數(shù)字信號處理課程設(shè)計——指數(shù)衰減正弦信號的采樣與恢復(fù)

1、 數(shù)字信號處理課程設(shè)計 指數(shù)衰減正弦信號的采樣與恢復(fù)1理論分析1.1 連續(xù)時間信號 連續(xù)信號是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對于一切自變量的取值，除了有若干個不連續(xù)點以外，信號都有確定的值與之對應(yīng)。嚴格來說，MATLAB并不能處理連續(xù)信號，而是用等時間間隔點的樣值來近似表示連續(xù)信號。當(dāng)取樣時間間隔足夠小時，這些離散的樣值就能較好地近似連續(xù)信號。 在一定條件下，一個連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值來表示，并且可以用這些樣本值把信號完全恢復(fù)過來。這樣，抽樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。通過觀察采樣信號的頻譜，發(fā)現(xiàn)它只是原信號頻譜的線性重復(fù)搬移，只要給它

2、乘以一個門函數(shù)，就可以在頻域恢復(fù)原信號的頻譜，在時域是否也能恢復(fù)原信號時，利用頻域時域的對稱關(guān)系，得到了信號。1.2采樣定理模擬信號經(jīng)過 (A/D) 變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 fs，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。 時域采樣定理從采樣信號恢復(fù)原信號必需滿足兩個條件： (1) 必須是帶限信號，其頻譜函數(shù)在 各處為零；（對信號的要求，即只有帶限信號才能適用采樣定理。） (2) 取樣頻率不能過低，必須 2 （或 2）。（對取樣頻率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值

3、要足夠多，才能恢復(fù)原信號。）如圖1.1所示，給出了信號采樣原理圖圖1.1 信號采樣原理圖由圖1可見，其中，沖激采樣信號的表達式為：其傅立葉變換為，其中設(shè)，分別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設(shè)是帶限信號，帶寬為， 經(jīng)過采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當(dāng)時，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)時，頻譜發(fā)生混疊。 一個理想采樣器可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列的幅值調(diào)制器，即理想采樣器的輸出信號，是連續(xù)輸入信號調(diào)制在載波上的結(jié)果，如圖2所示。圖1.2 信號的采樣 用數(shù)學(xué)表達式描述上述調(diào)制過程，則有理想單位脈沖序列可以表示為 其中是出現(xiàn)在時刻，強度為1的單位

4、脈沖。由于 的數(shù)值僅在采樣瞬時才有意義，同時，假設(shè)所以又可表示為 1.3 信號重構(gòu) 設(shè)信號被采樣后形成的采樣信號為，信號的重構(gòu)是指由經(jīng)過插處理后，恢復(fù)出原來信號的過程,又稱為信號恢復(fù)。若設(shè)是帶限信號，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設(shè)采樣頻率，則由式（9）知是以為周期的譜線?，F(xiàn)選取一個頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號的頻譜。與之對應(yīng)的時域表達式為 而 將及代入得 此式即為用求解的表達式，是利用MATLAB實現(xiàn)信號重構(gòu)的基本關(guān)系式，抽樣函數(shù)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。 例：設(shè)，其為： 即的帶寬為，為了由的采樣信號不失真地重構(gòu)，由時域采樣定理知采樣間隔，?。ㄟ^采樣）利

5、用MATLAB的抽樣函數(shù)來表示，有。據(jù)此可知： 通過以上分析，得到如下的時域采樣定理：一個帶寬為wm的帶限信號f(t)，可唯一地由它的均勻取樣信號fs(nTs)確定，其中，取樣間隔Ts/wm, 該取樣間隔又稱為奈奎斯特間隔。 3.設(shè)計思路 連續(xù)信號是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對于一切自變量的取值，除了有若干個不連續(xù)點以外，信號都有確定的值與之對應(yīng)。嚴格來說，MATLAB并不能處理連續(xù)信號，而是用等時間間隔點的樣值來近似表示連續(xù)信號。當(dāng)取樣時間間隔足夠小時，這些離散的樣值就能較好地近似連續(xù)信號。時域?qū)B續(xù)時間信號進行采樣，是給它乘以一個采樣脈沖序列，就可以得到采樣點上的樣本值，信號被采樣前后

6、的頻域變化，可以通過時域頻域的對應(yīng)關(guān)系求得采樣信號的頻譜。 在一定條件下，一個連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值來表示，并且可以用這些樣本值把信號完全恢復(fù)過來。這樣，抽樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。通過觀察采樣信號的頻譜，發(fā)現(xiàn)它只是原信號頻譜的線性重復(fù)搬移，只要給它乘以一個門函數(shù)，就可以在頻域恢復(fù)原信號的頻譜，在時域是否也能恢復(fù)原信號時，利用頻域時域的對稱關(guān)系，得到了信號。 優(yōu)點：MATLAB在繪圖方面提供了相當(dāng)高級的函數(shù)序及程序界面，即使用戶沒有豐富的程序設(shè)計經(jīng)驗，也能夠快速地得到自己想要的結(jié)果，熟練的使用MATLAB的程序員或研究人員能縮短研究

7、開發(fā)時間，從而提高競爭力，MATLAB和其他高級語言有良好的接口，可以方便地實現(xiàn)與其他語言的混合編程，從而進一步擴寬MATLAB的應(yīng)用潛力。缺點：MATLAB占用內(nèi)存空間很大，并且會因硬盤分區(qū)是NTFS格式還是FAT格式而有差異。4程序設(shè)計4.1步驟框圖4.2程序代碼4.2.1.連續(xù)時間信號x(t)clcclear allclose alln=0:50 % 定義序列的長度是50A=input(請入A的值A(chǔ):) % 設(shè)置信號的有關(guān)參數(shù)a=input(請入a的值a:)w0=input(請入w0的值w0:)T1=0.005T2=0.0025T3=0.001T0=0.001x=A*exp(-a*n*T

8、0).*sin(w0*n*T0)y1=A*exp(-a*n*T1).*sin(w0*n*T1)y2=A*exp(-a*n*T2).*sin(w0*n*T2)y3=A*exp(-a*n*T3).*sin(w0*n*T3)close allsubplot(2,1,1)stem(n,x,.) % 繪制x(n)的圖形grid on title(離散時間信號)subplot(2,1,2)plot(n,x)grid on title(連續(xù)時間信號)4.2.2 200Hz/400Hz/1000Hz頻率抽樣信號函數(shù)x(n)figure(2)subplot(3,1,1)stem(n,y1,.)grid onti

9、tle(200Hz連續(xù)采樣信號序列)subplot(3,1,2)stem(n,y2,.)grid ontitle(400Hz連續(xù)時間信號)subplot(3,1,3)stem(n,y3,.)grid ontitle(1000Hz連續(xù)時間信號)4.2.3由采樣序列x(n)恢復(fù)出連續(xù)時間信號x(t)clc clear allclose allA=input(please input the A:)a=input(please input the a:)W0=input(please input the W0:)fs=input(please input the fs:)n=0:49T=1/fst0

10、=10/aDt=1/(5*a)t=0:Dt:t0xa=A*exp(-a*t).*sin(W0*t)K1=50k1=0:1:K1W1max=2*pi*500W1=W1max*k1/K1w1=W1/piXa=xa*exp(-j*t*W1)x=A*exp(-a*n*T).*sin(W0*n*T)figure (1)subplot(3,1,1)plot(t*1000,xa)title(連續(xù)時間信號x(t)axis(0 50 -200 400)grid subplot(3,1,2)stem(x,.)grid xlabel(n)ylabel(x(n)title(采樣序列x(n)axis(0 50 -200

11、 400)x1=spline(n*T,x,t)grid xlabel(t:毫秒)ylabel(x(t)subplot(3,1,3)plot(t*1000,x1)axis(0 50 -200 400)title(由x(n)恢復(fù)x1(t)grid xlabel(t:毫秒)ylabel(x1(t)axis(0 50 -200 400)error=max(abs(x1-xa)5運行結(jié)果與分析1.連續(xù)時間信號x(t)圖形圖5.1連續(xù)時間信號圖形2.200Hz/400Hz/1000Hz頻率抽樣信號函數(shù)x(n)圖形圖5.2 抽樣信號圖形3.由采樣序列x(n)恢復(fù)出連續(xù)時間信號x(t)及誤差圖5.3誤差結(jié)果圖

12、5.4 200Hz恢復(fù)信號圖5.5 200Hz恢復(fù)信號圖5.6 1000Hz恢復(fù)信號 分析：恢復(fù)曲線與原信號曲線相同，說明恢復(fù)誤差很小，如果采樣頻率減小，誤差增大，采樣頻率增大，則恢復(fù)誤差更小。采樣頻率就遵循乃奎斯特定理。6心得體會 本次課程設(shè)計使我們對采樣定理的一些基本公式得到了進一步鞏固。在整個實驗過程中，我們查閱了很多相關(guān)知識，從這些書籍中我們受益良多。也使我們上機操作順利完成。雖然剛開始對采樣過程和恢復(fù)過程認識不深，但是通過這次實驗對采樣過程和恢復(fù)過程有了進一步掌握。而且我們學(xué)習(xí)到了很多新的知識新的理念，但是對于MATLAB，我們只會進行基本操作，所以在這個過程中我們也遇到了很多的困難

13、。在開始做課程設(shè)計的初期，我們先是對線形系統(tǒng)、模擬信號、抽樣定理、仿真重構(gòu)等一系列概念做了一個全面的了解與回顧。本次課程設(shè)計，我們分工明確，符淑云主要負責(zé)信號的采樣與恢復(fù)的程序設(shè)計，總結(jié)報告以及講PPT，劉佳慧主要負責(zé)信號的恢復(fù)的程序設(shè)計，總結(jié)報告以及制作PPT等。 MATLAB的編程是一個難題，通過查閱資料、問同學(xué)以及去圖書館借書，研究了一點MATLAB軟件的數(shù)組和數(shù)組運算、輸出圖形、基本語言、程序設(shè)計等內(nèi)容，終于完成了程序的設(shè)計。最后理論與時間結(jié)合，得出了設(shè)計的程序與期望的輸出結(jié)果。 在今后的學(xué)習(xí)生活中，我們定會更加的努力，努力的培養(yǎng)自己各方面，尤其是獨立思考的能力，爭取更好的成績！7參考文獻1董長虹. Matlab信號處理與應(yīng)用M.北京：國防工業(yè)出版社，2005.01：28-47.2路