2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義課件(人.

1、2. 4. 1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義Q 預(yù)習(xí)基礎(chǔ)知識/基礎(chǔ)預(yù)習(xí)點撥 歸納核心要點/要點探究歸納） Q 規(guī)范答題思維f答題思維規(guī) 逐 檢測學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)/知能達(dá)標(biāo)演練） 課時提能演練/灤后鞏固作業(yè)）預(yù)習(xí)基礎(chǔ)知識/基礎(chǔ)預(yù)習(xí)點撥輛W目標(biāo)定位、1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.2. 掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律.3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；掌握向量垂直的條件.重點難點、1. 本課重點是平面向量的數(shù)量積的定義.2. 本課難點是平面向量的數(shù)量積的定義及其有關(guān)結(jié)論的應(yīng)用.1.向量的數(shù)量積的定義(1)兩個非零向量的數(shù)量積.已知條件向量m b是非零向量，它們的夾

2、角為8定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量lallblcosO記法a b=|a|IblcosO(2)零向量與任意向量的數(shù)量積.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零.2. 向量的數(shù)量積的幾何意義(1) 投影的概念. 向量b在a的方向上的投影為IblcosO . 向量a在b的方向上的投影為|a|cos6(2) 數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積a b等于a的長度|a |與b在a的方向上的投影|b|cos8 的乘積.3. 向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量3與b都是非零向量，它們的夾角為0 ,(1) ab宜a b=0 |a| |b| ,當(dāng)a, b同向時，(2) 當(dāng)a/7b時，a-b= ,-丨a| |b|,當(dāng)a, b反向時.(

3、3) a a=丨沖或 lal= .a b(4) COS0 = I a II bl (5) |a b| W |a| |b|.4. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a b=b a對數(shù)乘的結(jié)合律(A a) b=A (a b) =a (A b)分配律(a+b) c=a c+b c對于向量,b, c,等式(a b) c=a (b c) 一定成立嗎？ 提示：不一定成立若(ab) cHO,其方向與c相同或相反, a (bc)HO時，其方向與a相同或相反，而a與c方向不一定相 同，故該等式不一定成立.1. 已知I a|=4, |b|= 2血且a與b的夾角為135 ,貝!|a b= 【解析】a b=|a| |b|cos

4、l35 = 4x2/2x(-y-) =-8.答案：-82. 已知a b=12,且|a|=3, |b|=5,貝!|b在a方向上的投影為 【解析】設(shè)a與b的夾角為0 ,則b在a方向上的投影為I b | cos0 = = 4.|a|3答案：4知識點撥、1. 向量的數(shù)量積的書寫方法書寫向量a與b的數(shù)量積a b時，符號“ ”既不能省略，也不 能用“ X ”代替.2. 兩個向量的數(shù)量積與兩個實數(shù)的積的區(qū)別(1) 在實數(shù)中，若aHO,且ab=O,則b=O；但是在數(shù)量積中，若aHO,且a b=O,不能推出b=O.因為其中cos8有可能為0已知實數(shù)a, b, c (bHO),則ab=bc 沐a=c但是a b=b

5、 c推不出a=c理由如下：如圖,a b=|a| |b|cosp=Ib|OA|,b c=|b|c|cosa = |b|0A|, 所以a b=b c但是aHc.3. 正確理解“投影”的概念(1) 投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可 為零.(2) 夾角與投影的聯(lián)系向量a與b都是非零向量，它們的夾角為B ,向量b在a的方向上的投影Ib|cos0與0取值的關(guān)系如表.e的取值0TT(0,|)It2投影的值Ibl-Ibl正值負(fù)值零/BA a JVBbaBA0(0)A歸納核心要點/要點探究歸納類型一【技法點撥】向量數(shù)量積的概念平面向量數(shù)量積的正確理解(1)學(xué)習(xí)向量數(shù)量積定義要借助物理學(xué)中力所做

6、的功來加深理解(2)兩向量的數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量而非向量，它可正可負(fù)還可能為0,這由兩向量夾角的余弦值來決定.(3) 兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種運(yùn)算,與實數(shù) 乘實數(shù)，實數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是有區(qū)別的，在書寫時 一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開來，不可混淆.【典例訓(xùn)練】1. 有下列說法a 0=0；0 (3)0-AB=BA: | a b| = |a| |b|；(a b)2=a2 b2； a與b是兩個單位向量，則a2=b2 ； 若a丄(b-c),貝！ b=a c,其中正確說法的個數(shù)是() 1(B)2(03(D)42. (2012 荊州高一檢測)在等腰ZkABC中，AB=AC=2, ZACB = -,6D

7、是BC的中點，則頤在西方向上的投影是【解析】1選C.錯誤，a0=0;錯誤，0a = 0;正 確，0-麗=麗:；錯誤，若a與b不共線，則不成立實際 上，| a b| = |a| |b| |cos 0 I;#(a b) 2=(|a| |b|cos 6 ) 2-|a|2|b|2|cos 0 |2;正確，a與b 是兩個單位向量，則a2=|a| 2=1, b2=|b|2=l, ita2 - b2;正確，若a丄(b-c),則a (b-c) =a b-a c=0,所以a b=a c.綜上知，正確.2如圖所示，作向量bE=CD,則BAjCD的夾角為ABE = tt- = , 所以BACD方向上的投影為【總結(jié)】

8、解答題1容易出現(xiàn)的錯誤及解答題2的關(guān)鍵. 提示：（1）解答題1容易將兩個向量的數(shù)量積、實數(shù) 乘以實數(shù)、數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算法則混淆，出現(xiàn)誤認(rèn)為 ，正確的情況.解答題2的關(guān)鍵是求準(zhǔn)向量BAjCD的夾角.（g）類型二_ 數(shù)量積的基本運(yùn)算【技法點撥】求平面向量的數(shù)量積的一般步驟【典例訓(xùn)練】1. （2012 西安高一檢測）若, e?是夾角為|且a=2e1+e2, b=-3e1+2e2,貝！ b=.2. （2012 -湖南高考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP丄BD,垂足為P,且AP=3,則麗疋=.3. 已知AABC是等邊三角形，其邊長為2,設(shè) 阮=a,pT =b, 麗=c, 求a b+b c+c a.

9、【解析】1.由已知得I ej | = |e2|=l,引 e2=leil le2l/.a b=(2C+e2)nilcos= lxlx =.322 (3e1+2e2)=_6e2+e e2+2e2 麗走=?(AP+PB +AP + PD) = 2|ap|2 +AP PB + AP PD=2X9+0+0=18.答案：18= -6xl2 + i + 2xl22 2答案：2原式3.如圖,a與b, b與c, a與c夾角均為120。,I a I I c|cosl20=2 x 2 x / lx 3=_6.2【思考】(1)題1中是否可以類比多項式乘多項式的運(yùn)算律進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算？(2)題2中計算XR AC時的

10、轉(zhuǎn)化原則是什么？題3中直線BC與AC的夾角與向量c5CA的夾角相同嗎？ 提示：可以根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，可以類比多項 式乘多項式的運(yùn)算律進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算.但要注意數(shù)量 積的定義和a I a |2的應(yīng)用.(2)用向量線性運(yùn)算的幾何意義轉(zhuǎn)化為已知夾角的兩個(或多個) 向量之間的數(shù)量積問題.(3)直線BC與AC的夾角與向量 葩與巫 的夾角不相同直線 BC與AC的夾角的補(bǔ)角才是向量 阮與巫的夾角找兩個向量 的夾角時，讓它們的起點相同，才可以找出它們的夾角.(g)類型三亠與向量的模有關(guān)的問題【技法點撥】1 求向量的模的常見思路2. 利用a2=|a|2,可以實現(xiàn)實數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.【典例訓(xùn)

11、練】1設(shè)向量a, b滿足|a| = |b|=l, a b=-l,貝！|a+2b| = （）2 V2（B） V3（0 V5（D） V72. （2012 -新課標(biāo)全國高考）己知向量a, b夾角為45 ,且|a|=l, |2ab|=皿貝|b|二.3. 已知向量a, b滿足|a|=2, |b|=3, |a+b|=4,求|a-b|,【解析】1選Bl2brj/+仙b + 42 =71-2 + 4 = 73.2. Va, b的夬角為45 , |a|=l,/.a b=|a| x |b|cos45 返|b|,12a-b12-4-4 x 2|b| + |b|2-10,2lbI-372.答案:32【思考】求向量的模

12、的基本思路是什么？提示：求向量的模是向量運(yùn)算問題中的常見題型，解答這 類問題時，可考慮先求向量的平方，應(yīng)用向量的運(yùn)算公 式、法則求出其平方值，然后再利用公式|a|2=a2,將其兩 邊開平方即可求得該向量的模.類型四、兩個向量的夾角和垂直問題【技法點撥】求向量a, b的夾角6的思路(1) 求向量的夾角的關(guān)鍵是計算a-b及|a|, |b|,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cose =最后借助8 lallblo,tt ,求出e值.(2) 在個別含有l(wèi)ah |b|與ab的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cos8的值.【典例訓(xùn)練】1. 已知 |a| =1, a b = l, (a-b) (a+b)=

13、a+b與a-b的夾角為2 2e ,貝ijcose的值為2. (2012 -石家莊高一檢測)已知向量a, b,且|a|=l, |b|=2,(a+2b)丄(3a-b),(1) 求向量n與b夾角的大??；(2) 求 | a-2b | 的值.【解析】1. V (a-b) (a+b)= 1, /.lap- |b|2= 1,2 2 又|a| - 1, |b| - V22+b| = Va2+b24-2aJ=Li 小 i/ioJ1k 2x=,V . 222gbl = Va2+b2-2bV 222c歸=(_b片+ b)Q =|a-b|a + b|V10 V25 -答案：並2 252.解題流程:設(shè)向量a與b的央角為

14、0060 ,所以向量a與b的央角為60。由已知得(a+2b ) ( 3a-b ) =3a2+5a b-2b2aas3+10cos 0 -8=0-所以 cosO = -,又0 6 a b=0.【規(guī)范訓(xùn)練】(12分)已知非零向量a, b滿足a+3b與7a-5b 互相垂直，a-4b與7a-2b互相垂直，求a與b的夾角.【解題設(shè)問】(1)根據(jù)已知條件可以得到哪些等量關(guān)系？(a+3b) (7a-5b) =0及(a-4b) (7a-2b)=0 求向量a與b的夾角關(guān)鍵是求出哪些量？a b, lai和 I b I 【規(guī)范答題】由已知條件得(a + 3b) (7a-5b) = O, 3分(a 4b)L(7a 2

15、b) = 0,即 pa2 + I6a7b-15b2 = O,7a2-30ab + 8b2 = 0, 6分-得23b2-46a b=0, / 2a bTA 代入得a2=b2,lahlbl, 6 0, tt, /. 0= i38分10分 12分檢測彰學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)/知能達(dá)標(biāo)演練e1. 有下列說法,其中正確的是()(A) 若aHO,則對任意bHO,有abHO(B) 若a b=0,貝!|a, b中至少有一個為0(C) |a b |表示向量 b的長度(D) b在a方向上的投影可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，還可以為0【解析】選D.A, B都是錯誤的因為不但零向量與任意向量的 數(shù)量積為0,而且互相垂直的兩個非零向量數(shù)量積為0.C錯誤， 因為ab是數(shù)量，lab|表示其絕對值.D是正確的.2. 已知|a | =a, | b | =b, a與b的夾角是6 ,貝!|