《數(shù)字信號處理》第三版答案(非常詳細(xì)完整)

1、答案很詳細(xì)，考試前或者平時作業(yè)的時候可以好好研究，祝各位考試成功！ ！電子科技大學(xué)微電子與固體電子學(xué)陳鋼教授著數(shù)字信號處理課后答案1.2 教材第一章習(xí)題解答1 .用單位脈沖序列(n)及其加權(quán)和表示 題1圖所示的序列。解：x(n) (n 4) 2 (n 2) (n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 4 (n 3) 0.5 (n 4) 2 (n 6)2n 5, 4 n 12 . 給定信號：x(n) 6,0 n 40, 其它(1)畫出x(n)序列的波形，標(biāo)上各序列的值；(2)試用延遲單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；(3)令 xi(n) 2x(n 2),試畫出 x1(n)波形；(4

2、)令 x2(n) 2x(n 2),試畫出 x?(n)波形；(5)令 (n) 2x(2 n),試畫出 x3(n)波形。解：(1) x(n)的波形如題2解圖(一)所示。2)x(n) 3 (n 4) (n 3)(n 2) 3 (n 1) 6 (n)6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)(3) %(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2,畫出圖形如題2 解圖(二)所示。(4) X2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2,畫出圖形如題2 解圖(三)所示。(5)畫X3(n)時，先畫x(-n)的波形，然后再右移2位，X3(n)波形如5.設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，x

3、(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。( 1) y(n) X(n) 2X(n 1) 3X(n 2)；(3) y(n) x(n n°) , n° 為整常數(shù)；( 5)y(n) X2(n)；n( 7)y(n) x(m) 。m0解：( 1)令：輸入為x(n n0) ，輸出為'y (n) x(n n0) 2x(n n0 1) 3x(n n0 2)'y(n n0) x(n n0) 2x(n n0 1) 3x(n n0 2) y(n)故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。y(n) Tax1(n) bx2(n)ax1(n) bx2(n) 2(ax1(n 1)

4、bx2(n 1) 3(ax1(n 2) bx2(n 2)Tax1(n)ax1(n)2ax1(n1)3ax1 (n2)Tbx2(n)bx2(n)2bx2(n1)3bx2(n2)Tax1(n) bx2(n) aTx1(n) bTx2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。( 3)這是一個延時器，延時器是一個線性時不變系統(tǒng)，下面予以證明。令輸入為x(n ni),輸出為y(n) x(n n1 n0),因為' y(n ni) x(n ni n0) y(n)故延時器是一個時不變系統(tǒng)。又因為Taxi(n) bx2 (n) axi (n n0) bx2(n n0) aTxi(n) bTx2(n)故延時器是線性系統(tǒng)。

5、( 5)y(n) x2(n)令：輸入為x(n no),輸出為y'(n) x2(n n0),因為2' y(n n0) x (n n0)y(n)故系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因為2Taxi(n) bx2 ( n) (axi (n) bx2(n)aTxi(n) bTx2(n)22 axi (n) bx2 (n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。n( 7)y(n) x(m)m0n令：輸入為x(n no),輸出為y (n) x(m n°),因為 m0 n no 'y(n no)x(m) y (n)mo故該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。又因為nTaxi (n) bx2(n)(axi(m) bx2(m) a

6、Txi(n) bTx2(n)mo故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。6.給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并 說明理由。/ N 11(1)y(n) x(n k)；N k 0 n no (3) y(n) x(k)； k n no(5) y(n) ex(n)。解：(1)只要N 1,該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。如果|x(n) M ,則|y(n) M ,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定 系統(tǒng)。n no(3)如果x(n) M , y(n) x(k) 2n0 1 M ,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 k n no系統(tǒng)是非因果的，因為輸出還和 x(n)的將來值有關(guān).(5)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因為系統(tǒng)的輸

7、出不取決于x(n)的未來值。如果x(n)| M ,則y(n)| |ex(n)皆eM ,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7 .設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所 示，要求畫出輸出輸出y(n)的波形。解：解法(1):采用圖解法y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m 0圖解法的過程如題7解圖所示。解法(2):采用解析法。按照 題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式:x(n) (n2) (n1)2 (n3)1h(n)2 (n) (n 1)-(n 2)2因為所以x(n)* (n) x(n)x(n)* A (n k) Ax(n k)1 y(n) x(n)*2 (n) (n

8、1) - (n 2)212x(n) x(n 1) x(n 2) 2將x(n)的表達(dá)式代入上式，得到y(tǒng)(n) 2 (n 2) (n 1) 0.5 (n) 2 (n 1) (n 2)4.5 (n 3) 2 (n 4) (n 5)8 .設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況，分別求出輸出y(n)。(1) h(n) R(n),x(n) Rs(n)； h(n) 2R(n),x(n)(n) (n 2)；(3) h(n) 0.5nu(n), xn Rs(n)。解：(1) y(n) x(n)* h(n)R(m)R5(n m)m先確定求和域，由R(m)和Rs(n m)確定對于m的

9、非零區(qū)間如下：0 m 3,n 4 m n根據(jù)非零區(qū)間，將n分成四種情況求解： n 0, y(n) 0 n 0 n 3, y(n) 1 n 14)4 n 7,y(n)m n 4 7 n,y(n) 0最后結(jié)果為0, n 0, n 7y(n) n 1,0 n 38 n,4 n 7y(n)的波形如題8解圖(一)所示。y(n) 2R4(n)* (n)(n 2) 2R4(n) 2R4(n 2)2 (n) (n 1) (n 4) (n 5)y(n)的波形如題8解圖(二)所示.(3)y(n) x(n)* h(n)R5(m)0.5n mu(n m) 0.5nR5(m)0.5 mu(n m)mmy(n)對于m的非

10、零區(qū)間為0 m 4,m n。 n 0, y(n) 0n1 0 5 n 1, 0 n 4, y(n) 0.5n0.5 m .5r 0,5n(1 0.5 n1)0.5n 2 0.5nm 01 0.5 1 5 n, y(n) 0.5n 0.5 m 1 0.5 1 0.5n31 0.5nm 01 0.5 1最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式：y(n) (2 0.5n)R5(n) 31 0.5nu(n 5)11.設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述:,、11 , 一、y(n) 2y(n 1) x(n) 2x(n 1);設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) 解: 令：x(n) (n)11h(n) -h(n 1)(n)萬(n

11、 1)11n 0,h(0) h( 1)(0) - ( 1) 111n1,h(1)-h(0)(1)萬(0) 111n2,h(2)h(1)-11 2n3,h(3)h(2)(萬)2歸納起來，結(jié)果為h(n) (；)n1u(n 1)(n)12.有一連續(xù)信號 Xa(t) cos(2 ft ，式中，f 20Hz,-(1)求出Xa(t)的周期。(2)用采樣間隔T 0.02s對Xa(t)進(jìn)行采樣，試寫出采樣信號(t)的表 達(dá)式。(3)畫出對應(yīng)%(t)的時域離散信號(序列)X(n)的波形，并求出x(n)的 周期。教材第二章習(xí)題解答1.設(shè)X(ejw)和Y(ejw)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的

12、傅里葉變換：(1x(n n0) ；(2x( n)；(3x(n)y(n)；(4x(2n) 。解：1 FTx(n n0)x( nnn0)ejwn令 n' n n0 , n n' n0 ，則'' jw( n n0 )jwn 0 jwFT x(n n0)x(n )e 0 e 0X (e )n2FTx* (n)njwnx*(n)ex(n)ejwn*X*(e jw )n3 FTx( n)nx(n)ejwnjwnFT x( n) x(n')e X(e jw)'nFTx(n)* y(n) X (ejw)Y(ejw)證明：x (n)* y(n) x(m) y( n

13、 m)mFTx(n)* y(n)nmx(m)y(n m)e jwn令 k=n-m ，則FTx(n)* y(n)x(m)y(k)e jwke jwn k miwkjwny(k)e x(m)e kmX(ejw)Y(ejw).1. w2.已知 X(ejw)0,w0w0w求X(ejw)的傅里葉反變換x(n)解:3.線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)/、1 wo jwn .sinw0nx(n)e dw 一2won(傳輸函數(shù))H (ejw) | H(ejw) ej (w),如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實序列，試證明輸入x(n) Acos(w°n)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為z 八/ jw、rz ry(n) A H (e )

14、 coswon(wo)。解：假設(shè)輸入信號x(n) ejw0n ,系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為h(n),系統(tǒng)輸出為jw°ny(n) h(n)* x(n)h(m)ejw0(n m)ejw0nh(m)e jw0mH(ejw0)emm上式說明，當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同，但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)，利用該性質(zhì)解此題。x(n) Acos(Won) Ae 0 e e 0 e 2 j jwoniwo .j jwonjw。、y(n) Aej ej 0 H (ej 0) ejej0H(e ) 21 Ar jjw0nLl /jw0'j(w0)jjw0n口/jw0、j

15、 (w0),-Ae e H (e ) e e e H (e ) e 2上式中H (ejw)是w的偶函數(shù)，相位函數(shù)是 w的奇函數(shù),H(ejw) H(ejw), (w)(W)y(n) 2AH(ejW0)ej ejW0jw0n j (W0)ejw0nj (W0"e A H (ejW0) cos(w0n(W0)4.設(shè)x(n) 1，f,1將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列 0,其它%n),畫出x(n)和效n)的波形，求出n)的離散傅里葉級數(shù)X(k)和傅里葉變換。解:畫出x(n)和%n)的波形如題4解圖所示。曲k) DFS%n)3j2-kn%n)e 4n 01 j-kne 20j_2

16、k1 e 2j k jke 4 (e 4j k4 ) 2cos( k)?e4j4kX(k)以4為周期，或者1j-kn1 e j kX(k) e 2Len 0j2k1 e 2111j k j k j k e 2 (e2 e 2111 j k j k j k e 4 (e4 e 41 ej，.1 . L sin kk 2.1 .sin- k4X(k)以4為周期X(ejW) FT" 24kX；k)(w 24 k)一 X%k) (w2kcos( k)ek 4ak)，k (wik)5.設(shè)如圖所示的序列x(n)的FT用X(ejW)表不，不直接求出X(ejW),完成下列運(yùn)算:(1) X(ej0);

17、(2) X(ejW)dW；(5)X(ejw)2dw解：7(1) X (ej0)x(n) 6n 3X(ejw)dw x(0)?24(5)s 2X (ejw) dw 272x(n) 28n 36.試求如下序列的傅里葉變換：11 X2(n) 2 (n 1)(n) 2 (n 1);(3) x3(n) anu(n),0 a 1解：(2)X2(ejw)x2(n)ejwn -ejw 1 1e jwn221 - (ejw e jw) 1 cosw 2(3) X3(ejw)anu(n)ejwnane jwn-wnn 01 ae7.設(shè)：(1) x(n)是實偶函數(shù)，(2) x(n)是實奇函數(shù)，分別分析推導(dǎo)以上兩種假

18、設(shè)下，x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。解:令 X(ejw)x(n)ejwn(1) x(n)是實、偶函數(shù)，X(ejw)x( n)ejwnn兩邊取共軛，得到X *(ejw )x(n)ejwnx(n)e j( w)n X (e jw )nn因此 X (ejw) X * (e jw )上式說明x(n)是實序列，X(ejw)具有共鈍對稱性質(zhì)。jwjwnX (e ) x( n)ex( n)cos wn j sin wn nn由于x(n)是偶函數(shù)，x(n)sinwn是奇函數(shù)，那么x( n)sin wn 0n因此 X (ejw) x(n) cos wn n該式說明x(ejw)是實函數(shù)，且是w的偶函數(shù)?？偨Y(jié)以上x(n

19、)是實、偶函數(shù)時，對應(yīng)的傅里葉變換x(ejw)是實、偶函數(shù)。(2) x(n)是實、奇函數(shù)。上面已推出，由于x(n)是實序列，x(ejw)具有共鈍對稱性質(zhì)，即jw* jwx(e ) x (e )x (ejw) x(n)e jwn x( n)cos wn j sin wn nn由于x(n)是奇函數(shù)，上式中x(n)cos wn是奇函數(shù)，那么 x(n)coswn 0x( n)sin wn因此 x (ejw) j這說明X(ejw)是純虛數(shù)，且是w的奇函數(shù)。10.若序列h(n)是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式:HR(ejw) 1 cosw求序列h(n)及其傅里葉變換H (ejw)。解:H R(ejw

20、) 1 cosw1 .jwe21.jwe2FThe(n)jwnhe(n)ehe(n)121,n12,n0,nh(n)he(n)，n 02he(n),n 01,n i1,n0,其它H(ejw)jwnh(n)enjw1 e 2ejw/2 w cos212.設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)anu(n),0a1 ,輸入序列為x(n)(n) 2 (n 2),完成下面各題:(1)求出系統(tǒng)輸出序列y(n);(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。解:(1)y(n) h(n)* x(n) anu(n)* (n) 2 (n anu(n) 2an 2u(n 2)2)(2)X(ejw)jwnj2w(n)

21、 2 (n 2)e j 1 2e j nH(ejw)njwna u(n)en jwn1n0ae rrw1 2e j2wY(ejw)13.已知 Xa(t) 2cos(2jwjw I 2eH(e )gX(e )獷1 aefot),式中fo 100Hz ,以采樣頻率 fs 400Hz對 xa(t)進(jìn)行采樣，得到采樣信號(t)和時域離散信號x(n),試完成下面各題:(1)寫出Xa(t)的傅里葉變換表示式Xa(j )；(2)寫出(t)和x(n)的表達(dá)式；(3)分別求出(t)的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。解：(1)Xa(j )xa(t)e j tdt 2cos( 0t)e j tdtj 0tj

22、0tj t,(e e )e dt上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，它的傅 里葉變換可以 表示成:Xa(j ) 2 (0)(0)(2)?a(t)xa(t) (t nT)2cos( 0nT) (t nT)x(n)2cos( 0nT),f0200 rad ,T1-2.5ms fs(3)兄(j ):I k2 T kXa(jjk s)0 k s)0 ks)式中s 2 fs800 rad / sX(ejw)nx(n)e jwnn2cos(jwn0nT)e2cos(w0n)e jwn式中W00Tejw°ne jw°ne jwn 2(wkW02k ) (w w0 2k )

23、0.5 rad上式推導(dǎo)過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數(shù)函數(shù)，才能寫出它的傅里葉變換表達(dá)式。14.求以下序列的Z變換及收斂域:(2)2 nu( n 1);(3)nu( n) ;(6)nu(n) u(n 10)解:(2)ZT2 nu(n)nn2 u(n)znyp,z(3)ZT 2 nu( n 1)2n2z1 2znu(1)zn11 2 1z1,z2nzn1(6)ZT2 nu(n) u(n910)n111010 z 1z,0216.已知:X(z)求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列的表達(dá)式解:有兩個極點，因為收斂域總是以極點為界,況：因此收斂域有以下三種情三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的

24、原序列(1)當(dāng)收斂域IZ 0.5時,1n 1x(n) ?X(Z)z dz2 j ,c令 F(z) X(z)zn 15 7z1n11_ 1 z(1 0.5z 1)(1 2z 1)5z 7 n z (z 0.5)(z 2)n 0,因為c內(nèi)無極點，x(n)=0;n 1, C內(nèi)有極點0,但z=0是一個n階極點，改為求圓外極點留數(shù)，圓外極點有乙0.5,z2 2,那么x(n)ResF(z),0.5 ResF(z),2(5z 7)zn(z(z 0.5)(z 2)0.5) z 0.55(z2) z21 nn3叼)2平u( n 1)(2)當(dāng)收斂域0.5 |z 2時, n 0, C內(nèi)有極點0.5;F(z)(5z

25、7)zn(z 0.5)(z 2)1 n x(n) ResF(z),0.5 3a2)nn 0, C內(nèi)有極點0.5, 0,但0是一個n階極點，改成求c外極點留數(shù)，c外極點只有一個，即2,x(n) ResF(z),22g2nm n 1)最后得到 x( n) 3g1)n u(n) 2g2nu( n 1)(3)當(dāng)收斂域2 z時，F(xiàn)(z)(5z 7)zn(z 0.5)(z 2)1 3g(2)n<0,由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此x(n)=0。n 0, C內(nèi)有極點0.5, 2;x(n) ResF(z),0.5 ResF(z),2或者這樣分析，C內(nèi)有極點0.5, 2, 0,但0是一個n階極點，改成

26、求c外極點留數(shù)，c外無極點，所以x(n)=0。最后得到1 nnx(n) 3g(-)n 2g2nu(n)17.已知 x(n) anu(n),0 a 1 ,分別求：(1) x(n)的Z變換；(2) nx(n)的 Z 變換；(3) a nu( n)的 z 變換。解：(1) X(z) ZTanu(n)anu(n)z n -一，z an1 az/ 一、daz 1 ZTnx(n) z X(z) ,z adz (1 az )(3) ZTa nu( n) a nz nanzn _1, zn 0n 01 az11&已知X(z) 4于分別求:(1)收斂域0.5z 2對應(yīng)的原序列x(n);(2)收斂域z2對

27、應(yīng)的原序列x(n)。解:1n 1x(n) X X(z)z dz2 j .cF(z)_ 3z 1.xz / n 10zn 1X(z)z 12z2 5z 1 2z 23?zn2(z 0.5)(z 2)(1)當(dāng)收斂域0.5 |z 2時，n 0, c內(nèi)有極點0.5,x(n) ResF(z),0.50.5n 2 n,n 0,c內(nèi)有極點0.5,0，但0是一個n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外極點只有2,x(n) ResF(z),2 2n,最后得到x(n) 2 nu(n) 2nu( n 1) 2 1n(2 (當(dāng)收斂域|z 2時，n 0,c內(nèi)有極點0.5,2,x(n) ResF(z),0.5 ResF(z),2

28、0.5n3?z(z2(z 0.5)(z 2)2)z0.5n2nn 0, c內(nèi)有極點0.5,2,0，但極點0是一個n階極點，改成求c外極點留數(shù)，可是C外沒有極點，因此x(n) 0,最后得到x(n) (0.5n 2n)u(n)25.已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n) anu(n), h(n) bnu(n),0 a 1,0 b 1,試：(1)用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)；(2)用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。解：(1)用卷積法求y(n)y(n) h(n) x(n)mmn m /b u(m)a u(n m) , n 0,n 0,c內(nèi)有極點a,bny(n) anm 0m. mbnna am 0m. m

29、ban1n 1 n 1 a b1 a 1bn 0 , y(n) 0最后得到n 1 n 1/、 a b /、y(n) -u(n)a b(2)用ZT法求y(n)X(z)1 az1，H(z)11 bz 1Y(z) X(z)H(z)1，1>.11 az 1 bzy(n)?cY(z)zn1dz令 F(z) Y(z)zn 11 az 1 1 bz 1n 1z(z a)(z b)n 1 n 1y(n)2肝同叫肝,均04 _因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，n 0,y(n) 0,最后得到ny(n) 1. n 1-u(n) a b28.若序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實部如下式:jw 1 acoswHR(e )

30、 1 a2 2acosw,a 1求序列h(n)及其傅里葉變換H (ejw) °解:HR(ejw)1 acoswZ 2 LT1 a 2acoswjw jw、1 0.5a(e e )2jw jw1 a a(e e )1Hr(z)11 025a(z z 1)、1 a a(z z )jw jw、1 0.5a(e e )1(1 az )(1 az)求上式IZT ,得到序列h(n)的共鈍對稱序列he(n) o1 he(n)n 1 .-? Hr(z)z dz j .cF(z)HR(z)zn120.5az z 0.5a n 11 za(z a)(z a )因為h(n)是因果序列,he(n)必定是雙邊

31、序列，收斂域取:n 1時,C內(nèi)有極點a,he(n) ResF(z),a20.5az z 0.5a n 1a(za)(z a 1)(z a)n=0 時,c內(nèi)有極點a,0,_n 1F(z) Hr(z)z20.5az0.5a1、a(z a)(z a )所以he(n) ResF(z),a ResF(z),0 1又因為he(n) he( n)所以1,n 0he (n)0.5an,n 00.5a n,n 0he(n), n 01,n 0h(n)2he(n), n 0 an,n 0anu(n)0,n 00, n 0H(ejw)ane jwnn 0aejw3.2教材第三章習(xí)題解答1 .計算以下諸序列的N點DF

32、T,在變換區(qū)間0 n N 1內(nèi)，序列定義為 x(n) (n);(4) x(n) Rm(n),0 m N ；2(6) x(n) cos(nm),0 m N ;(8) x(n) sin(w°n)? Rn (n)；(10) x(n) nRN (n)。解：N 1N 1(2) X(k)(nW：n(n) 1,k 0,1, ,N 1N 1(4) X(k)WNknn 01 WNkm1Wkj_k(m 1)sin e N ,k 0,1,N 1sin(- m)N1 N 1 j2 (m1 e Nk)n2n 02 / 八 j-N(m k)n2j N-(m k)N2j (m k) N1 e N2j (m k)

33、e N.2 , j-N(mk),km且 k N mN0,k m或 kN m,2j一mn NjLmn jLkn e N )e NN 12(6) X(k) cosmn ?WNknn 0 N(8)解法1直接計算X8(n) sin(w°n)RN (n)11w0n-e2jjw0n eRN(n)X8(k)N 1x(n)Wkkn n 02jn-jw°n ejw°nj 2_kn e N解法21 N 12j n 0e(w0j(W0 e12jjw°N e2j(w0k)e Njw°N1 e2j ( w0k)e N由DFT的共鈍對稱性求解j sin(w°n)

34、 Rn (n)因為jw0nx7(n)eRn (n)cos(w0n)X8(n) sin(w°n)RN (n)Im x7(n)所以DFT jx8(n)DFT j Im X7(n)X70(k)1X8(k)jX70(k)jX7(k)X7(N k)結(jié)果與解法(10)解法jw0N11 eT-22 j 1ej(w0 Hk)1所得結(jié)果相同。NX(k)jw0Njw0N/1 e 、11 e(2) TT2jg (N k)2 Ij(w0 /1 e Nj 1 e N此題驗證了共軻對稱性。1knnWN k 0,1, ,N 1上式直接計算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。因為x(n) nRN(n)所以x(n

35、) x(n 1)n ?RN(n)N (n) Rn (n)等式兩邊進(jìn)行DFT得至U(11 ejw0N：2)j(w0k)e NX(k) X(k)W； N N (k)X(k)N (k) 1W；k 1,2 , N 1N(N 1)2這樣，X (k)可寫成如下形式:X(k)N(N2N2k 01 W；,k 1,2當(dāng)k 0時，可直接計算得出X (0)N 1X (0) n Wnn 0解法2k 0時,1)N 1 N(NX(k) nn 02k 0時,X(k) 0 wNk2WN2k 3WN3kw：nx(k)0 wN2k 2wN3k 3wN4 kN 1X(k) W；nX(k)wNkn (N 1)n 1(N 1)WNN

36、1)k(N 2)WNN 1)k (N 1)N 1W；n 1 (N 1) N n 0X(k)k1WnX(k)NWNk,k1,2,N所以，2.已知下列 X(k),求 x(n) IDFTX(k);N j .e , k m 2N(1) X(k)e-e j ,k N m；0,其它kN . j .ie ,k m 2N(2) X (k) y je , k N m0,其它k解:(1)(2)x(n)1 NX(n) IDFTX(k) Nn.,2j(mnNj(mn )e Nkn 1NjWnej0N2cos(2- mnN),史ej20,1, N2j一(N m) ne NN . j7jeWNmnj Wn(N m)n12

37、jj(Lmn e Nj(LmnN)sin(mn N),n 0.1,3.長度為N=10的兩個有限長序列xi(n)1,0 n0,5 nX2(n)1,0 n 41,5 n 9作圖表示X(n)、X2(n)和y(n)Xi(n)X2(n)。解：x(n)、X2(n)和 y(n) x1(n) X2(n)分別如題 3 解圖(a)、(b)、(c)所示。14 .兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為：x(n) 0, n 0,8 ny(n) 0,n 0,20 n對每個序列作20點DFT,即X(k) DFTx(n), k 0,1,L ,19Y(k) DFTy(n),k 0,1,L ,19如果F(k) X(k)?Y

38、(k),k 0,1,L ,19f (n) IDFT F(k), k 0,1,L ,19試問在哪些點上f (n) x(n)* y(n),為什么?解：如前所示，記 f(n) x(n)* y(n),而 f(n) IDFTF(k) x(n) y(n)。fi(n)長度為27, f(n)長度為20。已推出二者的關(guān)系為f(n)fl(n 20m)?R20(n)m只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上，才滿足 f(n) fi(n)所以f(n)fi(n) x(n) y(n), 7 n 1915 .用微處理機(jī)對實數(shù)序列作譜分析，要求譜分辨率F 50Hz,信號最高頻率為1kHZ,試確定以下各參數(shù):(1)最小記錄時間Tp

39、min；(2)最大取樣間隔Lx；(3)最少采樣點數(shù)Nmin；(4)在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的N值解：(1)已知 F 50HZ丁 11Tpmin0.02SF 50111T max30.5msfmin 2fmax 2 10(3) N minTpT0.02s400.5 10(4)頻帶寬度不變就意味著采樣間隔 T不變，應(yīng)該使記錄時間擴(kuò)大一倍為0.04s實現(xiàn)頻率分辨率提高一倍(F變?yōu)樵瓉淼?/2)Nmin0.04s0.5ms8018.我們希望利用h(n)長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行濾波處理，要求采用重疊保留法通過DFT 來實現(xiàn)。所謂重疊保留法，就是對輸入序列進(jìn)

40、行分段(本題設(shè)每段長度為M=100 個采樣點) ，但相鄰兩段必須重疊V 個點，然后計算各段與h(n) 的 L 點(本題取L=128)循環(huán)卷積，得到輸出序列ym(n), m表示第m段計算輸出。最后，從ym(n)中取出B個，使每段取出的B個采樣點連接得到濾波輸出y(n)。( 1)求V；( 2)求B；(3)確定取出的B個采樣應(yīng)為ym(n)中的哪些采樣點。解：為了便于敘述，規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n)的序列標(biāo)號為0,1, 2,，。先以h(n)與各段輸入的線性卷積ym(n)考慮，ym(n)中，第0點到48 點(共 49 個點)不正確，不能作為濾波輸出，第49 點到第 99 點(共51個點)為正確的濾

41、波輸出序列y(n)的一段，即B=51。所以，為了去除前面49 個不正確點，取出 51 個正確的點連續(xù)得到不間斷又無多余點的y(n),必須重疊100-51=49個點，即V=49。下面說明，對128點的循環(huán)卷積ym(n),上述結(jié)果也是正確的。我們知道ym(n)ylm(n 128r)? R128(n)r因為ym(n)長度為N+M-1=50+100-1=149所以從n=20到127區(qū)域,ym(n) yim(n),當(dāng)然，第49點到第99點二者亦相等，所以，所取出的第 51點為從第49到99點的ym(n)。綜上所述，總結(jié)所得結(jié)論V=49,B=51選取ym(n)中第4999點作為濾波輸出。5.2教材第五章習(xí)

42、題解答1 .設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述:311y(n)-y(n1)-y(n 2) x(n)-x(n1),483試畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解:y(n) 3 y(n。將上式進(jìn)行Z變換1y(n 2) 81x(n) -x(n 1)331丫 4Y(z)z11X(z) ；X(z)z131H(z)1Y(z)z2 811 z(1)按照系統(tǒng)函數(shù)H(z),根據(jù)Masson公式，畫出直接型結(jié)構(gòu)如 題 1解圖(一)所示。(2)將H(z)的分母進(jìn)行因式分解1 1z1H(z) 3 3 121 -z z4811(1 -z1)(11)按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu):(a) H(z)13z11111、(1 -z )

43、 (1 -z )畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(a)所示(b) H(z)1?1 3z1(1 p1) (1 4z1)畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(b)所示(3)將H(z)進(jìn)行部分分式展開H(z)一(11 3zH(z)zz1)(113(zH(z)(z11)(z)2413(z如H(z)z10 z1z - 2(z103_122)4)B1 z 41037 一 z1 z 4731 z -41031 1z1273_1 1z14根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如 題1解圖(三)所示。2 .設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為y(n) (a b)y(n 1) aby(n 2) x(n 2) (a b)x(n 1) abx(n),試

44、畫出該濾波器的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解: 將差分方程進(jìn)行Z變換，得到1(a b)X(z)z abX (z)122Y(z) (a b)Y(z)z abY(z)z X(z)z1Y(z) ab (a b)z12X (z) 1 (a b)z abz(1)按照Massion公式直接畫出直接型結(jié)構(gòu)如 題2解圖(一)所示(2)將H(z)的分子和分母進(jìn)行因式分解:(a z 1)(b z 1)1(1 az )(1bz 1)Hi(z)H2(z)Hi(z)H2(z)z 1 b1 bz 1畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖(二)(a)所示。(b)H2(z)z 1 b1 az 1畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖(二)(b)所示按照

45、上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu):1z a3 .設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為4(1 z*1 1.414Z1 z2)(1 0.5z 1)(1 0.9z 1 0.18z2)'試畫出各種可能的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解: 由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個因式，可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。H(z) Hi(z)H2(z)(1)1 1.414z 1 z 2H2121 0.9z 1 0.81z 2畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖（a）所示Hi(z)11 1.414z 11 0.5z4 1 z 1Hz(z) 121 0.9z 1 0.81z 2畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖（b）所示 4.圖中畫出了四個系統(tǒng)，試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總 系

46、統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并求其總系統(tǒng)函數(shù)。解:(d)h(n) hi(n) h2(n) h3(n)h4(n)h5(n)hi(n) h2(n) H(n)h3(n) h4(n) hs(n)H(z) Hi(z)H2(z) Hi(z)H3(z)H4(z) Hs(z)5.寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。圖d解:(d)iH rsin ?z(z)112221 r cos ?z r cos ?z r sin ?z222r cos ? zc 1rsin ?z1221 2r cos ?z r z2y(n) 2rcos y(n 1) r y(n 2) rsin ?x(n 1)6.寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)。圖f解:(f)2

47、1z1?2H(z) 1 431 1z1 3z2482 1z121321 - z z488.已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(n) (n) (n 1) (n 4),試用頻率采樣結(jié)構(gòu)實現(xiàn)該濾波器。設(shè)采樣點數(shù)N=5,要求畫出頻率采樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，寫出濾波器參數(shù)的計算公式。解：已知頻率采樣結(jié)構(gòu)的公式為H(z)(1 N)1N1 H(k)Z N k o1 WNkz 1式中，N=5N 1 knH (k) DFTh(n)h(n)WNn 04kn(n) (n 1) (n 4)Wnn 0j2k j- ke 5 e 5 , k0,1,2,3,4它的頻率采樣結(jié)構(gòu)如 題8解圖所示6.2教材第六章習(xí)題解答1.設(shè)計一個巴特沃

48、斯低通濾波器，要求通帶截止頻率fp 6kHz,通帶最大衰減ap 3dB ,阻帶截止頻率fs 12kHz ,阻帶最小衰減as 3dB 。 p求出濾波器歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)以及實際的Ha(S)o解:(1)求階數(shù)Nlgksp1g spsp100.1ap 1100.3 1100.1as 1102.5 10.056212 103sp6 103將ksp和sp值代入N的計算公式得 sp spK1 1g 0.0562N 4.151g2所以取N=5 (實際應(yīng)用中，根據(jù)具體要求，也可能取N=4,指標(biāo)稍微差一點，但階數(shù)低一階，使系統(tǒng)實現(xiàn)電路得到簡化。)(2)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p),由階數(shù)N=5直接查表得到5階巴特沃斯歸一化低