運籌學-整數(shù)規(guī)劃建模ppt課件

1、第第6章章整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃北京理工大學珠海學北京理工大學珠海學院院廖愛紅廖愛紅aihongliao126本章內(nèi)容要點本章內(nèi)容要點 整數(shù)規(guī)劃相關(guān)概念整數(shù)規(guī)劃相關(guān)概念 整數(shù)規(guī)劃問題的普通特點整數(shù)規(guī)劃問題的普通特點 整數(shù)規(guī)劃建模舉例整數(shù)規(guī)劃建模舉例引例引例經(jīng)濟管理當中經(jīng)常存在人員分派問題，企業(yè)中有經(jīng)濟管理當中經(jīng)常存在人員分派問題，企業(yè)中有4個個人可以勝任人可以勝任4項不同任務(wù)的恣意一項，但是完成任務(wù)項不同任務(wù)的恣意一項，但是完成任務(wù)的效率有所不同。如表所示：的效率有所不同。如表所示：為了使得企業(yè)獲得最好的經(jīng)濟效益，應(yīng)該如何分派這為了使得企業(yè)獲得最好的經(jīng)濟效益，應(yīng)該如何分派這四個人完成四項不同任務(wù)？四

2、個人完成四項不同任務(wù)？ 6.1 整數(shù)規(guī)劃問題的提出整數(shù)規(guī)劃問題的提出6.1.1 問題特征問題特征 變量取值范圍是離散的，經(jīng)典延續(xù)變量取值范圍是離散的，經(jīng)典延續(xù)數(shù)學中的實際和方法普通無法直接數(shù)學中的實際和方法普通無法直接用來求解整數(shù)規(guī)劃問題。用來求解整數(shù)規(guī)劃問題。 不思索整數(shù)條件，由余下的目的函數(shù)和約束條件構(gòu)成的規(guī)劃問題稱為整數(shù)規(guī)劃問題的松弛問題。假設(shè)松弛問題是一個線性規(guī)劃問題，那么稱該整數(shù)規(guī)劃問題為整數(shù)線性規(guī)劃問題。 整數(shù)線性規(guī)劃問題的分類： 純整數(shù)線性規(guī)劃問題：要求全部變量均取整數(shù) 混合整數(shù)線性規(guī)劃問題：要求部分變量取值為整數(shù) 0-1整數(shù)線性規(guī)劃問題：決策變量取值為0或16.1.2 整數(shù)規(guī)劃

3、建模中常用的處置方法整數(shù)規(guī)劃建模中常用的處置方法1資本預(yù)算問題資本預(yù)算問題 設(shè)有設(shè)有n個投資方案，個投資方案，cj為第為第j個投資個投資方案的收益。投資過程共分為方案的收益。投資過程共分為m個個階段，階段，bi為第為第i個階段的投資總量，個階段的投資總量，aij為第為第i階段第階段第j項投資方案所需求項投資方案所需求的資金。目的是在各階段資金限制的資金。目的是在各階段資金限制下使整個投資的總收益最大。下使整個投資的總收益最大。設(shè)決策變量設(shè)決策變量xj為對第為對第j個方案的取個方案的取xj=1或舍或舍xj=0，可得到以下整數(shù)規(guī)劃問題，可得到以下整數(shù)規(guī)劃問題，是是01規(guī)劃。規(guī)劃。yjyjyjxxi

4、j 為整數(shù) 該問題的約束反映了第該問題的約束反映了第i個時期資金增個時期資金增長量的平衡。這里長量的平衡。這里aij代表第代表第i時期內(nèi)第時期內(nèi)第j項投資的凈資金流量：項投資的凈資金流量：aij0，表示，表示需附加資金；需附加資金；aij0，表示有附加資金的，表示有附加資金的數(shù)量；數(shù)量；bi0，表示要抽回資金的數(shù)，表示要抽回資金的數(shù)量。量。9例某公司思索今后五年內(nèi)給以下工程投資。例某公司思索今后五年內(nèi)給以下工程投資。工程工程A：每年年初可以投資，于次年末回收本利：每年年初可以投資，于次年末回收本利115% ，投資金額必需為，投資金額必需為1萬元的整數(shù)倍；萬元的整數(shù)倍；工程工程 B ：每年初可購

5、買公債，于當年末歸還，：每年初可購買公債，于當年末歸還，并加利息并加利息6%，投資金額必需為，投資金額必需為1萬元的整數(shù)倍；萬元的整數(shù)倍；工程工程 C：第：第2年初可以投資，到第年初可以投資，到第5年未能回收本年未能回收本利利140% ，投資金額必需為，投資金額必需為1萬元的整數(shù)倍；萬元的整數(shù)倍；工程工程D：第：第3年初可以投資，到第年初可以投資，到第5年未能回收本年未能回收本利利128% ，假設(shè)投資金額必需大于，假設(shè)投資金額必需大于2萬元；萬元；該部門現(xiàn)有資金該部門現(xiàn)有資金10萬元，問它應(yīng)如何確定給這些萬元，問它應(yīng)如何確定給這些工程的每年投資額，使到第工程的每年投資額，使到第 5 年末擁有的

6、資金年末擁有的資金本利總額為最大本利總額為最大? 10解：解：1) 設(shè)設(shè)xiA、xiB、xiC、xiD ( i 1，2，3，4，5)分別表示第分別表示第 i 年年初給工程年年初給工程A，B，C，D的投資額；的投資額；變量：變量： 第第1年年 第第2年年 第第3年年 第第4年年 第第5年年 A x1A x2A x3A x4A B x1B x2B x3B x4B x5B C x2C D x3D6.1.2 建模中常用的處置方法續(xù)建模中常用的處置方法續(xù)2指示變量：指示不同情況的出現(xiàn)指示變量：指示不同情況的出現(xiàn)P 例例.有有m個倉庫，要決議動用哪些倉個倉庫，要決議動用哪些倉庫，滿足庫，滿足n個顧客對貨物

7、的需求，并個顧客對貨物的需求，并決議從各倉庫分別向不同顧客運送決議從各倉庫分別向不同顧客運送多少貨物？多少貨物？11, 2,0():iiijiyimyxij動 用倉 庫令否 則為 指 示 變 量從 倉 庫 到顧 客 運 送 的 貨 物 量6.1.2 建模中常用的處置方法續(xù)建模中常用的處置方法續(xù)費用費用: fi:動用動用i倉庫的固定運營費租倉庫的固定運營費租金等金等 cij:從倉庫從倉庫i到到j(luò)顧客運送單位貨物顧客運送單位貨物的運費的運費約束條件：約束條件： i)每個顧客的需求量每個顧客的需求量dj必需得到滿必需得到滿足；足； ii)只能從動用的倉庫運出貨物。只能從動用的倉庫運出貨物。6.1.2

8、 建模中常用的處置方法續(xù)建模中常用的處置方法續(xù) ,2,1 10,2,1 ,2,1 0,2,1 0,2,1 .min111111miynjmixmidyxnjdxtsyfxciijnjjinjijjmiijmimiiinjijij或取足夠大的數(shù)，取足夠大的數(shù)，迫使當迫使當yi=0時，時，xij必需為必需為06.1.2 建模中常用的處置方法續(xù)建模中常用的處置方法續(xù)3線性規(guī)劃模型的附加條件線性規(guī)劃模型的附加條件在許多實踐問題中，線性規(guī)劃模在許多實踐問題中，線性規(guī)劃模型中的約束條件允許一定范圍型中的約束條件允許一定范圍的放寬或?qū)€別要素有進一步的放寬或?qū)€別要素有進一步限制時，?？山?jīng)過引入限制時，?？?/p>

9、經(jīng)過引入01變變量來處置。下面引見幾種情況，量來處置。下面引見幾種情況，作為一種建模思緒的啟示。作為一種建模思緒的啟示。不同時成立的約束條件。設(shè)某個模型不同時成立的約束條件。設(shè)某個模型問題中的約束條件不用同時成立，有問題中的約束條件不用同時成立，有m個線性不等式約束個線性不等式約束對每個約束引入一個指示變量對每個約束引入一個指示變量yi，并得，并得到每個約束左端的一個上界到每個約束左端的一個上界Mi(i=1,2,n)，建立以下不等式：，建立以下不等式：mibxainjjij, 2 , 1 1miMbyMxaiiiinjjij, 2 , 1 1 顯然，當顯然，當yi=1時，兩式等價；當時，兩式等

10、價；當yi=0時，第二個式子是恒成立，相時，第二個式子是恒成立，相當于除去了這個限制。當于除去了這個限制。 在實踐問題中，假設(shè)至少有在實踐問題中，假設(shè)至少有k個約個約束成立時，只需附加以下約束：束成立時，只需附加以下約束：kymii1最優(yōu)解中非零分量個數(shù)的限制。在許多實踐最優(yōu)解中非零分量個數(shù)的限制。在許多實踐問題中，對最優(yōu)解中的非零分量個數(shù)有所限問題中，對最優(yōu)解中的非零分量個數(shù)有所限制。類似上述分析可對每個決策變量制。類似上述分析可對每個決策變量xi找到找到其上界其上界Mi，并引入指示變量，并引入指示變量yi。附加下式。附加下式 6-4 6-5 式式6-5闡明，非零分量至多有闡明，非零分量至多

11、有k個。個。niyMxiii, 2 , 1 0kymii 1離散的資源變化。實踐問題中常出現(xiàn)以下離散的資源變化。實踐問題中常出現(xiàn)以下情況：不等式約束情況：不等式約束 表示右端的值可以有表示右端的值可以有k個等級的違背，而個等級的違背，而 ，這里，這里b0為最低的限制，在這為最低的限制，在這個限制下，不需付出代價；其他的限制個限制下，不需付出代價；其他的限制bii=1,2,k各需相應(yīng)付出代價各需相應(yīng)付出代價cii=1,2,k，自然有：，自然有：kibxainjjj,2, 1 1kbbbb210kccc21 某工廠擁有某工廠擁有A A、B B、C C 三種類型的設(shè)備，消費甲三種類型的設(shè)備，消費甲、

12、乙兩種產(chǎn)品。每件產(chǎn)品在消費中需求占用的設(shè)備、乙兩種產(chǎn)品。每件產(chǎn)品在消費中需求占用的設(shè)備機時數(shù)，每件產(chǎn)品可以獲得的利潤以及三設(shè)備可利機時數(shù)，每件產(chǎn)品可以獲得的利潤以及三設(shè)備可利用的時數(shù)如下表所示：用的時數(shù)如下表所示：問題：工廠應(yīng)如何安排消費可獲得最大的總利潤？問題：工廠應(yīng)如何安排消費可獲得最大的總利潤？案例案例 假設(shè)上表甲乙兩種產(chǎn)品利潤中僅未去除用電本錢。假設(shè)上表甲乙兩種產(chǎn)品利潤中僅未去除用電本錢。知：知： 用電用電500度以內(nèi)總本錢為度以內(nèi)總本錢為0；用電；用電1千度以內(nèi)總本錢為千度以內(nèi)總本錢為100元；元；1-2千度總本錢為千度總本錢為300元；元；2-3千度總本錢為千度總本錢為600元；元

13、；3千度以上本錢為千度以上本錢為1500元。元。用電量8070 在這種情況下，可以引入在這種情況下，可以引入01變量變量yi來把上來把上述情況模型化：用式述情況模型化：用式6-7和式和式6-8取取代式代式6-6 6-7 6-8 在目的函數(shù)上需加一項求在目的函數(shù)上需加一項求min時時 6-9 由此不難看出式由此不難看出式6-7以及式以及式6-8決議決議了式了式6-6中的一個式子成立，而式中的一個式子成立，而式6-9闡明把相應(yīng)的代價加到目的函數(shù)中。闡明把相應(yīng)的代價加到目的函數(shù)中。001kiiinjjjybxa11kiiykiiiyc16.2 6.2 整數(shù)規(guī)劃問題建模整數(shù)規(guī)劃問題建模整數(shù)規(guī)劃問題的特

14、征：整數(shù)規(guī)劃問題的特征： 變量取值范圍是離散的，變量取值范圍是離散的，在經(jīng)典延續(xù)數(shù)學中的實際和方法在經(jīng)典延續(xù)數(shù)學中的實際和方法普通無法直接用來求解整數(shù)規(guī)劃普通無法直接用來求解整數(shù)規(guī)劃問題，求解時需求技巧。問題，求解時需求技巧。24整數(shù)規(guī)劃建模整數(shù)規(guī)劃建模P305P305例例P305 S2.1 京成畜產(chǎn)品公司方案在市區(qū)的東、西、南、北四區(qū)京成畜產(chǎn)品公司方案在市區(qū)的東、西、南、北四區(qū)建立銷售門市部，擬議中有建立銷售門市部，擬議中有10個位置個位置 Aj (j1，2，3，10)可供選擇，思索到各地域居民的消費程可供選擇，思索到各地域居民的消費程度及居民居住密集度，規(guī)定：度及居民居住密集度，規(guī)定： 在

15、東區(qū)在東區(qū) A1 ， A2 ，A3 , 3 個點至多項選擇擇個點至多項選擇擇 2 個；個； 在西區(qū)在西區(qū) A4 ， A5 ，2 個點中至少選個點中至少選 1 個；個； 在南區(qū)在南區(qū) A6 ， A7 ，2 個點中至少選個點中至少選 1 個；個； 在北區(qū)在北區(qū) A8 ， A9 ， A10 ，3 個點中至少選個點中至少選 2 個。個。 25整數(shù)規(guī)劃建模整數(shù)規(guī)劃建模P305P305例例P305 S2.1 Aj 各點的設(shè)備投資及每年可獲利潤由于地點不各點的設(shè)備投資及每年可獲利潤由于地點不同都是不一樣的，預(yù)測情況見下表所示同都是不一樣的，預(yù)測情況見下表所示 (單位：萬單位：萬元元)。但投資總額不能超越。但

16、投資總額不能超越720萬元，問應(yīng)選擇哪幾萬元，問應(yīng)選擇哪幾個銷售點，可使年利潤為最大個銷售點，可使年利潤為最大?26解：設(shè)：解：設(shè)：0-1變量變量 xi = 1 (Ai 點被選用或點被選用或 0 (Ai 點沒被選用。點沒被選用。 這樣我們可建立如下的數(shù)學模型：這樣我們可建立如下的數(shù)學模型：Max z =36x1+40 x2+50 x3+22x4+20 x5+30 x6 +25x7+48x8+58x9+61x10s.t. 100 x1+120 x2+150 x3+80 x4+70 x5+90 x6 +80 x7+140 x8+160 x9+180 x10 720 x1 + x2 + x3 2 x

17、4 + x5 1 x6 + x7 1 x8 + x9 + x10 2 xj 為為0-1變量，變量， j = 1,2,3,10 軟件求解演示28例例P305 S2.2高壓容器公司制造小、中、大高壓容器公司制造小、中、大3種尺寸的金種尺寸的金屬容器，所用資源為金屬板、勞動力和機器屬容器，所用資源為金屬板、勞動力和機器設(shè)備，制造一個容器所需的各種資源的數(shù)量設(shè)備，制造一個容器所需的各種資源的數(shù)量如下表所示。每種容器售出所得的利潤分別如下表所示。每種容器售出所得的利潤分別為為 4萬元、萬元、5萬元、萬元、6萬元?？蛇\用的金屬板萬元?？蛇\用的金屬板有有500噸，勞動力有噸，勞動力有300人月，機器有人月，

18、機器有100臺臺月。此外，每種容器制造都要支付一筆固定月。此外，每種容器制造都要支付一筆固定的費用：小號是的費用：小號是l00萬元，中號為萬元，中號為 150 萬元，萬元，大號為大號為200萬元。如今要制定一個消費方案，萬元。如今要制定一個消費方案，使獲得的利使獲得的利 潤為最大。潤為最大。 整數(shù)規(guī)劃建模整數(shù)規(guī)劃建模29解：設(shè)解：設(shè)x1，x2， x3 分別為小號容器、中號容器和大號容分別為小號容器、中號容器和大號容器的消費數(shù)量。器的消費數(shù)量。 各種容器的固定費用只需在消費該種容器時才投入，各種容器的固定費用只需在消費該種容器時才投入，為了闡明固定費用的這種性質(zhì)，設(shè)為了闡明固定費用的這種性質(zhì)，設(shè)

19、 yi = 1(當消費第當消費第 i種容器種容器, 即即 xi 0 時時) 或或0當不消費第當不消費第 i種容器即種容器即 xi = 0 時時 引入約束引入約束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保充分大，以保證當證當 yi = 0 時，時，xi = 0 。數(shù)學模型：。數(shù)學模型：Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 500 2x1 + 3x2 + 4x3 300 x1 + 2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大充分大 xj 0 且為整數(shù)且為整數(shù) yj

20、 為為0-1變量，變量，j = 1,2,3 軟件求解演示31整數(shù)規(guī)劃建模整數(shù)規(guī)劃建模指派問題指派問題 有有 n 項不同的義務(wù)，恰好項不同的義務(wù)，恰好 n 個人可分別個人可分別承當這些義務(wù)，但由于每人專長不同，完成各項義務(wù)承當這些義務(wù)，但由于每人專長不同，完成各項義務(wù)的效率等情況也不同。現(xiàn)假設(shè)必需指派每個人去完成的效率等情況也不同?，F(xiàn)假設(shè)必需指派每個人去完成一項義務(wù)，怎樣把一項義務(wù)，怎樣把 n 項義務(wù)指派給項義務(wù)指派給 n 個人，使得完個人，使得完成成 n 項義務(wù)的總的效率最高，這就是指派問題。項義務(wù)的總的效率最高，這就是指派問題。例有例有4個工人，要分別指派他們完成個工人，要分別指派他們完成4

21、項不同的任務(wù)，項不同的任務(wù)，每人做各項任務(wù)所耗費的時間如下表所示，問應(yīng)如何每人做各項任務(wù)所耗費的時間如下表所示，問應(yīng)如何指派任務(wù)，才干使總的耗費時間為最少。指派任務(wù)，才干使總的耗費時間為最少。32解：令解：令 xij = 1(第第 i人完成第人完成第j項任務(wù)項任務(wù))或或0第第 i人人不進展第不進展第j項任務(wù)項任務(wù))于是得到一個于是得到一個0-1整數(shù)規(guī)整數(shù)規(guī)劃問題：劃問題：Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22 +22x23+18x24+26x31+17x32+16x33+19x34 +19x41 +21x42+23x43+17x44s.t. x11+

22、 x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一項任務(wù)甲只能干一項任務(wù)) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一項任務(wù)乙只能干一項任務(wù)) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一項任務(wù)丙只能干一項任務(wù)) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一項任務(wù)丁只能干一項任務(wù)) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A任務(wù)只能一人干任務(wù)只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B任務(wù)只能一人干任務(wù)只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C任務(wù)只能一人干任務(wù)只能一人干) x14+ x24+ x34+ x4

23、4= 1 ( D任務(wù)只能一人干任務(wù)只能一人干) xij 為為0-1變量，變量，i,j = 1,2,3,433例某企業(yè)在例某企業(yè)在 A1 地已有工廠，其產(chǎn)品的消費才地已有工廠，其產(chǎn)品的消費才干為干為30 萬箱。為擴展消費，擬在萬箱。為擴展消費，擬在 A2，A3，A4，A5地中再選擇假設(shè)干地建廠。知在地中再選擇假設(shè)干地建廠。知在 A2 ， A3，A4，A5地建廠的固定本錢分別為地建廠的固定本錢分別為17.5、30、37.5、50萬元，另外，萬元，另外， A1產(chǎn)量及產(chǎn)量及A2，A3，A4，A5建成廠的產(chǎn)量，那時銷地的銷量以及建成廠的產(chǎn)量，那時銷地的銷量以及產(chǎn)地到銷地的單位運價產(chǎn)地到銷地的單位運價(每

24、萬箱運費每萬箱運費)如右下表如右下表所示。所示。問應(yīng)該在哪些地方建廠，在滿足銷量的前提下，問應(yīng)該在哪些地方建廠，在滿足銷量的前提下，使得其總的固定成使得其總的固定成 本和總的運輸費用本和總的運輸費用 之和最小之和最小? 整數(shù)規(guī)劃建模整數(shù)規(guī)劃建模34解：解： 設(shè)設(shè) xij為從為從Ai 運往運往Bj 的運輸量的運輸量(單位千箱單位千箱)， yi = 1(當當Ai 被選中時被選中時)或或0當當Ai 沒被選中時沒被選中時) Min z = 8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32 +4x33+9x41+7x42 +5x43+10 x51 +4x52+2x53 +1

25、7.5y2+30y3+37.5y4+50y5s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 廠的產(chǎn)量限制廠的產(chǎn)量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 廠的產(chǎn)量限制廠的產(chǎn)量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 廠的產(chǎn)量限制廠的產(chǎn)量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 廠的產(chǎn)量限制廠的產(chǎn)量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 廠的產(chǎn)量限制廠的產(chǎn)量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 銷地的限制銷地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 銷地的

26、限制銷地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 銷地的限制銷地的限制) xij 0 yi為為0-1變量，變量，i = 1,2,3,4,5；j = 1,2,335例某公司思索今后五年內(nèi)給以下工程投資。例某公司思索今后五年內(nèi)給以下工程投資。工程工程A：每年年初需求投資，于次年末回收本利：每年年初需求投資，于次年末回收本利115%，但要求第，但要求第1年投資最低金額為年投資最低金額為4萬元，萬元，第第2、3、4年不限；年不限；工程工程B：第：第3年初投資，到第年初投資，到第5年未能回收本利年未能回收本利128，但規(guī)定最低投資金額為，但規(guī)定最低投資金額為3萬元，

27、最高金萬元，最高金額為額為5萬元；萬元；工程工程 C：第：第2年初投資，到第年初投資，到第5年未能回收本利年未能回收本利140%，但規(guī)定其投資額只能為，但規(guī)定其投資額只能為2、4、6或或8萬萬元。元。工程工程 D：每年初可購買公債，于當年末歸還，并：每年初可購買公債，于當年末歸還，并加利息加利息6%，此項投資金額不限。，此項投資金額不限。 該部門現(xiàn)有資金該部門現(xiàn)有資金10萬元，問它應(yīng)如何確定萬元，問它應(yīng)如何確定給這些工程的每年投資額，使到第給這些工程的每年投資額，使到第 5 年末擁有年末擁有的資金本利總額為最大的資金本利總額為最大? 36解：解：1) 設(shè)設(shè)xiA、xiB、xiC、xiD ( i

28、 1，2，3，4，5)分別表示第分別表示第 i 年年初給工程年年初給工程A，B，C，D的投資額；的投資額； 設(shè)設(shè)yiA， yiB，是，是01變量，并規(guī)定取變量，并規(guī)定取 1 時分別時分別表示第表示第 i 年給年給A、B投資，否那么取投資，否那么取 0 i = 1, 2, 3, 4, 5。 設(shè)設(shè)yiC 是非負整數(shù)變量，并規(guī)定：是非負整數(shù)變量，并規(guī)定： 2年投資年投資C工程為工程為8萬元、萬元、6萬元、萬元、4萬元、萬元、2萬元、不萬元、不投資投資C工程時，分別取值為工程時，分別取值為4、3、2、1、0；變量：變量： 第第1年年 第第2年年 第第3年年 第第4年年 第第5年年 A x1A x2A x3A x4A B x3B C x2C (=20000y2C) D x1D x2D x3D x4D x5D 372約束條件：約束條件：第一年：年初有第一年：年初有10元，元，D工程在年末可收回投工程在年末可收回投資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是 x1A+ x1D = 10；第二年：第二年：A次年末