函數(shù)的單調(diào)性與值域的關(guān)系

1、函數(shù)的單調(diào)性和值域1 函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值,，當時，都有f()f()，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值,，當()，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)；如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。2.函數(shù)單調(diào)性的證明方法，通常用兩種方法證明：定義法 導(dǎo)數(shù)法（1）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：取值 作差（有時也可作商）變形定號 作出結(jié)論判斷.用定義法證明函數(shù)的

2、單調(diào)性時，要比較f()與f()的大小，最常用的方法是作差（或作商）比較法。（2）用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)單調(diào)性的理論為：若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且滿足0，則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若滿足0,則af(x)為增函數(shù),若a0,則af(x)為減函數(shù).(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性(4)利用復(fù)合函數(shù)的“同增異減”原則，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)y=g(x)是減函數(shù)。（簡稱同增異減）例如：函數(shù)f(x)=在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；f(x)=函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)=在定義域(,+)內(nèi)為增函數(shù),在

3、定義域(-, )內(nèi)是減函數(shù)5.函數(shù)的值域和最值（1）函數(shù)的值域（見函數(shù)的概念一節(jié)）（2）函數(shù)的最值函數(shù)最大值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，若存在實數(shù)M滿足：對任意的xI，都有f(x)M；存在I，使得f()=M。那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。函數(shù)最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，若存在實數(shù)M滿足：對任意的xI，都有f(x)M；存在I，使得f()=M。那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。注意：函數(shù)最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在I，使得f()=M；函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該所有函數(shù)值中最大（或最?。┑模磳τ谌我獾膞I，都有f(x) M(或f(x

4、)M)。6.求函數(shù)值域和最值的常用的方法（1）配方法（適用于一元二次函數(shù)型）例如，求下列函數(shù)的值域y=-2+5x+6 y=2x3 (0x3) y=3cosx+3( (-, -4,0 0,6 ) （2）換元法：一元二次函數(shù)型或三角代換。通過換元，將函數(shù)化為易求值域的函數(shù)形式（注意換元后變量的取值范圍，以保證變形是恒等的）。例如，求下列函數(shù)的值域y=x- y=sinx+cosx+sinxcosx y=x-2+解：設(shè)=t, 易知t0,+）,且x=, 則原函數(shù)可化為:y=其中t0,+）,當x=0時,有最大值=, 即y. 故所求函數(shù)的值域為(-,設(shè)sinx+cosx=t,t-,則原函數(shù)可化為:y=t+（

5、其中t-,）以下略設(shè)x=2cost,t0,則原函數(shù)可化為:y=2(cost+sinxt)-2,（其中t0,）以下略( (-, 1,) -4,-2 )（3）利用函數(shù)單調(diào)性求值域例如，求下列函數(shù)的值域y=+ y=- y=x- y= (1x3) y=+lnx (00) y= （x0）解：x0,x+2=2,當且僅當x=時,即x=1時,等號成立.所以函數(shù)的值域為2，+） 當x=0時,y=0,當x0時,y=,x0, x+2=4,當且僅當x=2時,等號成立.所以函數(shù)的值域為y0,4注意：用均值不等式：若a,b,則a+b2求函數(shù)的最值時要“一正，二定，三等號成立”（5）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域。（其實質(zhì)上是利用函

6、數(shù)的單調(diào)性求值域）例如：求函數(shù)y=2+2的值域解：=2x(41)，故原函數(shù)在區(qū)間(-1,-),(-,0) ,(0,),(,2)的單調(diào)性分別為：遞減，遞增，遞減，遞增。進而可得原函數(shù)的值域為：，30*（6）基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可利用基本函數(shù)的值域求得例如：求函數(shù)y=的值域 解：函數(shù)的定義域為（-1，3）,令u= x（-1，3） 易求得：0u4因為函數(shù)y=為增函數(shù),所以原函數(shù)的值域為：(,2 (此題還有其他解法)（7）分離常數(shù)法（常用來解決“分式型”函數(shù)的值域）例如：求函數(shù)y=的值域解：y=3+ 0,3+3, 函數(shù)y=的值域為yRy3（8）最值法：對于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用求函

7、數(shù)最大值和最小值來求函數(shù)的值域。例如：求函數(shù)y=2sinx1的值域。解：-1sinx1 -32sinx11 所以原函數(shù)的值域為-3,1（9）判別式法：實質(zhì)是方程思想，通過對二次方程的實根的判別求值域的方法。例如：求函數(shù)的值域。解：由得y2(y+1)x+2y1=0,由y=0得-2x-1=0,則x=-,0是函數(shù)值域中的一個值.當y0時,由= 4y(2y1)0得: y,故函數(shù)的值域為,（10）圖象法：如果函數(shù)的圖象較易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域（求某些分段函數(shù)的值域常用此法）例如：求函數(shù)y=x-3-x+1的值域 (-4,4)此外還有觀察法等7.給定函數(shù)的值域或最值，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

8、例如：(1)設(shè)函數(shù)f(x)=2x+2a,當x-2,2時，f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解法一，分離系數(shù)法；由f(x)0,得2x+2a0，即2a-+2x，設(shè)g(x)=-+2x=+1, x-2,2g(x)在-2,2的最小值為g(2)=8, 2a8, a4 所以實數(shù)a的取值范圍為: (,4解法二：f(x)= 2x+2a=+2a1, f(x)在x-2,2上值域為2a-1,2a+8, 要使f(x)0, x-2,2恒成立，只須2a+80，所以 a-4, 所以實數(shù)a的取值范圍為: (,4(2).設(shè)f(x)= +ax+3,當x-2,2時, f(x)0恒成立，求實數(shù)的取范圍。 ( 7,2)*(3).函數(shù)

9、y=lg(+2x+m)的值是R，則實數(shù)m的取值范圍是_ (,18.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍例如：已知函數(shù)f(x)= 6ax+1在2，+）上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_解：f(x)= 6ax+1= +19, 因為函數(shù)f(x)在2，+）上為增函數(shù)，所以由3a2,得 a 所以實數(shù)a的取值范圍(,若函數(shù)y=f(x)在其定義D內(nèi),恒有f(x)a成立,求實數(shù)a的取值范圍,就是求f(x)的最小值；若函數(shù)y=f(x)在其定義D內(nèi),恒有f(x)a成立,求實數(shù)a的取值范圍,就是求f(x)的最大值。9.例題例1 證明函數(shù)f(x)=x+ 在x(0,2)上是減函數(shù)解；（定義法）設(shè)02,則f()-f()

10、=()-()= 00, 從而函數(shù)f(x)在x(0,2)上為減函數(shù)。 (此題也可用導(dǎo)數(shù)求解)例2證明函數(shù)f(x)= (a0)在(-1,1)上是增函數(shù)例3已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若a,b-1,1,a+b0時,有，判斷函數(shù)f(x)在-1,1上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。解：任取,-1,1,且,則-1,1,又f(x)是奇函數(shù)，于是=,據(jù)已知 0 0時，f(x)1,且對任意的a,bR,有f(a+b)=f(a)f(b)（1）求證:f(0)=1（2）求證：對任意的x恒有f(x)0（3）求證：f(x)是R上的增函數(shù)（4）若f(x)f(2x-)1,求x的取值范圍（1）證明

11、：令a=b=0,則f(0)=,又f(0)0,f(0)=1（2）證明：當x0,f(0)=f(x)f(-x)=1,f(-x)=, 又x0時f(x)0,xR時,恒有f(x)0.（3）證明：設(shè),則,=, 又,., f(x)是R上的增函數(shù).（4）解：由f(x)f(2x-)1,f(0)=1,得f(3x-)f(0),又f(x)是R上的增函數(shù),3x-0,0x3.練習(xí)題1 求下列函數(shù)的值域（1）y=3-x+2 （2）y=2.求下列函數(shù)的值域（1）y=x+2 （2）y=x-3. 求下列函數(shù)的值域(1)y=x+2 x1,3 (2)y=ln(1-2x) (-2,-1)4求下列函數(shù)的值域 y=2x+ +y=5.（08重

12、慶）函數(shù)f(x)=的最大值為（ ） A B C D 16（08安微）設(shè)函數(shù)f(x)=2x+1 (x1，函數(shù)f(x)=在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為，則a=（ ）A B 2 C 2 D 48.(09山東)對任意實數(shù)a、b，定義運算”*”如下:a*b=, 則函f(x)= *的值域為（ ）A)0,+) B (-,0 C (,0) D(,+)9. (2009年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 21世紀教育網(wǎng) 10. （2009全國卷文）設(shè)則 ( )（A） （B） （C） （D）*11.(09山東卷理)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f

13、（2009）的值為( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 212. (2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ). A. B.C. D. 13. (10陜西文數(shù))下列四類函數(shù)中，個有性質(zhì)“對任意的x0，y0，函數(shù)f(x)滿足f（xy）f（x）f（y）”的是 ( )（A）冪函數(shù) （B）對數(shù)函數(shù) （C）指數(shù)函數(shù) （D）余弦函數(shù)14. （2010安徽文數(shù)）（7）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（A）acb （B）abc （C）cab （D）bca15. （2010重慶文數(shù)）（4）函數(shù)的值域是( )（A） （B） (C) （D）16. （2010山東文數(shù)）(3)函

14、數(shù)的值域為A. B. C. D. 17 （2010天津文數(shù)）(6)設(shè) ( ) (A)acb (B) )bca (C) )abc (D) )baf(-a),則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) （A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）19. （2009浙江文）若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A，在上是增函數(shù)21世紀教育網(wǎng) B，在上是減函數(shù)C，是偶函數(shù) D，是奇函數(shù)20. 2009湖南卷文）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù) 取函數(shù)。當=時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A B C D 21.（2009福建卷理）下列函數(shù)中，滿足“對任意，（0，），當?shù)氖? )A= B. = C .= D 22.(2009)遼寧卷文）已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足的x 取值范圍是( ) （A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）23. （2009陜西卷文）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則(A) (B) (C) (D) 24. .(2009陜西卷理)定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有.則當時,有 (A) (B)(C) (D) 25.（2010天津文數(shù)）（10）設(shè)