1,4), 且 12AB(sin x,cos y) ， x, y(,) ，則 xy222（答：或2）；6（ 3）已知作用在點A(1,1)的三個力 F1 (3,4), F2(2,5), F3(3,1) ，則合力 F F1F2F3 的終點坐標(biāo)是（答：（ 9,1 ） 實數(shù)與向量的積 ：ax , yx ,y。1111若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，則 ABx 2x1 ,y 2y1 ，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。如設(shè) A(2,3),

12、 B(1,5)，且 AC1AB， AD3AB ，則 C、D 的坐標(biāo)分別是 _3117,9)）；（答： (1,),(3 平面向量數(shù)量積 ： abx1x2y1 y2 。 如已知向量 a （ sinx，cosx ）, b （ sinx ， sinx ）,c （ 1，0）。（ 1）若 x，求向量 a 、3c 的夾角；（ 2）若 x 3, ，函數(shù) f (x)ab 的最大值為1，求 的值8423 / 6（答： (1)150 ;(2)1 或2 1）；22 向量的模 ： | a | x2y2x2y2 。 如, a | a |2已知 a, b 均為單位向量，它們的夾角為60，那么 | a3b | _（答：13

13、）； 兩點間的距離 ：若 A x1, y1 , Bx2 , y2 ，則 | AB |x22x1y2如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy 中，xOy60 ，平面上任一點P 關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若 OPxeye，其中 e , e 分別為與 x 軸、 y1212軸同方向的單位向量，則P 點斜坐標(biāo)為 (x, y) 。（ 1）若點P 的斜坐標(biāo)為（ 2， 2），求 P 到 O的距離 PO；（ 2）求以 O為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 xOy 中的方程。（答：（ 1） 2；（ 2）七向量的運算律：1交換律： a bb a ，aa ， a bb a ；y1x22。如y2xy10 ）；2結(jié)合律： ab

14、cabc, abcabc，ababab ；3分配律：aaa,abab ， abcacbc 。如下列命題中：a ( bc)a bac ；a(bc )( ab)c ； (ab)2| a |22 | a | b | | b |2若 a b0 ，則 a0 或 b0；若 a bcb, 則 a22；c ； aa ；a bb； (ab)222b)222a b2。其中正確的是 _2aab ； (aaba（答：）提醒：（ 1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩

15、向量不能相除( 相約 ) ；（ 2 ）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b c)( a b)c ，為什么？八向量平行 ( 共線 ) 的充要條件 ： a / bab(a b)2(| a | b |)2x1 y2y1 x2 0。如(1) 若向量 a( x,1),b(4, x) ，當(dāng) x _時 a 與 b 共線且方向相同（答： 2）；（ 2）已知 a(1,1),b (4, x) ， ua2b ， v2a b ，且 u / v ，則 x_（答： 4）；（3）設(shè)PA( k,12), PB(4,5), PC(10,k)，則時， A,B,C 共線k_（答： 2 或 11）九 向 量 垂 直 的 充 要 條

16、件 ： a ba b 0| a b | | a b |x1 x2y1 y20.特別地( ABAC )( ABAC )。如ABACABAC(1) 已知 OA( 1,2), OB(3, m) ，若 OAOB ，則 m（答：3 ）；24 / 6（2）以原點 O和 A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB， B90 ，則點 B 的坐標(biāo)是 _（答： (1,3)或（ 3， 1）；（3）已知 n( a,b), 向量 nm ，且 nm ，則 m 的坐標(biāo)是 _（答： (b, a)或(b, a) ）十線段的定比分點：1定比分點的概念 ：設(shè)點 P 是直線 P1P2 上異于 P1 、 P2 的任意一點，若存在一個

17、實數(shù)，使PPPP ，則叫做點 P 分有向線段PP所成的比， P 點叫做有向線段PP的以定比為的定比121212分點；2 的符號與分點 P 的位置之間的關(guān)系：當(dāng) P點在線段 P 1P2 上時>0；當(dāng) P 點在線段 P 1 P2的延長線上時< 1；當(dāng) P 點在線段 P2P1 的延長線上時10 ；若點 P 分有向線段 PP12所成的比為，則點 P 分有向線段 P P 所成的比為 1 。如21若點 P 分 AB 所成的比為3 ，則 A分 BP 所成的比為 _47（答：）33線段的定比分點公式：設(shè) P ( x , y ) 、 P ( x , y) ，P(x, y)分有向線段 PP所成的比為，

18、1 112221 2x1x2xx1x22x則1，特別地，當(dāng) 1 時，就得到線段P1 P 2 的中點公式y(tǒng)1y2。在使用定比分y1yy22y1點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確( x, y) ， ( x1, y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(biāo)。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比。如（ 1）若 M（ -3 ， -2 ）， N（ 6，-1 ），且 MP1 MN3，則點 P 的坐標(biāo)為 _（答： ( 6, 7)）；13（ 2）已知 A(a,0), B(3,2 a) ，直線 yMB2，則 a 等于 _ax 與線段 AB 交于 M

19、 ，且 AM2（答：或）十一平移公式：如果點 P( x, y) 按向量 ah, k 平移至P(x , y ) ，則xxh ；曲線yykf ( x, y) 0按向量 ah, k 平移得曲線f (xh, yk) 0 . 注意 ：（ 1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（ 2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如（1）按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，則按向量 a 把點 ( 7,2)平移到點 _（答：（，）；（ 2 ）函數(shù) ysin 2x 的圖象按向量a 平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos 2x1 ，則 a _（答： (,1) ）412、向量中一些常用的結(jié)論：（ 1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（ 2） | a | b | | ab | | a | b | ，特別地，當(dāng)a、b 同向或有 0|