同濟(jì)大學(xué)大一_高等數(shù)學(xué)期末精彩試題_(精確問題詳解)

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔課程名稱：高等數(shù)學(xué)試卷類別： A 卷 考試形式：閉卷 考試時(shí)間： 120 分鐘閱卷須知：閱卷用紅色墨水筆書寫， 小題得分寫在每小題題號(hào)前， 用正分表示，不得分則在小題大題得分登錄在對應(yīng)的分?jǐn)?shù)框內(nèi)；考試課程應(yīng)集體閱卷，流水作業(yè)。課程名稱：高等數(shù)學(xué) A (考試性質(zhì)： 期末統(tǒng)考( A 卷)、單選題(共 15 分，每小題 3 分)fy(x0,y0) 都存 在， 則1設(shè)函數(shù) f(x,y) 在 P(x0,y0)的兩個(gè)偏導(dǎo) fx(x0,y0) ，( )A f (x,y) 在 P 連續(xù)Bf (x,y)在P可微C limf (x, y0) 及 limf (x0,y) 都存在D lim(x0 ,y0 )f

2、 (x,y) 存在x x0y y0(x,y)2若ln xzy，則 dz 等于()A.lnxy ln yln xy ln ylnxB.ylnxln yxyxln xln xln xC.lnxyln ydxy ln ydyy ln yD. dxy lnx dyxxy23 設(shè) 是圓柱面 x22y2 2x 及平面 z 0,z 1所圍成的區(qū)域，則A.B.f(x, y, z)dxdydz)2d02d2cos 1dr f(r cos ,rsin ,z)dz2cos 1rdr f (rcos ,r sin ,z)dz000C.2d2cos 1rdr f(r cos ,rsin ,z)dz標(biāo)準(zhǔn)文檔2cosx1D

3、. d rdr f(rcos ,rsin ,z)dz0 004 4若an(x 1)n 在 xn11處收斂，則此級數(shù)在 x 2 處（）A 條件收斂B 絕對收斂C 發(fā)散 D 斂散性不能確定5 曲線 x y 2 z 22在點(diǎn)（ 1，1，2）處的一個(gè)切線方向向量為（）z x yD. ( 3，A. （ -1 ，3 ，4）B.（ 3，-1 ，4 ）C. （ -1 ，0 ，3）0，-1）、填空題（共 15 分，每小題 3 分）x 2y 2xyz 0zx (1,1).eln x2交 換 I1 dx 0 f (x, y)dy 的積分次序后， I _23設(shè)u 2xy z2 ，則u在點(diǎn) M(2, 1,1)處的梯度為

4、n xx4. 已 知 e ， n 0 n!xe5. 函數(shù) z x3 y3 3x2 3y2 的極小值點(diǎn)是三、解答題（共 54 分，每小題 6-7 分） yz z1.（本小題滿分 6 分）設(shè) z y arctan , 求 , . xx y2 2 22.（本小題滿分 6 分）求橢球面 2x2 3y2 z2 9 的平行于平面 2x 3y 2z 1 0 的切平面方程，并求切點(diǎn)處的法線方程3. （本小題滿分 7 分）求函數(shù) z x2y2在點(diǎn) (1,2)處沿向量 lr 1ri2j 方向的方向?qū)?shù)。4. （本小題滿分 7 分）將 f （x）1 展開成 x 3 的冪級數(shù)，并求收斂域。 x5(本小 題滿分 7 分

5、)求 由方程 2x2 2y2 z2 8yz z 8 0 所確定 的隱函 數(shù)z z(x, y) 的極值。6（本小題滿分 7 分）計(jì)算二重積分（x2 y2）d ,D由曲線 x1 y2, y1,y 1D及 x 2 圍成 .7. （本小題滿分 7 分）利用格林公式計(jì)算xy2dy x2ydx，其中 L 是圓周 x2 y2 a2按逆時(shí)針方向）228.（本小題滿分 7 分）計(jì)算 xydxdydz ，其中是由柱面 x2 y2 1及平面z 1,x 0,y 0 所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域 .四、綜合題（共 16 分，每小題 8 分）1(本小題滿分 8 分)設(shè)級數(shù)un, vn 都收斂，證明級數(shù)(un vn)2 收斂

6、。n 1 n 1 n 12(本小題滿分 8 分)設(shè)函數(shù) f (x,y)在 R2內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且2x，x證明曲線積分2xydx f (x, y) dy與路徑無關(guān)若對任意的 t 恒有(t,1)(0,0)2xydxf (x,y)dy(1,t)(0,0)2xydxf ( x, y)dy ，求 f (x, y) 的表達(dá)式參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)、單選題（共 15 分，每小題 3 分）： 1.C 2 D3 C 4B 5 A、填空題（共 15 分，每小題 3 分）1 e ( 1)n xn 11.-1 2. I0dy ey f(x,y)dx 3. 2i 4 j 2k 4 5. (2,2)0 e n 0 n!

7、三、解答題（共 54 分，每小題 6-7 分）21解： z2 y 2 ; (3 分)x x yz = arctan y + 2 xy 2( 6 分 ).y x x2 y2r 2x 3y z2. 解：記切點(diǎn) (x0, y0,z0) 則切平面的法向量為 n 2(2 x0 ,3 y0, z0 )滿足： 0 0 02 3 2切點(diǎn)為： （1,1,2)或(1,1, 2) (3 分)，切平面：2x 3y 2z 9or 9 ( 4 分 )，法線方程分別為：x12y13z22或者x21y13z22( 6 分)3. 解：f (1,2)(2,4)( 3 分),f (1r,2) 1 2 3( 7 分)4. 解：f(x

8、)(x 3)(x33)( 2 分)因?yàn)閚n( 1)n xn011x1,1),所以131(x133)n0( 1) 13 (x33)n=(n01)n(31)n1(x3)n ,其中x331 ，即 06.( 5 分 )當(dāng)x0時(shí)，級數(shù)為11 發(fā)散； n 0 36時(shí)，級數(shù)為110( 1)n 13發(fā)散,故 1x=( 1)n(1)n1(x 3)n，x (0,6)， ( 7 分) n 0 3x5. 解： 由z4x1 2z 8y4(y 2z)12z 8y, 得到02z 0, ( 2 分)再代入 2x2 2y2z2 8yzz 8 0，得到7z28z 8 0 即 z 1, 。7由此可知隱函數(shù)z(x,y) 的駐點(diǎn)為(0

9、,2)與(0, 176) 。 ( 4 分)2由 2zx41 2z 8y0，在 (0,2) 點(diǎn)， z分)在 (0, ) 點(diǎn)， z( 7 分)6.解：記 D1 :(x2D7.解：8.xy2z2y1 2z 8y，可知在駐點(diǎn) (0, 2) 與(0,176)有H0。( 5 分)1，因此8 ，因此7y2)dL 所圍區(qū)域 D ：( (xy2)x解：如xydxdydz2z2x2z2xD2:(xD111dy( x2 y)dxdy= y圖，選4 0 ，所以 (0, 2) 為極小值點(diǎn)，極小值為1515yy2)d2(x222ya1； ( 60，所以 (0, 16 )為極大值點(diǎn)， 極大值為則 D D1D2.( 2 分)

10、(x2D2y2)dx)d( 4 分)8，732d21r3dr2037 分),由格林公式，可得(x2 y2 )dxdy = D取柱面坐標(biāo)系計(jì)算方2101r cos rsin2 1 sin2 d 1r 3dr = ( cos2 )1412r2 sin2 d r dr = ( )20 2 0 40 4 01. (7 分)8xydyx2 ydx =2d,此rdr ( 4 分 )rdr時(shí)，:04 .(7 分 )0r1, , 所 以21,四、綜合題（共 16 分，每小題 8 分）1證明：因?yàn)?lim un 0,lim vn 0，（2 分） nn2 2 2 2故存在 N，當(dāng) n N時(shí)， （un vn）2 un2 vn2 2unvn 3un ，因此（un vn ）2收斂。（ 8n1分）2證明：因?yàn)?f2x，且 （2xy） 2 x ，故曲線積分2xydx f（x,y）dy 與路徑無關(guān)（4x y L分）因此設(shè)f(x,y) x2g（y），從而( t,1)t1 2212xydx(0,0)f(x,y)dy 0 0d