一道平面幾何題的十種證法

1、一道平面幾何題的十種證法題目：如圖， ABC 中，D、F 在 AB 上，AD=BF，過 D 作 DE / BC,交 AC 于E,過 F 作 FG/ BC 交 AC 于 G.求證：BC=DE + FG.分析：證明一條線段等于另外兩條線段的和，常用的方法是將線段的位置平移：(1) 延長較短線段與較長線段相等；(2) 在較長線段上截取與較短線段相等的線段；(3) 將線段適當移動位置后進行比較；(4) 采用其它比較方法，如解析法，三角法，面積法等.一、延長較短線段與較長線段相等解法 1 如圖 2,延長 FG 到 H，使 FH 等于 BC,連結 CH .(關鍵證 GH=DE 即 可).S 2由作法知 F

2、H 平行且等于 BC FBCH 是平行四邊形CH=BF .在厶 ADE 和厶 CHG 中, CH=BF=AD .由 CH / AB / A= /2,又/ 仁/B，/ H= / B,所以/ 1 =ZH .ADECHG，貝 U DE=GH ,故 BC=FG + GH=DE + FG.證法 2 如圖 3,仍延長 FG 到 H，使 GH=DE，連結 CH.（關鍵證 BC=FH）.找 EG 的中點 K，連接 DK 并延長 DK 交 FG 的延長線于 H，可證得由 DE / BC / FG / 仁/ 2=Z3.又 AD=FB，所以 AE=GC .ADECHG ,( SAS)/ A= / GCH AB /

3、CH .四邊形 FBCH 是平行四邊形，所以，BC=FH ,BC=D證法 3 女口圖 4,延長 DE 至 U H, 使 DH=BC，連結 CH .(關鍵證 FG=EH).由二 DBCH 及 DH=BC .再厶 AFGACHE，得 FG=EH.二、恰當?shù)貙⒕€段平移證法 4 如圖 5A圖3 DEKHGK DE=GH .再證得ADECHG，（或證厶 ADKCHK） 一 / A= / GCH= AB CHI =QFEOH = FE=BC , FG ” BC J BC=GH+ FG=DE+ FG.證法 5 如圖 6.過 D 作 DH / AC 交 BC 于 H，貝 U DE=HC .不難證得厶 AFGD

4、BH ,可得FG=BH , BC= BH + HC = DE + FG.證法 6 如圖 7 7過 F 作 FH / AC 交 BC 于 H （或在 BC 上截取 CH=FG） 則得 口 FHCG、口 ATHE三、在較長的線段上截取較短的線段證法 7 如圖 8圖8在 BC 上截取 BH=DE .不難得出 ADEFBH .貝 U/仁/2=73 FH/AC FG=HC.（同理可在 BC 上截取 BH=FG .再證 HC=DE）四、利用梯形或三角形的中位線定理題中要證的結論系三角形的底邊 BC 等于梯形 DFGE 兩底之和，可猜想通過梯形DFGE 的中位線溝通兩者之間的關系.證法 8 如圖 9.又 A

5、D=FB，由平行截割定理得 MN 也是 ABC 的中位線，所以MN二所以，由，知EC二DE + FG.五、利用相似三角形的性質和比例的性質題中要證的邊實質是相似三角形的對應邊， 因此，可從相似三角形的對應邊成比 例和比例的基本性質入手證明.證法 9 如圖 1.又 AD=BF，所以，AD + AF=AD + DB=AB .DE+FG _ AD+AF _ ABBC=AB=AB -即 BC=DF + FG.I AB_BC AF=FG+得AD+ATABDE+FGBC所六、其它線段變換證法 10 如圖 10.圖10作 AH 丄 DE 于 H，作 FP 丄 BC 于 P,作 GQ 丄 BC 于 Q.易證 ADHF