材料力學(xué)重點公式復(fù)習(xí)

1、材料力學(xué)期末重點公式復(fù)習(xí)1、材料力學(xué)的任務(wù)：強度、剛度和穩(wěn)定性;應(yīng)力 單位面積上的內(nèi)力。平均應(yīng)力 Pm (1.1)A人F dF全應(yīng)力 p lim pm lim -(1.2)A 0 A 0 A dA正應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號 表示。切應(yīng)力相切于截面的應(yīng)力分量，用符號 表示。應(yīng)力的量綱：線應(yīng)變 單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點沿某一方向變形 量的大小。外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來計算當功率P單位為千瓦(kW,轉(zhuǎn)速為n (r/min )時，外力偶矩為當功率p單位為馬力(ps),轉(zhuǎn)速為n (r/min )時，外力偶矩為拉(壓

2、)桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計算公式為FN (3-1)A式中Fn為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負號規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負 。公式(3-1 )的適用條件：(1)桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉(壓)桿件；(2)適用于離桿件受力區(qū)域稍遠處的橫截面；(3)桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻;(4)截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角200時拉壓桿件任意斜截面(a圖)上的應(yīng)力為平均分布，其計算公式為全應(yīng)力 P cos (3-2)2正應(yīng)力cos (3-3 )1 . 一切應(yīng)力sin 2(3-4)2式中

3、為橫截面上的應(yīng)力。正負號規(guī)定：由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩的為正，反之為負。兩點結(jié)論：(1)當 00時，即橫截面上，達到最大值，即max。當 =900時，即縱截面上,=900 =0。(2)當450時，即與桿軸成450的斜截面上,達到最大值，即()max21 . 2拉(壓)桿的應(yīng)變和胡克定律 (1)變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。圖3-2軸向變形l li l軸向線應(yīng)變橫向變形b b bb橫向線應(yīng)變一正負號規(guī)定伸長為正，縮短為負。b(2)胡克定律當應(yīng)

4、力不超過材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即E (3-5)或用軸力及桿件的變形量表示為l 詈 (3-6)式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即p；p(b)在計算l時，l長度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計算，求其代數(shù)和得總變形。即l兇 (3-7)i i BA(3)泊松比當應(yīng)力不超過材料的比例極限時，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值。即表1-1低碳鋼拉伸過程的四個階段一 （3-8）階段圖1-5中線段特征點說明彈性階段oab比例極限pp彈性極限ep為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力e為不產(chǎn)生殘

5、余變形的最高應(yīng)力屈服階段bc屈服極限ss為應(yīng)力變化不大而變形顯者增加時的最低應(yīng)力強化階段ce抗拉強度bb為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2主要性能指標性能性能指標說明彈性性能彈性模量E當p時，E 一強度性能屈服極限s材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強度b材料的最大承載能力塑性性能延伸率上100%l材料拉斷時的塑性變形程度截面收縮率AA 100%A材料的塑性變形程度強度計算許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料 =s-;脆性材料 =一% 。其中上,小稱為安全系數(shù)，且大于 1。強度條件：構(gòu)件工作時的最大工作應(yīng)力不得超過

6、材料的許用應(yīng)力。對軸向拉伸（壓縮）桿件N（3-9）A按式（1-4）可進行強度校核、截面設(shè)計、確定許克載荷等三類強度計算。2.1 切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交 線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無關(guān)。2.2 純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3 切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2.4 剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即G （3-10）式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個彈性常數(shù)為彈性模

7、量E及泊松比 ），其數(shù)值由實驗決定。對各向同性材料，E、G有下列關(guān)系GE(3-11)2(1)2.5 .2切應(yīng)力計算公式橫截面上某一點切應(yīng)力大小為(3-12)式中Ip為該截面對圓心的極慣性矩,為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為maxTWt(3-13)式中Wt 4稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)R為圓截面半徑。R2.6 .3 切應(yīng)力公式討論（1） 切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。（2） 極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) Wt是截面幾何特征量，計算公式見表 3-3。在面積不變情況下，材

8、料離散程度高,其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強。因此，設(shè)計空心軸比實心軸更為合理。表3-3實心圓（外徑為d）空心圓 （外徑為D, 內(nèi)徑為d）2.7 .4強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強度條件為maxWt max(3-14)對等圓截面直桿TmaxmaxWt(3-15)式中為材料的許用切應(yīng)力。3.1.1 中性層的曲率與彎矩的關(guān)系MEH(3-16)式中，是變形后梁軸線的曲率半徑;E是材料的彈性模量；I E是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。3.1.2 橫截面上各點彎曲正應(yīng)力計算公式(3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；Iz的意義同上;y是欲

9、求正應(yīng)力的點到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠點處max MImaxaxM maxWz(3-18 )式中，Wz衛(wèi)稱為抗彎截面系數(shù)。對于h b的矩形截面,ymaxWz12-bh ;對于直徑為6D的圓形截面,Wz一 D3;對于32d內(nèi)外徑之比為a d的環(huán)形截面， Wz D3(1 a4)。D32若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等,3.2梁的正應(yīng)力強度條件若不是對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達式為M max max , ,Wz(3-19)對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁(如 表達為T字形截面、上下

10、不等邊的工字形截面等)，其強度條件應(yīng)M maxl maxy1I z(3-20a )M maxy maxy 2I z(3-20b)式中， t , c分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力; cy1, y2分別是最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點距中性軸的距離。3.3 梁的切應(yīng)力QS(3-21)Izb式中，Q是橫截面上的剪力；Sz是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；I z是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。3.3.1 矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計算公式6Q h22bh3(3-22 )最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點處,3

11、Qmax2 A9597%因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為一 一, 2Q B 2,2 b h 2一 H h 一 一 yIzb 82 4(3-23)近似計算腹板上的最大切應(yīng)力:max-F3 d為腹板寬度h1為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距dh3.3.2 工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為2_Q d 2dQSz Q 8 34QmaxIzbA 3A(3-25 )3.3.3 圓形截面梁橫截面上同一高度各點的切應(yīng)力匯交于一點,圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。3.4

12、 切應(yīng)力強度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即QmaxSzmaxmaxIzb(3-26)式中，Qmax是梁上的最大切應(yīng)力值；Szmax是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩;Iz是橫截面對中性軸的慣性矩；b是max處截面的寬度。對于等寬度截面,max發(fā)生在中性軸上，對于寬度變化的截面,max不一定發(fā)生在中性軸上。4.2剪切的實用計算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的,則名義切應(yīng)力為(3-27 )剪切強度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力(3-28 )5.2擠壓的實用計算名義擠壓應(yīng)力 假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則bsbs(3-29 )當擠壓面為平面時

13、為接觸面面積,擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力bsbs(3-30 )式中，Abs表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。投影面積。當擠壓面為曲面時為設(shè)計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的1 ,變形計算的兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為圓軸扭轉(zhuǎn)時，任意兩個橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。相距為l T,，一0工一dx (rad) (4.4)GI p若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為Tl(rad) (4.5)GI p圖4.2式中G1P稱為圓軸的抗扭剛度。顯然,的正負號與扭矩正負號相同。(4.14)2EA公式(4.4 )的適用條件:(1) 材

14、料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即(2) 在長度l內(nèi)，T、G Ip均為常量。當以上參數(shù)沿軸線分段變化時，則應(yīng)分段計算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即n型i 1 GJpi(rad) (4.6)當T、Ip沿軸線連續(xù)變化時，用式(4.4)計算。2,剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角max不得超過許可的單位長度扭轉(zhuǎn)角,即TmaxmaxGI P(rad/m)(4.7)Tmax 180maxGT7一(/m)(4.(8)2,撓曲線的近似微分方程及其積分在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時，得到彎矩與曲率的關(guān)系對于跨度遠大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微

15、量，得 撓曲線的近似微分方程(4.(9)將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為M x dx CEI(4.(10)再積分得撓曲線方程M xdx dx Cx DEI(4.11 )式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當梁分為若干段積分時，積分常數(shù)的確定除需利用邊 界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3,梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即maxmax(4.12)3,軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得當桿件的橫截面面積A、軸力Fn為常量時，由胡克定律FnIEAFn2i(4.15)A將Me T與 0代入上式得GIP(4.16)桿單位體積內(nèi)的應(yīng)

16、變能稱為 應(yīng)變能密度，用V表示。線彈性范圍內(nèi),4 ,圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原 Vr圖4.5(1-4)根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度Vr：1Vrr2(4.17)5 ,梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時，由功能原理得2.將Me M與亙代入上式得V國(4.18)4.18）,積分得全梁的彎曲應(yīng)變圖4.6橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應(yīng)用式（能v ,即v M2xdx l 2EI(4.19)2.截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下:靜矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩-1所示。3 .慣性矩的平行移軸公式靜矩：平面圖形面積對某坐標軸的一次矩

17、，如圖I定義式：SyzdA, Sz ydAAA 量綱為長度的三次方。(I -1 )由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有M回的坐標AzdASy由此可得薄板重心的坐標Zc為Zc同理有yczC和yC。則所以形心坐標或 SyA ZcZcSyASz ASzASzyc了yc(1-2)由式（I -2 ）得知，若某坐標軸通過形心軸,則圖形對該軸的靜矩等于零，即ycSz0 ; Zc0 ,則 Sy 0 ；反之,若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標軸有關(guān)，其值可能為正，負或零。如一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第塊分圖形的面積為nyci, Zci ,則其靜矩

18、和形心坐標分別為SzAyCi,Syi 1'nA4ii 1n(1-3)Ai ,形心坐標為Ai yCii 1nAi i 1ZcSyAnAzi ZCii 1nAii 1§ 1-2慣性矩和慣性半徑慣性矩：平面圖形對某坐標軸的二次矩,如圖I-4所示。z2dAAIz Ay2dA(1-5)量綱為長度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義iz . I；, A(1-6)圖I4懂他斯的概念圖13.2為圖形對 y軸和對z軸的慣性半徑。組合圖形的慣性矩。設(shè)Iyi, Izi為分圖形的慣性矩,則總圖形對同一軸慣性矩為lynIzi i 1(1-7)若以 表示微面積dA到坐標原點O的距離，則定義圖形對坐標原點O的極慣性矩IP A 2dA(1-8)因為所以