24內(nèi)積空間中的正交性

1、2.4內(nèi)積空間中的正交性Inner Product Spaces and Orthog on ality在三維空間中，如右圖 1所示任取一平面 M，空間中的每一個矢量 x必能分解成兩個直 交的向量和，其中一個向量x0在平面M上，另一個向量 z與平面M垂直，即x x0 z，X) z 這種向量的分解形式，在一般的內(nèi)積空間是否成立？圖2.4.1三維空間向量的分解，向量XX0z，其中 X0z正交分解定義正交設X是內(nèi)積空間，x, y X，如果(x, y) 0，則稱x與y正交或垂直，記為x y .如果X 的子集A中的每一個向量都與子集 B中的每一個向量正交， 則稱A與B正交，記為A B .特 別記x A，

2、即向量x與A中的每一個向量垂直.定理勾股定理設X是內(nèi)積空間，x, y X，若x y，則xy? x| y .2證明|x y (x y, X y)(x,x)(X, y) (y,x) (y, y)(x,x) (y,y)x2 y2.口注1:在內(nèi)積空間中，是否存在|x y X |八 x y?顯然由2 2 2IIx y|(x,x)(x, y) (x, y) (y,y)|x| |y 2Re(x,y),可知在實內(nèi)積空間中|x y|2 |x|2 |y|2 x y成立.定義 正交補 Orthogonal complement設X是內(nèi)積空間，M X，記M x|x M,x X,則稱M為子集M的正交補.顯然有X 0,0

3、 X 以及 M I M0 性質(zhì)2.4.1設X是內(nèi)積空間，M是X的閉線性子空間.證明是X的線性子空間x, yy,z) ( x,z) ( y,z)(x,z)(y,z) o ,(2) M設僅，因此M是X的閉子空間M ，且依范數(shù)是X的線性子空間.Xnx (n，有(x°,z) (lim x,z) lim(x,z)nn因此xo M ，即M是X的閉子空間口注2:由于完備度量空間中的子空間完備的充要條件是子空間閉，因此在Hilbert空間中(完備的內(nèi)積空間)，任意子集M的正交補M是完備的子空間，即Hilbert空間的正交補 M也 是Hilbert空間.定義正交分解設M是內(nèi)積空間X的子空間，x X，如

4、果存在X。 M,z M ，使得x X。z，則稱x 為x在M上的正交投影或 正交分解.引理設X是內(nèi)積空間，M是X的線性子空間，x X，若存在y M，使得x y d(x, M)，那么 x y M .證明 令z x y，若z不垂直于M，則存在y M，使得(z, yj 0 ,顯然y 0 .因為 K，有2zyi(zyi,zyi)/(yi,z) 一(z,yj一(,%)一(z, yi)(yi,z) 一(yi,yj特別取一，則可得(y ,yi)z yi2 _一(z, yi)z22 2X y d (x,M ),即知zyi | d(x,M ).又由于 yi M，所以zyiyix (y yj d(x,M).產(chǎn)生矛盾

5、,故 x y M 口定理2.4.1投影定理是Hilbert空間H的閉線性子空間，貝UH中的元素x在M中存在唯一的正交投影,xXoz，其中 Xo M , z證明(1)尋找X。進行分解.H，設 d(x,M ) inf Xy0,則存在%M，使得yna (n首先證yn是M中的基本列，因為m,nym yn|(ym X)(x yn) 22 ymX2 2Xyn(ym X)(X2 ymx|2 x yn142(ymyn)因為ym，yn M及M是子空間,1知-(ym yn)M，所以 i(ym yn) x2 ym X2 2x yn2 24a o(m, n )Xo(n)，則有故yn是M中的基本列，又因m是閉子空間，即

6、為完備空間，所以yn是M中的收斂列. 妨設ynXX。 d(x,M ).Xo，因此有XXoz，其中Xo且根據(jù)前面引理知 z M分解的唯一性.假設還存在XiziM使得x Xizi，那么有o (Xo Xi)(z z) , z zi0(0,W)(y'z',y')(y',y')(z',y') y'可見y' 0及z' 0，即0的分解具有唯一性.口例證明在內(nèi)積空間上，x y的充要條件是K有x y |x .證明 必要性 若x y，則有(x, y) 0 ,K有(x, y) (x,y)0 ,于是由勾股定理得：x y2 x2y2x2 .

7、充分性 若K有xy x，且y 0時，0 x y2 x2(x y, x y)(x,x)(x,x)(y,x)-(x,y)(y,y)(x,x)(y,x)一 (x,y)(y,y)特別取(x,y)，于是，(y,y)0 xy2 x2(x, y)(y,x)(x,yf 0(y, y)|y|故(x, y) 0，即卩 x y .口2.4.2標準正交系在三維空間中，任何一向量可寫成ae a2paaaQ，其中e (1,0,0) , e2(0,1,0) ,e3(0,0,1), a!( ,e), a2( g) , as ( ,&),顯然當i j時，e ej ,而(e,e)1可見 (，e)e (,氏)氏(,es)e

8、3,那么在有限維內(nèi)積空間中是否具有同樣的結論呢?定義標準正交系設X是內(nèi)積空間，&是X中的點列，若滿足(e,ej)則稱巳為X中的標準正交系例在n維內(nèi)積空間Rn中，向量組e (1,0,L ,0) , e2(0,1,0,L ,0) , L , &(0,L ,0,1),是Rn的一個標準正交系.口例24.3在I2中，向量en軸鼻加,。，Ln,0, L ) (n 1,2, L )，則en是I的一個標準正交系.口例2.4.4 在l2,中，對于 仁gL2,，定義內(nèi)積為(f,g) 1f(t) g(t)dt則下列三組向量均是 L2,的標準正交系,genencosnx,n1,2,L ；e'n

9、enensin nx, n1,2,L ;* 11sin nx,n 1,2,L .口en eo,en,eneo,encos n x,e nen的任意有限個元素線性獨立，則稱注3:如果線性空間上中的點列en為線性獨立系.可驗證標準正交系是線性獨立系.設2鳥2丄©k是標準正交系巳的一個有限子集，如杲存在1, 2,L ,k K使得1 eni2en2Lkenk那么對于任意的j(1 j k)j (enj ,enj )( jenj ,enj )( tent ,編)t 1反過來，任何一個線性獨立系經(jīng)過正交化后為標準正交系.k(t ent , ij )t 1(o,ej o.定理2.4.2設g為內(nèi)積空間

10、X的標準正交系，殂©2丄，enken，記MspaNeen?丄，enk那么 x X , Xoi(X,enJen,是x在M上的正交投影即1XoM , xXo z， (x Xo)M .證明顯然人M，由于存在1, 2, L , kK，使得ykk(X(x,eni)eni,ii)i 1i 1kk(X, i%)(X, eni )eni,i 1i 1kk_i(x, ei)一",金)(弘，ej o 口i 1i 1注4：上述定理中的M為k維閉子空間，作為內(nèi)積空間M與Rk同構，M也是完備的子(x Xo,y)kA)i 1li空間，根據(jù)投影定理， x在M上的正交投影x0唯一存在.定理2.4.3設xn

11、為內(nèi)積空間X中任意的一組線性獨立系，則可將人用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化為標準正交系en，且對任何自然數(shù)n，有kn)kn) KXn證明令e料，則有ie 1解 x2 (x2 ,e)e v2，即 v2e ,V2M1 ,得 V2 X2 (X2,e)e .令e2i：2，則有e2e，且有1兩X2記 M2 spanjGG,將 X3 在e2化：、1 , X2 (X2,e)e Ml© .V2 x1M2 上做正交分解 X3 (X3,e)e (X3,e2)e2 V3 ,則 V3 0 及V3M 2 ，得 V3X3V3(X3,e)e1 (X3,q)q，可令 e3，從而治llV3 IIx3是e,e2,e3的線性組合，q是nn(n)(n)k Q，耳k Xk ,k 1k 1同時 spanfe,巳,L ,q