2021屆高考數(shù)學人教B版一輪考點測試47空間向量及其應用229

1、考點測試47空間向量及其應用本考點是高考必考知識點，考查題型為選擇題、填空題、解答題，中 高考概覽等難度1 .了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置2 .會簡單應用空間兩點間的距離公式3 . 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空考綱研讀間向量的正交分解及其坐標表示4 .掌握空間向量的線性運算及其坐標表示5 .掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直第0.步 狂刷小題基礎(chǔ)練一、基礎(chǔ)小題1 .給出下列命題：若向量明力共線，則向量明力所在的直線平行；若向量明力所在的直線為異面直線，則向量明力一定不共面；若三個向量明 b, c兩兩共面，則

2、向量明 b, c共面；已知空間的三個向量明九c,則對于空間的任意一個向量P總存在實數(shù)3y, z 使得 p = X” + yb + zc.其中正確命題的個數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案A解析“與共線，心力所在的直線也可能重合，故錯誤；根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量明力都共面，故錯誤；三個向量明 b, c中任兩個 一定共面，但它們?nèi)齻€卻不一定共面，故錯誤；只有當叫 b, c不共面時，空 間任意一向量P才能表示為P=必+地 + zc,故錯誤.綜上可知四個命題中正確 的個數(shù)為0,故選A.2 .已知“ 二 (2,1, -3), 5 = (1,2,3), c = (7,6, 2),若a

3、, b, c 三向量共面， 則 2 =()A. 9B. -9C. -3D. 3答案B解析 由題意知 c =xa + yb ,即(7,6, 2) =x(2,l , - 3) + y( - 1,2,3),所以 f2x-y = 7, <x+2y = 6, 解得 2二一9.L - 3x + 3y = x,3 .分別以棱長為1的正方體48。-4叢。1的棱AB, AD,所在的直線為X, 丁，z軸，建立空間直角坐標系，則四邊形448山的對角線的交點的坐標-2 1 - 2O 1-2-n-V2 B.a答案B解析 設(shè)所求交點為。，在空間直角坐標系中，點4(OQO), !(0,0J), 5(1,0,0),則彳

4、& = (1,0,0),箱 二(0,0,1),故歷二 (g, 0,5，即對角線的交點坐標為1 2, 0, 2P故選B.4 .若直線/的方向向量為“=(1。2),平面a的法向量為 = (-2,0, -4), 則()A. III aB. /J_aC. /CaD. /與a斜交答案B解析 .4二(1,0,2), 二(一2,0, -4),即二一加，故 a/，./JLa.5 .。為空間任意一點，若次二+"訪+ "沅，貝IJA, B, C,尸四點()A. 一定不共面B. 一定共面C.不一定共面D.無法判斷答案B31 i1 - 81 - 83-4 且B, C四點共解析因為標為+ W

5、歷+ W沆, 面.6 .在空間直角坐標系中，已知48C的頂點坐標分別為A(l, -1,2), 8(5, -6,2), C(l,3, -1),則邊 AC 上的高 8。=()A. 5B. 4C. 4D. 24答案A解析 AD = aAC, AC = (0,4, -3),則病=(0,4尤-32),初二(4, -5,0), 瓦) 二 (-4,42 + 5, -32).由公筋二0,得2二-2 所以及)=-4, 1, yj,所以 I麗1二5.故選A.7. 如圖所示，在正方體A8CO-48C0I中，若點E為8c的中點，點尸為 的中點，則異面直線A方與。石所成角的余弦值為()C.答案BD.解析 如圖，以A為原

6、點，AB所在直線為x軸，AO所在直線為y軸，44所在直線為Z軸，建立空間直角坐標系,設(shè)正方體ABCO-Ai'。的棱長為2,則 4(0, 0,0),產(chǎn)(2,1,2), G (2,2,2), E(2,1,0), ,舒二(2,1,2), C?F=(0, - 12),設(shè)異面直線A尸與GE所成角為區(qū)nI 八 L4F-GEI 54則2嬴而3異面直線A廠與GE所成角的余弦值為半，故選B.8. 如圖所示，在三棱柱ABC 48cl中，底面ABC, AB = BC = AAi, NA8C = 90。，點E,尸分別是棱A8, 8囪的中點，則直線EF和BQ所成的角是答案60。解析 如圖所示，建立空間直角坐標系

7、.由于AB = 8C = A41,不妨取/W = 2, 則 E(0,l,0),尸(0,0,1), Ci(2A2), 8(0,0。)，所以存=(0, - 1,1),比1 = (2,0,2),所ef bC i以cos <EF, BCi>二_ 二二5,故直線痔和BQ所成的角是60。.IEFIIBC1I卜8、局考小題9. (2014.廣東高考)已知向量二(1。-1),則下列向量中與a成60。夾角的 是()A. (-1,1,0)B. (1, - 1,0)C. (0, - 1,1)D. (-1,0,1)答案B解析 經(jīng)檢驗，選項B中向量(1, -10)與向量“二(1,0, 一 1)的夾角的余弦值

8、即它們的夾角為60。.故選B.10. (2015浙江高考)已知s, 02是空間單位向量，的9二;.若空間向量力滿足 b e 二 2, b ei = |,且對于任意 x, y R, b - (xe + yei)b 一 (xoei + yoe2) = 1 (xo, yo R),貝lj xo =, yo =, b =.答案1 2 2啦解析 .0, 62是單位向量，e-e2 = J,.cos但，e2> =；,又。y 但，e?>W180。，. 3, e2> =60。.不妨把幻，e?放到空間直角坐標系Qxyz的平面xOy中,設(shè)幻二 (1,0,0),再設(shè)08 = /> = (?，再由

9、9 二2得7 二 2, =小，貝= 小,r).而+)6是平面xOy上任一向量，由心- (xei +yei)知點8(2,小，r)到平面xOy的距離為1,故可得r=1,則5 = (2,5, 1), . .族1 = 2姆,又由歷一(如+將2)1力力一。,+)/2)1= 1知XM +y(逐2 = (2,小,0), 解得 xo= 1, yo = 2.三、模擬小題11. (2019成都診斷)如圖所示，在平行六面體A8CO-A山中，加為4。與8。的交點.若前=”,歷5,后尸。，則下列向量中與成相等的向量是()HA. 一于+乎+ c答案A解析 由題意并根據(jù)向量運算的幾何運算法則，得嬴=麗1+而=京|十)+ C

10、.(AD - AB) = c + /( 一 “)= 一 乎 十12. (2019 廈門模擬)已知 = (2+1,0,2), = (6,2/- 1,22),若 a 11b,則;I 與" 的值可以是()2*A1-2B.C.3,2D. 2,2答案A解析 因為 a II b,所以 b = ka ,即(6,2 - 1,22) =42+ 1,0,2),所以解得,3-1一2- - 一一或6 = k(A + I), 2 一 1 二 0, 22 = 2k,13.(2019-河南商丘高三質(zhì)檢)在空間四邊形ABCD中,若A8 = ( - 3,5,2), CD =(-7, -1, -4)，點心歹分別為線段8

11、C, A。的中點，則前的坐標為()A. (2,3,3)B. (-2, -3, 一3)C. (5, -2,1)D. (-5,2, -1)答案B解析 因為點M f分別為線段8C, 4。的中點，。為坐標原點，所以存二而 -OE, OF = OA + db), OE = OB + OC).所以壽二；屈 + 歷)一+ 衣)1 . /,一5, -2) + (-7, -1, -4)=5(一4, -6, 一6)二(2,-3, 一 3).14. (2019大慶一模)如圖，在大小為45。的二面角A -砂-。中，四邊形ABFE,四邊形COE/都是邊長為1的正方形，則8,。兩點間的距離是（）A.WC. 1答案D解析

12、因為防二肝+龍+防，所以I防F = BF2 + IF£I2 + IEDI2 + 2BF-FE +2FEED + 2BFEb= + 1 + 1=所以I茹 1= 3-2.15. （2019攀枝花模擬）正方體A8CO-4叢。功的棱長為明點M在AG上且刀力二；慶1, N為囪8的中點，貝業(yè)加1為（）A叵“B色/A 6 C'D 6 ”.一行C返C.北一。D七一ao3答案A解析 以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dr”，則4ao0）, G（0, a, a）, a, ?.設(shè) M（x, yt z）,因為點 M 在 4cl 上且屐f =頡3 ,所以（x-a,f, f）,所以疝v16. （20

13、19東北三省高三第三次聯(lián)考）已知四面體ABC。中，平面A3。_L平面BCD, ZX/W。為邊長為2的等邊三角形，BD = DC, BD±CD,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為.答案坐解析 如圖所示，取的中點E,連接4M因為aAB。是等邊三角形，且 平面A8O1平面8c。，所以4E1底面BCD如圖建立空間直角坐標系,貝IJ 4(0,0, 曲,8(1,0,0), C(-1,2,0), D(-1AO),所以公二(-1,2, -回 防二(-2。0),cos公 BD> _ACBb_2 LACIIBbl 2X2 4第2.步精做大題能力練一、高考大題1.(2019浙江高考)如圖，已知三棱

14、柱A8C-4SG ,平面4ACG JL平面ABC, /ABC = 90。，ZBAC=30°, AiA=AiC = AC9 E,b分別是AC, A向的中點.(1)證明:E-IBC;(2)求直線EF與平面A IC所成角的余弦值.解解法一：(1)證明：如圖1,連接因為A3=AC,三是AC的中點，所以4ELAC又平面4ACG1平面ABC, 4EU平面4ACG,平面4ACG n平面A8C 二AC,所以4E1平面ABC,所以4E18C又因為 4F/A8, ZABC = 9009 故 8C_LAiR又 AiEGAiF = Ai,所以 8C_L 平面 AiEF因此E/IBC用I（2）如圖1,取8c的

15、中點G,連接EG, GF,則四邊形EG/i是平行四邊形.由于 AiEl平面 A8C,故 AiEJ_EG,所以平行四邊形反汨41為矩形.由（1）得8C_L平面EGEh,則平面4山C_L平面EGFA,所以EF在平面A出C上的射影在直線4G上.連接4G交所于點O,則Z EOG是直線EF與平面AxBC所成的角（或其補角）.不妨設(shè)AC = 4,則在 RtZXAiEG 中，AiE = 2® EG = p4G 、/13由于。為4G的中點，故EO = OG = h =亍，EO2 + OG2 - EG2 3所以 cos/ EOG =2EO OG 二 5,3因此，直線七月與平面A/C所成角的余弦值是不解

16、法二：證明：連接小石.因為AA=AC, E是AC的中點，所以4EL4C又平面4ACG1平面ABC, 4EU平面4ACG,平面44CG n平面ABC 二AC,所以A|E_L平面ABC如圖2,以點E為坐標原點，分別以射線EC,時為），軸、z軸的正半軸，建 立空間直角坐標系Exyz.用2不妨設(shè) AC = 4,則 鳳0,0,0), 4(0,0,25),不小,1,0), 5】(小,3,2小),C(0,2,0).因此,EF =由存冊=0,得E/18C設(shè)直線EF與平面A山C所成角為夕由可得比=（-小，1,0）, 疵 =（0,2, -2回設(shè)平面A/C的法向量為 = （x, y, z）.BC n = 0,- x

17、 + y = 0,由_得V廠CACn = 0,lEF-wl 4八 3 = 7,所以 COs6 = E.取 二（1,小，1）,故 sin8=lcos （EF,EFn ""3因此，直線Ef與平面A/C所成角的余弦值是亍2 . （2018全國卷III）如圖，邊長為2的正方形A8C。所在的平面與半圓弧也所 在平面垂直，M是也上異于C,。的點.（1）證明：平面AMOL平面8WC;(2)當三棱錐M - ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.解(1)證明：由題設(shè)知，平面CMO1平面48C。，交線為CD因為 8clC。，BCU平面 A8CZ),所以 8C_L平面 CM。

18、，故 8C_LOM.因為M為上異于C,。的點，且。C為直徑，所以。Ml CM.又8CGCM=C,所以。M_L平面BMC而OMU平面AMD,故平面AMD 1平面BMC.(2)以。為坐標原點，醇的方向為入軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標 系 Dxyz.當三棱錐M-ABC體積最大時，M為a的中點.由題設(shè)得。(。,。,0), 4(2,00), 8(220), C(020), M(o, 1,1),瓶=(-2,1,1),貓= (020), DA = (2,0,0).一 2x + y + z = 0, 2y = o.設(shè) = (x, y, z)是平面MAB的法向量，則= 0, _ 即， n-AB = 0,

19、可取 =(1,0,2).D4是平面MCO的法向量，因此,cos <n, DA> ="當二噂'sin <n, DA>MDA所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是手.3 .(2018全國卷II)如圖，在三棱錐P 48C中，AB=BC = 2&, PA = PB =PC = AC = 4,。為4c的中點.(1)證明：PO_L平面ABC;(2)若點M在棱8c上，且二面角M-%-C為30。，求PC與平面以M所成 角的正弦值.解(1)證明：因為以二PC二AC=4,。為AC的中點，所以POL4C,且尸。 二 2yj3.連接08.因為A8 = BC =坐A

20、C,所以48C為等腰直角三角形，ROB1AC,1OB = AC=2.由 PO2 + OB2 = PB2,知尸。_L OB.由 PO1OB, PO1AC, ACQOB = O,知尸。_L平面 ABC(2)如圖，以。為坐標原點，改的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直 角坐標系Oxyz.由已知得 0(0,00), 8(2,0,0), 4(0, 一 2,0), C(0,2,0), P(0,0,2小),則成二 (0,2, 2小)，取平面布C的法向量歷二 (2,0,0).設(shè) M(a92 一 4,0)(04W2),貝IjAM = (,4 一0).設(shè)平面以M的法向量為 = (x, y, z).由Q = o

21、2y + 26z = 0, ax + (4 - a)y = 0,可取 n =(小(- 4),小u, 一 a),-一2品a - 4)所以 cos08, /> = 一/、；2yj3(a - 4廠 + 3。- + cr由已知得Icos <OBt n> I=凈.、2 小 la-41.所以 213(a - 4)2 + 3/ + a? 24解得4= - 4(舍去)，4=g.而2(83 434所以=- 3)-又無二(0,2, -25)，所以cos 屁，邛.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為坐二、模擬大題4. (2019宿遷模擬)如圖所示，在四棱柱ABC。-48C0I中，底面為平行四 邊形

22、，以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60。.()求AG的長；求證：4Gl8。；(3)求85與4c夾角的余弦值.解 (1= a, AD = b, AA =c,則 lai = I6I = Icl = 1, <a, b> = <.b, c=<c, a> = 60°.所以“力二8c二c4 =5.lACil2 = (“ + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + be + ca) = 1 + 1 + 1 + 2X2 + 2)所以二班，即AG的長為的.(2)證明：因為公 1=“ + +c, BD = b-a.所以ACrBO = (a +b

23、+c)(b - a)= ab + b2 + bc - lai2 -a b -ac-be-ac=Iftllclcos60° 一 k/llclcos60O = 0.所以 cos <BD, AC)BDrAC y6IBDilLACI所以彷，所以AG1.8D (3)因為詬 i =b + c-aAC = a+b, 所以I防il二近，IACI = V3, BD AC = b +c - ay (a + ) 二2 一 ir + a c + bc - 1.所以BDi與AC夾角的余弦值為平.5.（2020衡陽高三階段測試）如圖，正ABC的邊長為4, CO為A8邊上的高,E,6分別是AC和8c邊的中點

24、，現(xiàn)將aABC沿 8 翻折成直二面角試判斷直線A8與平面OE尸的位置關(guān)系，并說明理由；BP在線段8C上是否存在一點P,使401。£?如果存在，求出元的值；如果 不存在，請說明理由.解(1)AB II平面DEF,理由如下：在48C中，由E,尸分別是AC, 8c的中點，得EFIIAB.又因為ABQ平面。ER EFU平面DEF,所以A8/平面DEF.以點。為坐標原點，直線。8, DC, D4分別為x軸，)，軸，z軸，建立空 間直角坐標系(如圖所示)，則。(0,00), 4(00,2), 8(2,00), C(0,2小,0), E(0,小, 1),故無=(0, y/3, 1).假設(shè)存在點P(X, >2)滿足條件,貝lj4P = (x, y, - 2), AP-DE =-2 = 0,所以y=¥.又麗二(x-2, yO