數(shù)學(xué)運(yùn)算軟件Mathematica學(xué)習(xí)指導(dǎo)書

1、第八章微分方程的解我們知道，許多由實(shí)際的科學(xué)或工程問題推出的數(shù)學(xué)模型是微分方程或微分方程組，不僅物理學(xué)等學(xué)科如此，現(xiàn)在它們幾乎出現(xiàn)在自然科學(xué)、管理科學(xué)和工程技術(shù)的各個領(lǐng)域，甚至包括傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)科學(xué)，如化學(xué)、生物學(xué)、農(nóng)學(xué)等等中。微分方程的特點(diǎn)是未直接表達(dá)出變量間的函數(shù)關(guān)系，而是包含有導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。與代數(shù)方程或方程組的解法相似，微分方程的解法也有解析法和數(shù)值法。Mathematica能夠用這兩種方法來求解微分方程，涉及的命令分別為DSolve命令和NDSolve命令。§8.1 微分方程的解析解Mathematica求解常微分方程的解析解法是DSolve命令，它既可用于解一階常微分方程，也可

2、用于其它階的微分方程的求解；可以解單個的微分方程，也可以解微分方程組；可求無定解條件的通解，也可求有定解條件時的特解；可求初值問題的解，也可求邊值問題的解。其格式為：DSolve微分方程, yx, x：解常微分方程的通解y(x)，其中有積分常數(shù)；DSolve微分方程, 定解條件, yx, x：解常微分方程滿足定解條件的特解y(x)；DSolve微分方程1, 微分方程2, , 定解條件1, 定解條件2, , y1x, y2x, x：解常微分方程組滿足定解條件的特解y1(x), y2(x), 。要注意的是，微分方程中的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)寫作“yx”，二階導(dǎo)數(shù)寫作“yx”，因變量y應(yīng)寫作“yx”。通解中的常

3、數(shù)為大寫的“C”，并有方括號括住的序號。下面分別舉例說明。8.1.1一階常微分方程的通解例如，求一階常微分方程的通解，此方程是可分離變量的微分方程。 求一階常微分方程的通解，此式為齊次常微分方程。因方程中有三角函數(shù)，故系統(tǒng)警告可能會漏掉一些解。8.1.2一階常微分方程的特解例如，解一階常微分方程初值問題 的特解，有已求得微分方程的通解，可在給出常數(shù)C的值后，求出特解。例如微分方程的通解為：求C1 = 0.5、1、2時的特解，有又例如，解一階常微分方程初值問題 的特解，有繪出解的圖形，8.1.3一階常微分方程的邊值問題DSolve命令也可用來解一階常微分方程的邊值問題，例如對于邊值問題8.1.4

4、一階常微分方程組的解析解例如，解一階常微分方程組初值問題 ，有我們也可以畫出特解的圖形，8.1.5高階常微分方程的解析解Mathematica可以解的高階常微分方程主要是二階常微分方程，即微分方程中存在著二階導(dǎo)數(shù)。DSolve命令可以解二階線性常微分方程，它的形式為例如，解二階常微分方程 解二階常微分方程 的通解還可以解二階常微分方程的邊值問題。例如，解 ，這是一個第一邊值問題，有與下面的第二邊值問題比較，實(shí)際上是同一個解。又如解二階常微分方程，這是一個比較復(fù)雜的第一邊值問題，將結(jié)果化簡，有解還過于復(fù)雜，取其數(shù)值解，有圖形為，對于更高階的常微分方程，絕大多數(shù)非線性微分方程都不能用DSolve命

5、令求解，多數(shù)變系數(shù)微分方程也不能求解，而大多數(shù)常系數(shù)線性常微分方程是可以求解的。例如，三階常系數(shù)常微分方程初值問題，有又例如，三階常系數(shù)微分方程 8.1.6 偏微分方程的解析解偏微分方程是自變量個數(shù)為2個及兩個以上的微分方程，方程式中出現(xiàn)的是偏導(dǎo)數(shù)。DSolve命令可以解部分偏微分方程，其格式為：DSolve偏微分方程, yx1, x2, , x1, x2, ：解因變量為y，自變量為x1, x2, 的偏微分方程，偏微分方程中若含有定解條件，則得到特解，若無定解條件，則得到通解。與常微分方程類似，微分方程中的因變量及各階導(dǎo)數(shù)要寫作自變量的函數(shù)的形式，偏導(dǎo)數(shù)可以由基本輸入工具欄的偏導(dǎo)數(shù)符輸入，也可

6、由鍵盤輸入，形式與6.2.3節(jié)的偏導(dǎo)數(shù)一致。下面舉例說明。例如，解一階偏微分方程 的通解，有或者在CalculusDSolveIntegrals程序包中有更多的解偏微分方程的命令，用于解非線性的偏微分方程。例如對于非線性偏微分方程，有高階的偏微分方程如拋物型方程、雙曲型方程和橢圓方程等若使用DSolve命令進(jìn)行解析求解，需要對原方程進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)淖儞Q，如分離變量等，才能進(jìn)行，這里不再詳述。§8.2 微分方程的數(shù)值解許多微分方程都沒有解析解，或者是解析解十分復(fù)雜，不適合工程計算的需要。在這種情況下，如果我們需要的是微分方程的解的數(shù)值，那么許多的微分方程都可以用數(shù)值解法求解。Mathem

7、atica中微分方程的數(shù)值解法是NDSolve命令，執(zhí)行這一命令后，系統(tǒng)并不輸出微分方程的數(shù)值解，可以使用近似函數(shù)InterpolationFunction查詢某一點(diǎn)的函數(shù)值，并可繪制解的圖形，進(jìn)行積分和微分的運(yùn)算。NDSolve命令的格式為：NDSolve微分方程, 定解條件, yx, x, xmin, xmax：解常微分方程滿足定解條件的在區(qū)間xmin，xmax的數(shù)值特解y(x)；NDSolve微分方程1, 微分方程2, , 定解條件1, 定解條件2, , y1x, y2x, x，xmin，xmax：解常微分方程組滿足定解條件的數(shù)值特解y1(x), y2(x), 。NDSolve偏微分方程

8、，定解條件，yx1，x2，x1，x2，x1，x1min，x1max，x2，x2min，x2max，：求因變量為y，自變量為x1，x2，的偏微分方程滿足定解條件的數(shù)值解。NDSolve命令有許多選項(xiàng)，例如MaxSteps是指定最大迭代次數(shù)，對常微分方程默認(rèn)值為1000，對偏微分方程默認(rèn)值為200，根據(jù)求解的精度要求，可以選擇這些選項(xiàng)。讀者可以用Help命令查詢。下面舉例說明NDSolve命令的使用。8.2.1 常微分方程的數(shù)值解例如，分別用DSolve和NDSolve命令解二階常微分方程用DSolve命令，有還可以求x=2時的函數(shù)值，較為復(fù)雜，化簡為數(shù)值形式，而用NDSolve命令，有求x=2時

9、的函數(shù)值，如8.1節(jié)所述，一些較復(fù)雜的常微分方程用DSolve命令無法求得解析解，用NDSolve命令可以求解。例如，三階常微分方程用DSolve命令無法求解，而用NDSolve命令可以求解，不能求解，只能輸出原式，而用NDSolve命令，有又例如，二階非線性常微分方程采用DSolve命令求解，有不能求解，只能輸出原式。而用NDSolve命令，有若解的區(qū)間為0，50，則有在1000次迭代次數(shù)內(nèi)，只能求至x=36.9844，需將MaxSteps選項(xiàng)增大，求出了指定范圍內(nèi)的全部數(shù)值解。8.2.2偏微分方程的數(shù)值解如8.1節(jié)所述，多數(shù)偏微分方程都不能得到解析解，而用NDSolve命令可以分別地求解。

10、例如，帶固定邊界條件的一維熱傳導(dǎo)問題是典型的拋物型偏微分方程，為第一邊值問題，采用NDSolve命令求解，有第九章 插值與擬合插值與擬合都屬于數(shù)據(jù)處理的范疇。對于由實(shí)驗(yàn)等方法得到的一組數(shù)據(jù)，我們往往希望對其進(jìn)行兩方面的處理：一是找出能反映出這組數(shù)據(jù)所包含的內(nèi)在的函數(shù)規(guī)律，并用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)，以便分析函數(shù)的變化趨勢及可能的物理意義；二是由已知數(shù)據(jù)估算出某一點(diǎn)處的函數(shù)值，并進(jìn)而進(jìn)行積分與微分的運(yùn)算。我們可以將前者的過程歸納為“從數(shù)據(jù)點(diǎn)曲線”稱為“曲線擬合（curve fitting），后者為“從已知數(shù)據(jù)點(diǎn)未知數(shù)據(jù)點(diǎn)”，稱為“插值（interpolation）。本章分別介紹由Mathematica進(jìn)

11、行擬合和插值的方法。§9.1 代數(shù)插值9.1.1 多項(xiàng)式插值在Mathematica中的插值計算可采用Lagrange多項(xiàng)式進(jìn)行代數(shù)插值，其命令為Interpolation，格式為：Interpolationx1, f1, x1, f2, xn, fn，InterpolationOrder->n：利用n階Lagrange多項(xiàng)式求插值的近似函數(shù)，多項(xiàng)式階數(shù)的默認(rèn)值為3。如果數(shù)據(jù)組中的自變量為自然數(shù)，即1, 2, m，則數(shù)據(jù)組中可不輸入x的值，即Interpolationf1, f2, fn，InterpolationOrder->n執(zhí)行Interpolation命令的結(jié)果是

12、輸出InterpolationFunction，即近似函數(shù)。我們可以將其定義給一個函數(shù)，當(dāng)給這個函數(shù)中的自變量賦值時，就輸出我們要的該點(diǎn)的插值。例如，由數(shù)學(xué)常識可知函數(shù)在時的函數(shù)值。試用Mathematica的Interpolation命令計算的近似值（精確值為0.7660444）。這里，/6，/3是插值函數(shù)的內(nèi)插區(qū)間，<>代表未寫出的插值多項(xiàng)式?？梢杂蒙傻牟逯岛瘮?shù)直接求得函數(shù)的近似插值，此解過于復(fù)雜，化為數(shù)值，有與精確值較為接近。Interpolation命令求取的是內(nèi)插的值，如果輸入的變量值超過內(nèi)插的區(qū)間，系統(tǒng)會發(fā)出警告，并改用外插法（Extrapolation）求解，一般外

13、插的誤差較大。例如仍采用上面的插值節(jié)點(diǎn)和函數(shù)值，求處的函數(shù)值，有兩者相比，誤差較大。又例如，已知表格函數(shù)xi00.10.20.30.40.50.60.7y=f (xi)0.77161330.81361720.84999350.88122660.90778890.93012870.94866350.9637773求下列插值點(diǎn)的函數(shù)值，f (0.17520)，f (0.25386)，f (0.33565)，f (0.42078)，f (0.50946)。此函數(shù)為其中，雙曲正弦函數(shù) 反雙曲正弦函數(shù)與下表中的真值比較，可見極為接近。x0.175200.253860.335650.420780.5094

14、6真值y=f (x)0.841470.867420.891210.912760.93204由上面例題可看出，Interpolation命令在多項(xiàng)式階數(shù)的取默認(rèn)值3時，實(shí)際為分段的拋物插值，具有計算工作量小，插值精度較高的優(yōu)點(diǎn)。使用Interpolation命令不僅可以求插值的近似值，而且可以繪制近似函數(shù)的圖形，對其進(jìn)行數(shù)值微分和數(shù)值積分的運(yùn)算。例如繪制上面的函數(shù)和的圖形和兩者的誤差函數(shù)的圖形，有可看出，在內(nèi)插區(qū)間上兩者誤差很小，在區(qū)間之外，誤差較大。此外，還可以由數(shù)據(jù)點(diǎn)直接求取插值多項(xiàng)式，其命令格式為：InterpolatingPolynomialx1, f1, x1, f2, xn, fn，

15、x：求內(nèi)插多項(xiàng)式。例如，對前面給出的在的函數(shù)值，求在區(qū)間/6，/3上的插值多項(xiàng)式，有9.1.2 樣條函數(shù)插值由數(shù)值分析的學(xué)習(xí)，我們知道，為了避免高次Lagrange插值多項(xiàng)式的計算工作量大、區(qū)間端點(diǎn)誤差大，和低次Lagrange插值多項(xiàng)式曲線不光滑的問題，可以采用三次樣條函數(shù)插值來解決。Mathematica中運(yùn)用樣條函數(shù)進(jìn)行插值計算的命令為SplineFit，它在NumericalMath程序包中，需預(yù)先調(diào)用該程序包才能使用該命令，其格式為：SplineFit數(shù)據(jù)點(diǎn)，樣條類型：按欲構(gòu)造的樣條類型和已知數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造滿足自然邊界條件的樣條函數(shù)，。例如，已知右表數(shù)據(jù)，試由三次樣條函數(shù)求滿足自然邊界條

16、件時處的插值。還可以繪制樣條函數(shù)的曲線，§9.2 曲線擬合由數(shù)值分析的學(xué)習(xí)，我們知道，曲線擬合的逼近方法是最小二乘法，其目標(biāo)函數(shù)是各點(diǎn)上被逼近函數(shù)（原有數(shù)據(jù)點(diǎn)處的函數(shù)值）與逼近函數(shù)（擬合曲線上對應(yīng)的函數(shù)值）之差的平方和，使該平方和最小的擬合曲線即為我們要找的逼近函數(shù)。9.2.1 用Fit命令進(jìn)行線性最小二乘法曲線擬合Mathematica中曲線擬合的基本命令是Fit命令，其格式為：Fit數(shù)據(jù)組, 擬合基函數(shù), 變量：在選定的擬合函數(shù)類中，求最小二乘意義上與數(shù)據(jù)組最為逼近的以“變量”為自變量的擬合函數(shù)。擬合基函數(shù)為各待定參數(shù)后所跟的函數(shù)關(guān)于自變量的函數(shù)形式。擬合的函數(shù)類可以是直線、多項(xiàng)

17、式及其它待定參數(shù)在線性位置的一元函數(shù)。例如，已測得離散數(shù)據(jù)列于下表中。試用將其擬合為直線的函數(shù)關(guān)系。xk1381013151720yk3467891011又例如，觀察物體的直線運(yùn)動得出如下表的數(shù)據(jù)，試由直線擬合和多項(xiàng)式擬合確定運(yùn)動方程，并加以比較。時間t/秒00.91.93.03.95.0距離S/米012.33054.277.9111.4將以上離散數(shù)據(jù)用直線擬合，有將以上離散數(shù)據(jù)用二次多項(xiàng)式擬合，有顯然，二次多項(xiàng)式較直線更為接近原數(shù)據(jù)組，該物體的直線運(yùn)動用二次多項(xiàng)式擬合更好些。除了直線和多項(xiàng)式外，擬合的基函數(shù)也可以是其它非線性函數(shù)，但待定參數(shù)應(yīng)在線性位置上。例如將上面例題中的數(shù)據(jù)組擬合為 的函

18、數(shù)形式，有對于此題目，擬合的效果并不好。因此，在進(jìn)行曲線擬合之前，應(yīng)先將數(shù)據(jù)用ListPlot命令繪制圖形，根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的趨勢，選擇適合的函數(shù)類。9.2.2 用PolynomialFit命令進(jìn)行多項(xiàng)式擬合調(diào)入NumericalMathPolynomialFit程序包后，還可以用PolynomialFit命令進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，其格式為：PolynomialFit數(shù)據(jù)組，n：由數(shù)據(jù)組擬合出n次多項(xiàng)式。并可方便地由該多項(xiàng)式求得某點(diǎn)的函數(shù)值。例如，對于對于前邊的例題，用PolynomialFit命令求擬合的二次多項(xiàng)式，并求4秒時的距離。與前邊用Fit命令計算的二次多項(xiàng)式的結(jié)果相同。9.2.3 用NonlinearFit命令進(jìn)行非線性最小二乘法曲線擬合對于以待定參數(shù)不在線性位置的函數(shù)類為擬合函數(shù)的情況，數(shù)值分析中是利用非線性最小二乘法解決的，在Mathematica中的Satistics函數(shù)庫中有NonlinearFit命令，可以進(jìn)行非線性最小二乘法的擬合，其格式為：NonlinearFi