拉普拉斯變換20151205

1、、概述傅立葉分析方法之所以在信號(hào)與系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因?yàn)橄喈?dāng)廣泛的信號(hào)都可以表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。以傅立葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，即傅立葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號(hào)，而有些信號(hào)是不滿足絕對(duì)可積條件的，因而其信號(hào)的分析受到限制；另外，在求時(shí)域響應(yīng)時(shí)運(yùn)用傅立葉反變換對(duì)頻率進(jìn)行的無窮積分求解有一定的困難。為了解決對(duì)不符合狄氏條件信號(hào)的分析，還可利用拉普拉斯（Laplace）變換擴(kuò)大信號(hào)變換的范圍。其優(yōu)點(diǎn)是求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始條件被自動(dòng)計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍；缺點(diǎn)是物理概念不如傅立葉變

2、換那樣清晰。傅立葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)中的特例，即以和為基分解信號(hào)的。對(duì)于更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)和，也理應(yīng)能以此為基對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。拉普拉斯變換與Z變換的分析方法是傅立葉分析法的推廣，傅立葉分析是它們的特例。一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換信號(hào)f(t)乘上衰減因子（為任意實(shí)數(shù)）后更容易滿足絕對(duì)可積條件，再進(jìn)行傅立葉變換，得s=+j具有頻率的量綱，稱為復(fù)頻率。定義為信號(hào)f(t)的雙邊拉普拉斯變換，其中s=+j。若=0，則s=j，就是f(t)的傅立葉變換，即連續(xù)時(shí)間傅立葉變換是雙邊拉普拉斯變換在=0 或是在j軸（虛軸）上的特例。f(t)的拉普拉斯變換就是的傅立葉變換。只要有合適的存在，就可以使某些本來不滿

3、足狄利克雷條件的信號(hào)在引入后滿足該條件，即有些信號(hào)的傅立葉變換不收斂而它的拉普拉斯變換存在。拉普拉斯變換比傅立葉變換有更廣泛的適用性。拉普拉斯變換與傅立葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號(hào)的拉普拉斯變換都存在，也不是復(fù)平面（s平面）上的任何復(fù)數(shù)都能使拉普拉斯變換收斂。使拉普拉斯變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)s的集合稱為拉普拉斯變換的收斂域（ROC：Region of Convergence），拉普拉斯變換的ROC是非常重要的概念。不同的信號(hào)可能會(huì)有完全相同的拉普拉斯變換表達(dá)式，只是它們的ROC不同，例如和的拉普拉斯變換表達(dá)式都是，但前者的ROC為Res>-a，后者的ROC為Res<-a（R

4、es表示s的實(shí)部）。只有拉普拉斯變換表達(dá)式連同相應(yīng)的ROC才能和信號(hào)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。幾個(gè)函數(shù)之和的ROC是各個(gè)函數(shù)的ROC的公共部分，ROC總是以平行于虛軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與F(s)的分母的根對(duì)應(yīng)的。如果拉普拉斯變換的ROC包含虛軸，則有F(s)的分子多項(xiàng)式的根稱為零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根稱為極點(diǎn)。將F(s)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在復(fù)平面上就構(gòu)成了零極點(diǎn)圖。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個(gè)F(s)，最多與真實(shí)的F(s)相差一個(gè)常數(shù)因子。因此，零極點(diǎn)圖是拉氏變換的圖示方法。二、拉普拉斯變換的收斂域當(dāng)F(s)為有理函數(shù)時(shí)，可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：1、ROC是復(fù)平面上平行于虛軸的帶

5、狀區(qū)域；2、在ROC內(nèi)無任何極點(diǎn)；3、時(shí)限信號(hào)（定義在- <t<+上的信號(hào)）的ROC是整個(gè)復(fù)平面；4、右邊信號(hào)（定義在t0t<+上的信號(hào)）的ROC是復(fù)平面內(nèi)某一條平行于虛軸的直線的右邊，且位于F(s)最右邊極點(diǎn)的右邊；5、左邊信號(hào)（定義在- <tt0上的信號(hào)）的ROC是復(fù)平面內(nèi)的一條平行于虛軸的直線的左邊，且位于F(s)最左邊極點(diǎn)的左邊；6、雙邊信號(hào)（定義在t1tt2上的信號(hào)）的ROC如果存在，一定是復(fù)平面內(nèi)平行于虛軸的帶形區(qū)域，可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間的帶狀區(qū)域。三、拉普拉斯變換的性質(zhì)（ROC為運(yùn)算后的收斂域，R為原收斂域）1、線性：，ROC至少為R1R2，當(dāng)R1和R

6、2無交集時(shí)X(s)不存在；2、時(shí)移性質(zhì)：，ROC不變；3、復(fù)域平移：，ROC為R平移了Res0；4、時(shí)域尺度變換：，ROC為R乘以a，表明若信號(hào)在時(shí)域上作尺度變換，其拉普拉斯變換的ROC在復(fù)平面上作相反的尺度變換；5、共軛對(duì)稱性：，當(dāng)x(t)為實(shí)信號(hào)時(shí)，X(s)=X*(s*)，這表明實(shí)信號(hào)的拉普拉斯變換的復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)必共軛成對(duì)出現(xiàn)；6、卷積性質(zhì)：，ROC至少為R1R2；7、時(shí)域微分：，ROC至少包括R；8、復(fù)域微分：，ROC不變；9、時(shí)域積分：，ROC至少包括R(Res>0)；10、復(fù)域積分：，ROC至少包括R；11、初值定理：如果x(t)是因果信號(hào)（即t=0時(shí)刻接入的信號(hào)）且在t=0處

7、不包含奇異函數(shù)，則；12、終值定理：如果x(t)是因果信號(hào)且在t=0處不包含奇異函數(shù)，X(s)除了在s=0處可以有單階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在復(fù)平面的左半邊，則四、常用拉普拉斯變換對(duì)1、單位階躍函數(shù)：2、單邊指數(shù)函數(shù)：（）3、單位沖擊函數(shù)：，在整個(gè)復(fù)平面收斂4、冪函數(shù)：5、正弦函數(shù)：6、余弦函數(shù)：五、拉普拉斯逆變換（一）定義由，若s=+j在ROC內(nèi)，則有故該式表明信號(hào)x(t)可以分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)est的線性組合。（二）拉普拉斯逆變換的求法1、部分分式展開法：將X(s)展開為已知其逆變換的若干個(gè)函數(shù)之和，根據(jù)X(s)的ROC確定每一項(xiàng)的ROC，利用常用信號(hào)的變換對(duì)與拉普拉斯變換的性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行反變

8、換。2、留數(shù)法（當(dāng)X (s)是有理函數(shù)時(shí)）：求出的全部極點(diǎn)，求出X (s)est在ROC左邊的所有極點(diǎn)處的留數(shù)之和，構(gòu)成x(t)的因果部分；再求出X (s)est在ROC右邊的所有極點(diǎn)處的留數(shù)之和并加負(fù)號(hào)，構(gòu)成了x(t)的反因果部分。3、數(shù)值計(jì)算方法：利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行拉普拉斯反變換的計(jì)算。4、實(shí)例：，ROC：-2<Res<-1暫時(shí)忽略，后續(xù)使用時(shí)移性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。（1）部分分式法：Res<-1：Res>-2：（2）留數(shù)法：極點(diǎn)p1=-2位于ROC左邊，極點(diǎn)p2=-1位于ROC右邊，所以5、實(shí)例：，Res>-1由于分子中s的最高次數(shù)不小于分母中s的最高次數(shù)，所以可先將X

9、(s)化為將分母進(jìn)行因式分解并展開成部分分式，得該表達(dá)式中前兩項(xiàng)很容易發(fā)現(xiàn)其為常用函數(shù)的其拉普拉斯變換，第三項(xiàng)可看做是三角函數(shù)的拉普拉斯變換經(jīng)過復(fù)域平移的結(jié)果，即第三項(xiàng)亦可用留數(shù)法求解，即故六、單邊拉普拉斯變換（一）概念單邊拉普拉斯變換是雙邊拉普拉斯變換的特例，也就是因果信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。定義式注意積分式下標(biāo)為0-。因果信號(hào)做雙邊拉普拉斯變換和做單邊拉普拉斯變換是完全相同的。單邊拉普拉斯變換也同樣存在ROC，其ROC必然遵從因果信號(hào)雙邊拉普拉斯變換時(shí)的要求，即單邊拉普拉斯變換的ROC一定位于最右邊極點(diǎn)的右邊。正因?yàn)檫@一原因，在討論單邊拉普拉斯變換時(shí)，一般不再強(qiáng)調(diào)其ROC。單邊單邊拉普拉斯

10、變換變換的反變換一定與雙邊單邊拉普拉斯變換變換的反變換相同。（二）單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)單邊拉普拉斯變換的大部分性質(zhì)與雙邊拉普拉斯變換相同，但也有幾個(gè)不同的性質(zhì)，主要表現(xiàn)在時(shí)移性質(zhì)和時(shí)域微分性質(zhì)和時(shí)域積分性質(zhì)1、時(shí)移性質(zhì)x(t)是因果信號(hào)時(shí)，單邊拉普拉斯變換的時(shí)移性質(zhì)與雙邊拉普拉斯變換一致，即x(t)不是因果信號(hào)時(shí)，2、時(shí)域微分同理，n階導(dǎo)數(shù)的單邊拉普拉斯變換為3、時(shí)域積分（三）使用單邊拉普拉斯變換求解微分方程從單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)中發(fā)現(xiàn)，使用單邊拉普拉斯變換可以將微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程進(jìn)行求解，且自動(dòng)包含初始條件。尤其是對(duì)于形如且已知t=0-時(shí)刻x(t)的各階導(dǎo)數(shù)值的常系數(shù)線性常微分方程能大

11、大降低求解難度，取而代之的是巨大的計(jì)算量。七、電路元件的復(fù)域模型（僅考慮線性元件）1、電阻元件R線性電阻元件的特性是其兩端電壓u與流過的電流i成正比，比值稱為電阻R，即兩邊取拉普拉斯變換，得即電阻元件R的復(fù)域模型仍為一個(gè)阻抗為R的電阻。2、電感元件L線性電感元件的特性是其磁通量與流過的電流i成正比，比值稱為電感L，即而電壓是磁通量隨時(shí)間的變化率，即兩邊取拉普拉斯變換，得即電感元件L的復(fù)域模型是一個(gè)阻抗為sL的電阻與代表其初始電流的恒流源的并聯(lián)。3、電容元件C線性電容元件的特性是其電荷量Q與其兩端電壓u成正比，比值稱為電容C，即而電流是電荷量隨時(shí)間的變化率，即兩邊取拉普拉斯變換，得即電容元件C的

12、復(fù)域模型是一個(gè)阻抗為1/(sC)的電阻與代表其初始電壓的恒壓源的串聯(lián)。4、實(shí)例：RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)電阻R、無初始電流的電感L和無初始電壓的電容C串聯(lián)電路在復(fù)域的阻抗為在恒定電壓源u(t)作用下，回路中的電流和三個(gè)元件上的電壓的拉普拉斯變換分別為可見，電流表達(dá)式和三個(gè)元件的電壓表達(dá)式的分母均為，分母的兩個(gè)零點(diǎn)（稱為極點(diǎn)）決定了響應(yīng)曲線的特性。記，其量綱為頻率的平方。（1）單位沖激響應(yīng)：，電感L上的電壓可用基爾霍夫電壓定律得，其中包含沖激函數(shù)項(xiàng)；亦可根據(jù)確定，但需注意由于，故表達(dá)式中需包沖激函數(shù)項(xiàng)。（2）單位階躍響應(yīng)：上述時(shí)域表達(dá)式均為t0的表達(dá)式，其中稱為雙曲余弦函數(shù)，稱為雙曲正弦函數(shù)。從表達(dá)式中可以看出，>0時(shí)用雙曲函數(shù)描