高等數(shù)學(xué) 張明望 D8_8多元函數(shù)的極值與最值

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值 二、二元函數(shù)的最值二、二元函數(shù)的最值 三、條件極值三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f (x , y)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x , y)在點(diǎn)在點(diǎn)( x0, y0)有極大值有極大值(或極小值或極小值)f (x0 ,y0),點(diǎn)點(diǎn)( x0, y0)稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (x , y)的極大值點(diǎn)的

2、極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)或極小值點(diǎn)) .),(),(00yxfyxfP0( x0, y0)為為D的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn).若存在若存在P0的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域 ,0DPU使得對(duì)于該鄰域內(nèi)使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于異于P0的任何點(diǎn)的任何點(diǎn)( x , y)，都有，都有00,yxfyxf或目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如 :在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極小值有極小值;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極大值有極大值;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 無極值無極值.2243yxz22yxzyxz xyzOxyzOxzyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:0),(,0),(0000yxfyxfyx且在該點(diǎn)取得極值且在該點(diǎn)

3、取得極值 , 則有則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)具有具有不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極大值處有極大值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,在該鄰域內(nèi)取在該鄰域內(nèi)取的點(diǎn)而00 xxyy有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如例如

4、, 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取得極值但在該點(diǎn)不取得極值.yxz 推廣推廣 如果三元函數(shù)如果三元函數(shù)),(zyxfu 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),(000zyxP有極值的必要條有極值的必要條件為件為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時(shí)時(shí), 具有極值具有極值的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令令則則: 1) 當(dāng)當(dāng)A0 時(shí)取極小值時(shí)取極小值.2) 當(dāng)當(dāng)3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 沒有極

5、值沒有極值.時(shí)時(shí), 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.若函數(shù)若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC又又目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值.具

6、有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f (x , y)的極值的求法：的極值的求法：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求函數(shù)求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn)得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0) 處處為極小值為極小值; ;解方程組解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值. .求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxy

7、xf933),(2233目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(diǎn)在點(diǎn)( 3,0) 處處不是極值不是極值; ;在點(diǎn)在點(diǎn)( 3,2) 處處為極大值為極大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2) 處處不是極值不是極值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 將方程兩邊分別對(duì)將方程兩邊分別對(duì)yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1(

8、P,將將上上方方程程組組再再分分別別對(duì)對(duì)yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),解解例例2.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；函數(shù)在函數(shù)在P有極值有極值 .有有所以所以為極大值為極大值 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)函數(shù) f 在有界閉域上連續(xù)在有界閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí)時(shí), )

9、(Pf為極小值為極小值)(Pf為最小值為最小值( (大大) )( (大大) )依據(jù)依據(jù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，xyo6 yxD解方程組解方程組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得區(qū)域得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點(diǎn)內(nèi)唯一駐點(diǎn))1 , 2(, 再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo6 yxD 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為最大值為最大值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.,64)2 , 4( f得得4, 021 xx, 2|64 xxy由由 02)6

10、(42 xxxfx,于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 2( , )(4)f x yx yxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 設(shè)水箱長(zhǎng)設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為則水箱所用材料的面積為令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水的有蓋長(zhǎng)方體水箱箱,問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省才

11、能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為高為時(shí)時(shí), 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條條 件件 極極 值值 :條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外對(duì)自變量除定義域限制外,還有其他條件限

12、制還有其他條件限制例如例如 ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0),(下在條件yx分析：分析：如果函數(shù)在如果函數(shù)在(x0 , y0)取得所求的極值，取得所求的極值，.),(的極值求函數(shù)yxfz 例如例如,則有則有0,00yx0),(yx可確定隱函數(shù)可確定隱函數(shù), )(xy方程方程將其代入將其代入函數(shù)函數(shù)yxfz,得得)(,(xxfz故極值點(diǎn)必滿足故極值點(diǎn)必滿足0dd,dd000000 xxyxxxxyyxfyxfxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再由再由0000,dd0yxyxxyyxx

13、x0),(yx用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，有用隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，有代入，得代入，得0dd,dd000000 xxyxxxxyyxfyxfxz0,00000000yxyxyxfyxfyxyx設(shè)設(shè)0000,yxyxfyy0,00yx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)L (x , y) 稱為拉格朗日稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù)函數(shù).0 xxxfL0yyyfL0L極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足0,0000yxyxfxx0),(00yx則極值點(diǎn)滿足則極值點(diǎn)滿足:利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(,y

14、xyxfyxL0,0000yxyxfyy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形個(gè)約束條件的情形. 設(shè)設(shè)解方程組解方程組得到可能的極值點(diǎn)得到可能的極值點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfL021xxxxfL021yyyyfL021zzzzfL00目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問題為求則問題為求x , y ,令令解方程組解方程組解解: 設(shè)

15、設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積下水箱表面積最小最小.z 使在條件使在條件xL02zyyzyL02zxxzzL0)(2yxyx00Vzyx水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開口水箱的長(zhǎng)方體開口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxLxyz試試問問目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省倍時(shí)，所用材料最省.因此因此 , 當(dāng)高為當(dāng)高為

16、,340Vxyz思考思考:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí)當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對(duì)稱性可知利用對(duì)稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià)欲使造價(jià) 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxL2長(zhǎng)、寬、高尺寸相等長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .最省最省,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 20

17、2|byFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的切平面方程為的切平面方程為例例6 在第一卦限內(nèi)作橢球面在第一卦限內(nèi)作橢球面1222222czbyax體積最小，體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)。求切點(diǎn)坐標(biāo)。的切平面，的切平面， 使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為 1202020 czzbyyaxx,該切平面在三個(gè)軸上的截距各為該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zy

18、xcbaxyzV ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)當(dāng)切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(3a，3b，3c)時(shí)時(shí),四面體的體積最小四面體的體積最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 目錄

19、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn)利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組即解方程組第二步第二步 利用充分條件利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡(jiǎn)單問題用代入法簡(jiǎn)單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù)如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法一般問題用拉格朗日乘數(shù)法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值下的極值,解方程組解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及

20、邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步第一步 找目標(biāo)函數(shù)找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域確定定義域 ( 及約束條件及約束條件)在條件在條件求可能的極值點(diǎn)求可能的極值點(diǎn) . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfL0 xxxfL0yyyfL0L目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知平面上兩定點(diǎn)已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓試在橢圓圓周上求一點(diǎn)圓周上求一點(diǎn) C, 使使ABC 面積面積 S最大最大.解答提示解答提示: 設(shè)設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y), 21031013yxkj

21、i)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則則 ACABS2110321yxCBAyxEDO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組解方程組得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積對(duì)應(yīng)面積而而比較可知比較可知, 點(diǎn)點(diǎn) C 與與 E 重合時(shí)重合時(shí), 三角形三角形面積最大面積最大.)491 ()103(222yxyxL092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P130-131 1，4, 10 習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注 解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角

22、為設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x, y, z, ,2zyxzyx它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設(shè)拉氏函數(shù)設(shè)拉氏函數(shù))2(sinsinsinzyxzyxL解方程組解方程組0cosx, 得得32zyx故圓內(nèi)接正三角形面積最大故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為最大面積為 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx注則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中面積最大者因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中面積最大者. BCA1A若若ABC 位于半圓內(nèi)位于半圓內(nèi)(如圖如圖) , 則其則其BC 邊上的高邊上的高小于小于A1BC 同邊上同邊上的高的高, , 故前者的面積小于后者，故前者的面積小于后者， 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為邊的面積最大的四邊形為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條