2020屆全國各地高考試題分類匯編：07數(shù)列含答案

1、07數(shù)列】.(2。2。北京卷)在等差數(shù)列印中，q=T.記ZF4F(gLZ»,則數(shù)列彳().A有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項C.無最大項，有最小項D無最大項，無最小項【答案】B【解析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列 中是否存在最大項和最小項.d-a5-th _-1 + 9_2【詳解】由題意可知.等差數(shù)列的公差5-1 5-1,則其通項公式為：4 = 4+(*I)d=-9+(*1)x2="U注意至4<4<q<4<4<。<%=1<%<二旦隹Z<。可知Z<0(i之6,iwN)

2、¥=4>l(i*7,iwN)由可知數(shù)列I不存在最小項.由于 q =94 7% =-5,4 =-3, =-1a6 =1故數(shù)列4中的正項只有有限項; E工=515=M5故數(shù)列闖 中存在最大項,旦最大項為4.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學 思想等知識，屬于中等題.2 (2020北京卷)已知"是無窮數(shù)列.給出兩個性質：對于4中任意兩項/勺在4中都存在項，使外 -；° =或對于弧中任意項在4中都存在兩項外q">n.使得"% .（I）若q=<"=Lz-）,判斷數(shù)列，是否滿

3、足性質，說明理由；（II）若判斷數(shù)列是否同時滿足性質和性質，說明理由；（W）若%是遞增數(shù)列，且同時滿足性質和性質，證明：4為等比數(shù)列.【答案】（1）詳見解析；a。詳解解析；（W）證明詳見解析.【解析】（I）根據(jù)定義驗證，即可判斷；（11）根據(jù)定義逐一驗證,即可判斷；%=一（III）解法一：首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號.然后證明4 ,最后，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列,之后證得.，弓，4,4成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列,從而命題得證.Qq;仁2二%【詳解】（I）弓 2不具有性質；Q Vi, j w M,i >原=2加加

4、,方-六 N 立=02r 二4（II）勺勺具有性質；QV/ie JV*,n3,Bit = w-U = w-2,-= 2。3】=2*-1 = a".an ,具有性質；（III）【解法一】首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設恒為正數(shù)：顯然“。（“任”假設數(shù)列中存在負項，設M=g”k<。第一種情況：若乂 =i,即.ovqv，=<0 = <0由可知：存在阿，滿足% ，存在嗯，滿足 %,且=且由乂=1可知. ,從而4=4,與數(shù)列的單調性矛盾，假設不成立.N >2J =< v n第二種情況：若°由知存在實數(shù)勿.滿足 力 ,由小的定義可知:m<N另一方面

5、，4 %。由數(shù)列的單調性可知：m>N這與N的定義矛盾，假設不成立.同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.其次，證明 4 :利用性質：取" = 3.此時% =(>7)由數(shù)列的單調性可知而4 /%故無<3,此時必有無二么/=1公,即1最后,用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列: 假設數(shù)列4的前M無“3）項成等比數(shù)列,不妨設 =才。"$叫，其中4>0,夕 >，（口<。,°<夕<】的情況類似）衣 *a. 4g > 4t由可得：存在整數(shù)加,滿足%,旦2%】（*）由 :存在s>r,滿足：%=0, &g

6、t;at%°，由數(shù)列的單調性可知：fs無+1由r f V >可得:*)由（*）和（*）式可得："加產-叫/ 結合數(shù)列的單調性有：之無一1,注意到均為整數(shù)，故無=2$一1_1, 代入（*）式，從而總上可得，數(shù)列的通項公式為：4=qd".即數(shù)列%為等比數(shù)列.【解法二】假設數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：4=4（無1）首先利用性質：取" = 3.此時%,由數(shù)列的單調性可知而 %,故無3,此時必有比=21=1,即 q即44'%成等比數(shù)列，不妨設勺=，9' =.（夕1）,= = 3然后利用性質：取=%/=2,則% qq ,即數(shù)列中必然存在一項的值為4才

7、下面我們來證明否則，由數(shù)列的單調性可知44,.在性質中，取” = 4,現(xiàn)” %從而無4,a二五與前面類似的可知則存在£'uLZ3。/）,滿足/出al .4=，=時若上=4 = 2,則：,與假設矛盾；4=qq4 *若上=31 = 1,則：%,與假設矛盾；q = =qg =4若* = 2J = 1,則：4,與數(shù)列的單調性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)可見4 若不成立,從而勾二*,同理可得：q=qq4=q"/二從而數(shù)列%為等比數(shù)列.同理，當數(shù)列中的項數(shù)均 為負數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負,不會同 時出現(xiàn)正數(shù)和負數(shù).從而題中的結論得證

8、,數(shù)列4為等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列的綜合運用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質的應用，數(shù)學歸納法 與推理方法、不等式的性質的綜合運用等知識,意在考查學生的轉化能力和推理能力.3. （2Q20 全國1卷）設包）是公比不為1的等比數(shù)列，為弓，巧的等差中項.（1）求的公比；（2）若q=i求數(shù)列叫）的前頁和.S =1-。+3項-2）”【答案】-2 ; （2）9【解析】（1）由已知結合等差中項關系，建立公比的方程.求解即可得出結論；（2）由（1）結合條件得出包）的通項,根據(jù)也）的通項公式特征，用錯位相減法，即 可求出結論.【詳解】（1）設口的公比為4 %為的等差中項,v2q =4十4一2 =0 -：q

9、 =q = -2 .，f設值）的前力項和為耳，q=LqNF*4,=lxl+2x（）+3x（2）2+-+w（-2r1 i否,二 1 乂（）+2 xJ2）2 +3 乂（4 + <"IX。1 4 O o一得 珥=1+（-2）+（-2彳+-+（-2產-4-2）”_«2），= 1-（1 + 3*2）”_ 1-（1 + 3取-2），1-（-2）3n 9I【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質，以及錯位相減法求 和，考查計算求解能力，屬于基礎題.4. （2。20全國2卷）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），

10、環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊,已知 每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）A. 3699 塊B. 3474 塊C. 3402 塊D. 3339 塊【答案】C【解析】第門環(huán)天石心塊數(shù)為可，笫一層共有環(huán)，則乜是以9為首項，9為公差的等 差數(shù)列,設g為也)的前項和，由題意可得心一邑二JT+729解方程即可得到小進 一步得到邑”.【詳解】設第環(huán)天石心塊數(shù)為可，第一層共有力環(huán)，則是以9為首項,9為公差的等差數(shù)列,q =9+5-1)x9=！設為包的前項和，則笫一層、第二層、第

11、三層的塊數(shù)分別為因為下層比中層多729塊,所以£一與二電一與”293(9 + 27) 2(9+18) 2(9 +18) (9 + 9)十、觸即 2222 一 十即91 =729,解得。=9,所以“與27(9 + 9x27)=3402故選：?！军c晴】本題主要考查等差數(shù)列前項和有關的計算問題，考查學生數(shù)學運算能力，是一 道容易題.5 (2Q20全國2卷)數(shù)列依中，4=2*=44若+i+，+2+-T4J0 =*一爐則上=()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】取m = L可得出數(shù)列4是等比數(shù)列.求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關于無的等式，由可求得A的值.:.1

12、rt = 2【詳解】在等式聯(lián)中，令雁=1,可得4所以，數(shù)列%是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則4=2x21=2"4川京 1 +aM ,»_ 0H4O =1-21-2= 2i41(210-l) = 25(2*0-l)：.2m=2則無十1 = 5.解得無=4.故選：c.【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關鍵就是求出數(shù)列的通項公式, 考查計算能力，屬于中等題.6. （2Q20全國2卷）01周期序列在通信技術中有著重要應用.若序5IJ 3< 滿足，w°G = L2l）,且存在正整數(shù)膽.使得"=，（"L2.）成立，則稱其為。一1

13、周期序列，并稱滿足/= ）的最小正整數(shù)所為這個序列的周期.對于周期為次的o=S* aa ,（上=L2 m 1）1序列 用二”是描述其性質的重要指標，下列a*）W =G=L2A4）周期為5的01序列中，滿足 5的序列是（A 110MX -【答案】CB 11011 -c 10001 -D 11001 -【解析】根據(jù)新定義,逐一檢驗即可【詳解】由知，序列4的周期為凡由已知，m = 5C(k) = W工年四 * = L2343 ”，對于選項4C(l) =殳=；34+師+44 +.6+64)=：(1+0+0+0+0)=:；D 41JIID12。(2) = £2嘰2=£3勾+ 44+4

14、6+44+的)=式0+1+0+1+0) = £5*$55,不滿足；對于選項B.53CQ) = R-i =£04+46+44+44+4)=1(1+0+0+1+1) = 1 3*555,不滿足；對于選項D,12C(l) =三2勾加+% +64 +16 +.)=£(1 +0+0+0+1) = -,T355,不滿足； 故選：C【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學生對新定義的理解能力以 及數(shù)學運算能力，是一道中檔題.7. (2Q20全國3卷)設數(shù)列4滿足& = 3, Ji=3, 一而(1)計算S,的,猜想%的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列2叼的

15、前n項和S” .【答案】(1) 4=5, % = 7, 4=垢1證明見解析；q=OT.*+2.【解析】(1)利用遞推公式得出4'4.猜想得出4的通項公式，利用數(shù)學歸納法證明 即可；(2)由錯位相減法求解即可.【詳解】(1)由題意可得4*一4=9-4=5, 4=物-8=15-8=7由數(shù)列4的前三項可猜想數(shù)列4是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列,即4=*+1證明如下：當”=1時,q=3成立；假設時，/=%+】成立.那么=無+1時，喙尸4_毋=又24+1)映=%+3=2(2+1)+1也成立則對任意的，都有4=備+1成立；由可知，42"=(2w+D2"Sn = 3x2+5x2

16、2+7x23 +-+(2w-1)-2 +(2w+1)2" 風=3x2" +5X23 +7x2* +t(2m1)2 +(2n+l)2 由-得廠.=6+2小+爐+-+2”)心+1>2川22x(1-21)= 6+2x-(2w + l)-2* =Q_» 2m*_2即星二伽-*+2【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中 檔題.8. （2Q20江蘇卷）設4是公差為d的等差數(shù)列，“,是公比為g的等比數(shù)列.已知數(shù)列%+%的前月項和也.2 foi wN）則d+g的值是【答案】4【解析】結合等差數(shù)列和等比數(shù)列前均頁和公式的特點，分別求得，

17、'但的公差和公 比,由此求得d+牝【詳解】設等差數(shù)列4的公差為"，等比數(shù)列2的公比為?根據(jù)題意q*等差數(shù)列的前題和公式為" i +d0 _4（1-/）_“門）等比數(shù)列的前,項和公式為"_qg _p °it /I + 2W 1 = -JI2 +依題意列F "即224-=-i通過對比系數(shù)可知110故d+q = 4 .故答案為：4【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前用項和公式,屬于中檔題.9. (2020 江蘇卷)已知數(shù)列("'")的首項由=1,前"項和為蘇.設4與k是常12.1數(shù)，若對一切正整數(shù)

18、均有$“產一$了=2口”，成立,則稱此數(shù)列為勺*，數(shù)列.(1)若等差數(shù)列4是以-1”數(shù)列.求】的值;(2)若數(shù)列4是“9一2”數(shù)列，且4>o,求數(shù)列"的通項公式；(3)對于給定的兒是否存在三個不同的數(shù)列"為睨-3數(shù)列，且啟0?若存在，求才的 取值范圍；若不存在,說明理由， 【答案】1a 5 = 1一 口尸，心2(3) 0<2<1【解析】(1)根據(jù)定義得加一="褊，再根據(jù)和項與通項關系化簡得.褊，最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結果；(St -力o 爾(2)根據(jù)定義得3,根據(jù)平方差公式化簡得'求得9即得q；1 1 1(3)根據(jù)定義得S/一3=九。1

19、二利用立方差公式化簡得兩個方程.再根據(jù)方程解的個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，解得結果【詳解】(1)心 sn =小 ,1 =" Qq =1二% #o"二i(2) Q。；&共二sf _£>。QS3s (/ -£)，=2's:xsf 十£)+sj).SJ爾:加F.2 =4" :S=%=1 2=尸.4=474"2=34"_2/22 I，L"=l"3 4*-n>2 b(3)假設存在三個不同的數(shù)列4為4-3"數(shù)列. -1=二(S/ - sjy=尤(Si-SJ sj =s(sj

20、 -s)Y =AsJ +d +1M)；/=耳或（紀+（尤_1A； +（無+2月=0.對于給定的4,存在三個不同的數(shù)列%為,2-3,數(shù)列，且4'° a = L = 122i i一 ” 一&之2或（不一1）+（矛DS:+（才+2»升fsj =0（4/1）有兩個不等的 正根.3 ta1 +但-Dsj +3 +2）sjsj =o（" i）可轉化為（£T” +-） + d” = °（A #1）隹F = x（x > 0）S；S；,襁設,則（力6 +（32）工+優(yōu)-1）=。（姓1）有兩個不等正根設/（x）=（23 -l）x2 +（23

21、+2）x+（23-1）=0（21） 當之<1時，A=（無+2）? 4（才T）?>0=>0<無<4即0v2Vl此時（）,滿足題意. 當義1時，A=（無+2?-4（無TJ?O=Ov尤4即1為®此時/（0）= 23-1>0更嚴。改之一D ,此情況有兩個不等負根，不滿足題意舍去.綜上，021【點睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步，考查綜合分析求 解能力，屬難題.10. （2020新全國1山東）將數(shù)列幼-1與勿-2的公共項從小到大排列得到數(shù)列%,則冊的前幾項和為.【答案】獷-%【解析】首先判斷出數(shù)列也“-1與3"一2項的特征

22、，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構 成新數(shù)列的首項以及公差,利用等差數(shù)列的求和公式求得結果.【詳解】因為數(shù)列切一1是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列自“一2是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列4是以1為首頂，以6為公差的等差數(shù)列，所以W的前為頁和為2.故答案為：獷-2".【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題,涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構成新 數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.11. （2020新全國1山東）已知公比大于1的等比數(shù)列卬滿足% + % = 20,.=8 .（1）求也）的通項公式；（2）記”為在區(qū)間（°，ml（E

23、eN）中的項的個數(shù)，求數(shù)列SG的前100項和占00 .【答案】4"；儂【解析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉化為q夕的形式，求解出q由此求得 數(shù)列4的通項公式.（2）通過分析數(shù)列"力的規(guī)律，由此求得數(shù)列出力的前10°項和$叫【詳解】（1）由于數(shù)列“是公比大于1的等比數(shù)列，設首項為,公比為用依題意有.q + .q = 201砧 ，解得解得q=z4=2,或.=32，”5（舍），所以4=?所以數(shù)列的通項公式為二2".（2）由于緩二室雪二人爐所以可對應的區(qū)間為：（°,則4=°；&抱對應的區(qū)間分別為：（°閨他可，則4=4

24、=1,即有經1；4也44對應的區(qū)間分別為：（M，（o,6,（o,7則4 =a=4 % =2,即有2,個2；4,砥4對應的區(qū)間分別為：（0,8,（o,9, ,（0,15則4 ='=i='=3即有 個個3 ；4星一內對應的區(qū)間分別為：（°>16>（°>17> >（°>31則4 =%=-=4=4,即有24個4；%也也對應的區(qū)間分別為:（0,32,（0,33, ,（0,63則=%=%=5,即有25個5； %也，舌00對應的區(qū)間分別為：（o,磯（0,65,（0,100,則%=%= =4oo=6 即有 37 個 6.所以 A

25、oo+5x25+6x37 =480【點睛】木小題主要考查等比數(shù)列基木量的計算，考查分析思考與胡決間的能力，屬于中 檔題.12. （2020天津卷）.已知%為等差數(shù)列，始為等比數(shù)列，=1,q=5（%-4）,在=4（4-4）（I）求4和外的通項公式；di）記的前，項和為名，求證:s«A*2s%Mn）（34一2泡,郵數(shù)r _42為偶數(shù).£ ）（III）對任意的正整數(shù)力設I11求數(shù)列1弓）的前2/1項和.406/1+5 4【答案】（1 ） 4="4=2 ；（H）證明見解析；（Hl） 2n+l 9x4n 9【解析】（I）由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列

26、的通項公式得到結果；皿利用（I）的結論首先求得數(shù)列4前項和，然后利用作差法證明即可；皿）分類討論月為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相多c 減求和計算z 和z 的值.據(jù)此講一步計算數(shù)列' ”的前2項和即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列%的公差為d ,等比數(shù)列的公比為g.由4=1生=5（'色）可得4.從而圖的通項公式為4="由"=L'=4（4-4）,又分o,可得才-佝+4=0,解得g = 2,從而聞的通項公式為"=21Kl.s _ 3 + 1）（II）證明：由（1河得" 丁、5.5- 2 = ：+ IX&qu

27、ot; + 2X« + 3） = 1（/1 +1）2 （« + 2）2故4,4,從而所以2蹬1.C _(34 _2泡 _ (3_2)2T _*n-1(III)當為奇數(shù)時，" 勺加成"+2)+2 nc % j -當為偶數(shù)時. %2M 2"22左+1 2上一1221r 1 2n+l22 %-1 = Z對任意的正整數(shù)必有I 日斗-二|3 "1 22 2n-l 4l 4"J 1 2w-l淬”門"-彳LFT-«F由前45一12 =1 - 4X1/1 - 41V2 - 32 - 3=1二2n4"-1 - 4

28、X3從而得:5 6h+5一5一 9x4”因此,2。片”*=2弘1+2?2* =Jb=lJb=lJb=l4W 6n+5 42/1+1 9x4” 5,所以，數(shù)列匕的前弱項和為4”6w+5 42n+l 9x4" 9【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解.分組求和法，指數(shù)型裂項求和，錯位相減求 和等，屬于中等題.a =心 - -13. （2U2U浙江卷）已知數(shù)列冊滿足"2,則& =.【解析】根據(jù)通項公式可求出數(shù)列4的前三項，即可求出.（"叫_ _ _【詳解】因為、2,所以4=3 =加=6即y=q +4 +q =1+3+6=10故答案為：1°【點睛】本題主

29、要考查利用數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列中的項并求和，屬于容易題.14. （202。浙江卷）已知數(shù)列%, «, <?）+,b.（I）若數(shù)列s”為等比數(shù)列,且公比q>°,且4+4=33.求9與%的通項公式；,C. +C, 4- + C, <1 + （II）若數(shù)列“,為等差數(shù)列,且公差d>°,證明：d ,14+2【答案】"萬3；（）證明見解析.【解析】 根據(jù)4+% =。，求得2進而求得數(shù)列卜）的通項公式，利用累加法求得數(shù) 列4的通項公式.（II）利用累乘法求得數(shù)列"J的表達式，結合裂項求和法證得不等式成立.【詳解】依題意4=3=她=

30、/，而4+ % = %即Llq=6/,由于q>0,所Q = b =以解得 2,所以. “"2. +1.所以 2 .故11浦=丁彳=4q尸,所以數(shù)列?是首項為L公比為4的等比數(shù)列，所以G 2所以-4=尸尸.所以4=”】+4+亡=一=A_（0依題意設2T+（T）d = .+ld由于q 一晨2% =21 所以* % (之【點睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項公式,考查裂項求和法，屬于中檔 題.15. （2020上海卷）己知4是公差不為零的等差數(shù)列，且q+,=%,則q +% +/ _%【答案】2816. （2020上海卷）有限數(shù)列紅,若湎足|一4目q弓區(qū)一口.一而是項數(shù)，則稱也滿足性質p.（1）判斷數(shù)列3,左54和4,3,25是否具有性質，請說明理由.（2）若q=L公比為g的等比數(shù)列，項數(shù)為10,具有性質尸，求g的取值范圍.（3）若q是L2,.的一個排列10ML2.mnqJ,他J都具有性 質p ,求所有滿足條件的包.【答案】(1)對于第一個數(shù)列有|2 3卜1J53卜2J1 3|=2,滿足題意，該數(shù)列滿足性質尸對于第二個數(shù)列有13 -