專題2.6以二次函數(shù)與特殊四邊形問題為背景的解答題(原卷版)

1、請直接寫出P點坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由pi (2, 6),P2 (2, 6)第六關(guān)以二次函數(shù)與特殊四邊形問題為背景的解答題【總體點評】 二次函數(shù)在全國中考數(shù)中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)競賽中也有二次函數(shù)大題，很多生在有限的時間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大中很多數(shù)知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想 有關(guān)，生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)的習(xí)。二次函數(shù)與特殊平行四邊 形的綜合問題屬于初中階段的主要內(nèi)容，其主要涉及：二次函數(shù)的表達(dá)式、二次函數(shù)動點問題的討論、特 殊平行四邊形的性質(zhì)(主要包括線段之間的關(guān)系、角度的大小等等)。在中考中，往往作為壓軸題的形式 出現(xiàn)，也

2、給很多中生造成了很大的壓力?！窘忸}思路】以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點，其圖形復(fù)雜，知識覆蓋 面廣，綜合性較強(qiáng)，對生分析問題和解決問題的能力要求高對這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形， 再依據(jù) 平行四邊形的一組對邊平行且相等 或 平行四邊形的對角線互相平分 來解決.【典型例題】1 2【例1】如圖，二次函數(shù)y X2 bx C的圖象經(jīng)過A(2 , 0), B (0, -6)兩點. 2(1) 求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標(biāo)；(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C,連接BA , BC,求ABC的面積.(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P.使得以0、B、C、P四點為頂點的

3、四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在,解析試題分析：(1)題利用待罡系姍折出解析式(2) 臥為三角形的底，0E為三角形的高，求出三角形的底與高就可臥求出三角形面積;(3) 分兩種情況討論即可.試趣解析；解； 將衛(wèi)2, 3、丘(0> -6)兩點代入那么；fr=4,解得二1 1 、二解析式為 V*- x-4r- 66- - - I jf 4 + 2、-頂點坐標(biāo)為：(4, 2);1(2) 令x2+4x-6=0,. x2-8x+12=0，二解得：Xi=2, x2=6，另一個交點 C (6, 0),21 AC=2 , Szabc= X2 >6=6 ;2(3) 存在分兩種情況討論： 顯然過B作BP/

4、OC交對稱軸于點P,那么四邊形OBPC是矩形，此時P(2, - 6);過O作OP / BC交對稱軸于點 P,：OB/ PC,.四邊形 OBCP是平行四邊形， CP=OB=6,. P(2, 6).【名師點睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的判定方法，解題的關(guān)鍵是把點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于b、c的方程組.再依據(jù) 平行四邊形的一組對邊平行且相等或平行四邊形的對角線互相平分 來解決.4【例2】如圖1 (注：與圖2完全相同)，二次函數(shù) y= 3x2+bx+c的圖象與X軸交于A (3, 0), B (- 1, 0)兩點，與y軸交于點C.(1) 求該二次函數(shù)的解析式；(2) 設(shè)該

5、拋物線的頂點為 D，求AACD的面積(請在圖1中探索)；(3) 假設(shè)點P, Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿 AB , AC邊運(yùn)動，其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)P, Q運(yùn)動到t秒時，AAPQ沿PQ所在的直線翻折，點 A恰好落在拋物線上E點處，請直接判定此時四邊形 APEQ的形狀，并求出 E點坐標(biāo)(請在圖2中探索).-lOC<-048529【答案】(1) y=3x2- 3x-4;( 2)4;( 3)四邊形APEQ為菱形，E點坐標(biāo)為(-8, - 16).理由詳見解析【解析】4試題分析：(1 )將A , B點坐標(biāo)代入函數(shù) y= 3 x2+bx+c中，求得b、c

6、,進(jìn)而可求解析式；(2)由解析式 先求得點D、C坐標(biāo)，再根據(jù) Saacd=S梯形aomd - Sacdm - Saaoc，列式計算即可；(3)注意到P， Q運(yùn)動速 度相同，那么AAPQ運(yùn)動時都為等腰三角形，又由A、E對稱，那么AP=EP , AQ=EQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形利用菱形對邊平行且相等的性質(zhì)可用t表示E點坐標(biāo)，又E在E函數(shù)上，所以代入即可求 t,進(jìn)而E可表示.4試題解析：(1廠二次函數(shù)y= 3 x2+bx+c的圖象與x軸交于A (3, 0), B (- 1, 0),V+ e - 03*xl-i* + c 二 0b解得：c48二 y= 3 x2- 3 x - 4 ；(2) 過點

7、D作DM丄y軸于點 M ,48416 y= 3x2- 3x - 4= 3 (x- 1) 2- 3 ,16點 D (1,- 3 )、點 C (0, - 4),那么 Saacd =s 梯形 aomd - Sacdm - Saaoc = 2 x (1+3) x 3 - 2 x ( 3 - 4)X1- 2 X3 用=4 ；5 29(3) 四邊形APEQ為菱形，E點坐標(biāo)為(-8 , - 16 ).理由如下如圖2, E點關(guān)于PQ與A點對稱，過點 Q作，QF丄AP于F,/ AP=AQ=t , AP=EP , AQ=EQ AP=AQ=QE=EP ,四邊形AQEP為菱形， FQ / OC,AFFQAQAOOCA

8、C ,AFFQt34534二 AF= 5t, FQ= 5 t34二 Q (3 - 5 t, - 5 t),/ EQ=AP=t ,34二 E (3 - 5 t - t, - 5 t),48 E 在二次函數(shù) y=3x2- 3x - 4 上，4 4888- 5 t= 3 (3 - 5t) 2 - 3 (3 - 5t)- 4,145二t= 64，或t=0 (與A重合，舍去)，529二 E (- 8 , - 16 )考點：二次函數(shù)綜合題.【名師點睛】 此題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、求三角形的面積、菱形等知識，總體來說題意復(fù)雜但解答內(nèi) 容都很根底，是一道值得練習(xí)的題目.【例3】如圖，二次 函數(shù)y= - x2+b

9、x+c (其中b, c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點 A (3, 1)，點C (0, 4), 頂點為點M,過點A作AB / x軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B ,連結(jié)BC .(1) 求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標(biāo).(2) 假設(shè)將該二次函數(shù)圖象向下 平移m ( m>0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在ABC的 內(nèi)部(不包括 AABC的邊界)，求 m的取值范圍.(3) 沿直線AC方向平移該二次函數(shù)圖象，使得CM與平移前的CB相等，求平移后點 M的坐標(biāo).(4) 點P是直線AC上的動點，過點P作直線AC的垂線PQ,記點M關(guān)于直線PQ的對稱點為 M .當(dāng)以P的坐標(biāo).點P、A、M、M為頂

10、點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點【答案】(1) y=- x2+2x+4,( 1, 5);(2) 2V mv4; (3)( 3, 3)或(1, 7) ; (4)( 1, 3)或(3, 7).【解析】試題 分析：(1)利用待定 系數(shù)法，求二次函數(shù)解析式 .(2)先求出AC直線解析式，平移后頂點AC下方，AB上方，在求出坐標(biāo)的范圍.(3)當(dāng)y=1時，-x2+2x+4=1，解得x= - 1或3,利用MM / AC,可得平 移后的M的坐標(biāo).(4)連接MC, MM交PQ于F,設(shè)出各點坐標(biāo)，那么四邊形 CMFP是矩形，當(dāng)四邊形9 3b cc 41b，解得cPAM M是平行四邊形時，分別求出P的坐標(biāo)為(1

11、, 3)或(-3, 7). 試題解析：解：(1)把點A (3, 1),點C (0, 4)代入二次函數(shù)y= - x2+bx+c得二次函數(shù)解析式為 y二-x2+2x+4 ,配方得 y=-( x- 1) 2+5,點M的坐標(biāo)為(1, 5).3k b 1(2) 設(shè)直線AC解析式為yWb，把點A( 3，1)，C (0，4)代入得 b 4解得：k1b 4，直線AC的解析式為y二-x+4,如下圖，對稱軸直線 x=1與ABC兩邊分別交于點 E、點F,把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)= - x+4解得y=3，那么點E坐標(biāo)為1, 3,點F坐標(biāo)為1, 1,點M向下平移m個單位后，坐標(biāo)為1, 5 - m,由題意：1 <

12、;5 - mv3,解得2v mv4;二 2< mv 4.二B (- 1, 1),x= 1 或 3,C (0, 4),二 BC= .12 32 而 / MM II AC, CM=710,M (1 , 5), M 的坐標(biāo)為3, 3或-1, 7,平移后點 M的坐標(biāo)3, 3或-1 , 7.4如圖，連接 MC, MM交PQ于F，那么四邊形CMFP是矩形,O'XT當(dāng)四邊形 PAM M是平行四邊形時,PA二MM =2MF=2PC,設(shè)P ( m,- m+4),那么有,2 (3 m) =2 J2 m,m=1,- P (1, 3),當(dāng)P' AMM是平行四邊形時，易知 AP=2CP,二、2 (

13、3 m) =2?. 2 ( m),解得m= 3,- P ( 3, 7),綜上所述，滿足條件的點 P的坐標(biāo)為(1, 3)或(-3, 7).【名師點睛】1求二次函數(shù)的解析式(1 )二次函數(shù)過三個點，利用一般式，y= ax2 + bx+ c ( a 0) 列方程組求二次函數(shù)解析式 二次函數(shù)與 x軸的兩個交點(x1,0) (x2,0)，禾U用雙根式，y= a x xi x x2 ( a 0)求二次 函數(shù)解析式，而且此時對稱軸方程過交點的中點，x 兇 立.22二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，利用頂點式y(tǒng) a x h k , ( a 0)求二次函數(shù)解析式.(X1,y) (X2, y)，那么可(4) 條件中a, b,

14、c,給定了一個值，那么需要列兩個方程求解以得到對稱軸方程 xx,x22 .(5)條件有對稱軸，對稱軸也可以作為一個方程；如果給定的兩個點縱坐標(biāo)相同2處理直角坐標(biāo)系下，二次函數(shù)與一次函數(shù)圖像問題：第一步要寫出每個點的坐標(biāo)(不能寫出來的，可以用字母表示)，寫點坐標(biāo)的過程中，經(jīng)常要做坐標(biāo)軸的垂線，第二步，利用特殊圖形的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，找出不同點間的關(guān)系如果需要得到一次函數(shù)的解析式，依然利用待定系數(shù)法求解析式【方法歸納】這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個 定點，用動點坐標(biāo) 用字母表示分別設(shè)出余下所有動點的坐標(biāo) (假設(shè) 有兩個動點，顯然每個動點應(yīng)各選用一個參數(shù)字母來用字母表示"出動點坐標(biāo)

15、)，任選一個點作為對角線的起點，列出所有可能的對角線(顯然最多有3條)，此時與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了，然后運(yùn)用中點坐標(biāo)公式，求出每一種情況兩條對角線的中點坐標(biāo)，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合， 其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出兩個方程，求解即可。進(jìn)一步有： 假設(shè)是否存在這樣的動 點構(gòu)成矩形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證兩條對角線相等否？假設(shè)相等， 那么所求動點能構(gòu)成矩形，否那么這樣的動點不存在。 假設(shè)是否存在這樣的動點構(gòu)成棱形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊相等否？假設(shè)相等，那么所求動點能構(gòu)成棱形，否那么這樣的動點不存在。 假設(shè)是否存在這樣的 動點構(gòu)成正方形呢？先 讓動點

16、構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊是否相等？和 兩條對角線是否相等？假設(shè)都相等，那么所求動點能構(gòu)成正方形，否那么這樣的動點不存在?！踞槍毩?xí)】A (6, 0)和 B (0, 4)(2)設(shè)點E (x, y)是拋物線上一動點，且位于第一象限，四邊形 OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形, 求平行四邊形 OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 當(dāng)(2)中的平行四邊形 OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形 OEAF是否為菱形.2 .如圖，拋物線 y=ax2 2x+c (a和)與x軸、y軸分別交于點 A , B , C三點，點 A ( 2, 0),點C(0, 8)，點D是拋物線的頂點.(2)

17、如圖1拋物線的對稱軸與 x軸交于點E,第四象限的拋物線上有一點P,將AEBP沿直線EP折疊,使點B的對應(yīng)點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標(biāo)；(3) 如圖2,設(shè)BC交拋物線的對稱軸于點 F,作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內(nèi)一點, 當(dāng)以點B，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標(biāo).23.如圖，拋物線y ax bxc過點A (- 3,0),B (- 2,3),C(0,3)，其頂點為 D.(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)點M (1, m),當(dāng)MB+MD的值最小時，求 m的值；(3) 假設(shè)P是拋物線上位于直線 AC上方的一個動點，求 AAPC的面積的最大

18、值；(4) 假設(shè)拋物線的對稱軸與直線 AC相交于點N, E為直線AC上任意一點，過點E作EF / ND交拋物線于點F，以N, D, E, F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？假設(shè)能，求點E的坐標(biāo)；假設(shè)不能，請說明理由.C坐標(biāo)為(0, 6),點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為 E,連接BD .C與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,點B坐標(biāo)為(6, 0),點(1 )求拋物線的解析式及點 D的坐標(biāo)；(2 )點F是拋物線上的動點，當(dāng)/ FBA= / BDE時，求點F的坐標(biāo)；(3) 假設(shè)點M是拋物線上的動點，過點 M作MN / x軸與拋物線交于點 N，點P在x軸上，點Q在坐標(biāo)平 面內(nèi)，以線段

19、 MN為對角線作正方形 MPNQ，請寫出點Q的坐標(biāo).25 .如圖1,拋物線y ax bx 2與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C , AB 4，矩形OBDC的邊 CD 1,延長DC交拋物線于點E .(1) 求拋物線的表達(dá)式；(2) 如圖2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點 P作y軸的平行線交直線 EO于點G，作 PH EO，垂足為H 設(shè)PH的長為I，點P的橫坐標(biāo)為m，求I與m的函數(shù)關(guān)系是(不必寫出 m的取值范圍)，并求出I的最大值；(3) 如果點N是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點M，使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，直接寫出所有滿足條件的M的坐標(biāo)；

20、假設(shè)不存在，請說明理由6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,2拋物線y ax bx 1交y軸于點A ,交x軸正半軸于點B(4,0),與過 A5點的直線相交于另一點D(込)，過點D作DC x軸，垂足為C.(1) 求拋物線的表達(dá)式；(2) 點P在線段0C上(不與點0、C重合)，過P作PN x軸，交直線AD于M，交拋物線于點N , 連接CM，求 PCM面積的最大值;(3) 假設(shè)P是x軸正半軸上的一動點，設(shè) op的長為，是否存在，使以點 M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請說明理由7 如圖，拋物線 y ax2 bx c過點A( 1,0) , B(3,0), C(0,3)

21、.點M,N為拋物線上的動點，過點(2)過點N作NF(3)假設(shè) DMN 900,MD MN，求點M的橫坐標(biāo).x軸，垂足為點F 假設(shè)四邊形MNFE為正方形(此處限定點 M在對稱軸的右側(cè))，求該正方形的面積;8.如圖，是將拋物線 yX2平移后得到的拋物線，其對稱軸為x 1，與x軸的一個交點為 A( 1,0)，另(2) 假設(shè)點N為拋物線上一點，且 BC NC，求點N的坐標(biāo)；33OAPQ為平行四邊形,(3) 點P是拋物線上一點，點 Q是一次函數(shù)y -x的圖象上一點，假設(shè)四邊形2 2這樣的點P、Q是否存在？假設(shè)存在，分別求出點P、Q的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說明理由.與y軸交于點C，且9 .如圖，拋物線y ax

22、2 bx 3經(jīng)過點 A 2, 3，與x軸負(fù)半軸交于點 B ,OC 3OB.(1) 求拋物線的解析式；(2) 點D在y軸上，且 BDO BAC，求點D的坐標(biāo)；N為頂點的四邊形是平(3 )點M在拋物線上，點 N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A , B , M ,行四邊形？假設(shè)存在。求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.，直線AB交y軸于點10 .：如圖直線 y=_x+2與拋物線y=ax2交于A . B兩點，點B的坐標(biāo)(3, m)(1 )求a, m的值；(2) 點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，設(shè) P點橫坐標(biāo)為t, PAB的面積為s,求s與t的函數(shù)關(guān)系式；(3) 在(2)的條件下，在 x

23、軸上有一點 Q,當(dāng)以B . C. P. Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點Q 的坐標(biāo).11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)卜=畝+加+ c的圖像與圮軸交于百、兩點，與軸交于亡點，點小町是拋物線頂點，點 是直線.下方的拋物線上一動點.QL)這個二次函數(shù)的表達(dá)式為 .(J設(shè)直線"的解析式為X - .-：. ；：產(chǎn)，那么不等式 一 一 _ 一 的解集為 .(即 連結(jié)poc,并把也pm沿初翻折，得到四邊形pop© 那么是否存在點p,使四邊形popy為菱形? 假設(shè)存在，請求出此時點 p的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.申)當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時，求出此時點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.(5) 假設(shè)把條件 點P是直線月£下方的拋物線上一動點.改為點P是拋物線上的任一動點 其它條件不變,12. 如圖，矩形 OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點 A的坐標(biāo)為(10, 0),拋物線y=ax2+bx+4過點B , C兩點, 且與x軸的一個交點為 D (- 2, 0)，點P是線段CB上的動點，設(shè) CP=t (0 v t v 10).(1) 請直接寫出B、C兩點的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2) 過點P作PE丄BC,交拋物線于點 E,連接