數(shù)列復習知識點總結

1、數(shù)列一、知識梳理1數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每個數(shù)稱為該數(shù)列的項.2通項公式：如果數(shù)列%的第川項與理之間可以用一個式子表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式，mi an =/(/?).3遞推公式：如果已知數(shù)列”的第一項(或前幾項).且任何一項與它的前一項色-(或前幾項)間的關系可以用一個式 子來表示.即=/(%)或=/(勺1，勺一2)，那么這個式子叫做數(shù)列仏的遞推公式.如數(shù)列仏中， ax =1, = 2aH + 1.其中厲=2an + 1是數(shù)列的遞推公式.4數(shù)列的前”項和與通項的公式sgl)Sn-Sn(n 2)5. 數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.

2、6. 數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列：遞増數(shù)列，遞減數(shù)列,擺動數(shù)列，常數(shù)數(shù)列：有界數(shù)列.無界數(shù)列. 遞増數(shù)列:對于任何hwNi均有“處 atl. 遞減數(shù)列:對于任何n e?7+,均有“卄 an 擺動數(shù)列:例如：一1,1,一1,1,一1, 常數(shù)數(shù)列：例如：6,6,6,6, 有界數(shù)列:存在正數(shù)M使p| M等差數(shù)列1. 等差數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前-項的差等于同一個常數(shù) 這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.2 通項公式與前“項和公式通項公式cin =a +(n-)d 9 q為首項，d為公差.3. 等差中項如果匕4成等差數(shù)列.那么A叫做與b的等差中項.即：A是a與方的等

3、差中項O2A = d + bU，A.方成等差數(shù)列.4. 等差數(shù)列的判定方法定義法：dN+，是常數(shù))0仏是等差數(shù)列：中項法：2縱=an + %+2 5已0 ctn是等差數(shù)列.5. 等差數(shù)列數(shù)列“是等差數(shù)列，則數(shù)列 + /(是常數(shù))都是等差數(shù)列:在等差數(shù)列,中，等距離取出若干項也構成一個等差數(shù)列，即為等差數(shù)列.公差為/A,方成等差數(shù)列=G2 = b4. 等比數(shù)列的判定方法定義法： 3 = gq羊0是常數(shù)） cin是等比數(shù)列：中項法：a, = an -atl2 （n e N*）且 hO o是等比數(shù)列.5. 等比數(shù)列數(shù)列仏是等比數(shù)列，則數(shù)列pan. j）an（qhO是常數(shù)）都是等比數(shù)列:在等比數(shù)列仏中

4、等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列,即為等比數(shù)列，公比為/ =amq,-m（njneNJ若m + /? = /? + q（m、n、p、q eN）則am - an =ap若等比數(shù)列an 的前n項和則S2k 一 Sk、S或一 、S4k 一 S3k是等比數(shù)列.二、典型例題1）根據(jù)基本量求解（方程的思想）1、已知S”為等差數(shù)列“”的前項和,5=9,a9 = -6, S” = 63 ,求”：2、等差數(shù)列?！敝?，勺=1且勾 綣，5）成等比數(shù)列，求數(shù)列心前20項的和S20.3、設仏是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若絢=1“ = 16,求數(shù)列仏前7項的和.4、已知四個實數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，首末

5、兩數(shù)之和為37,中間兩數(shù)之和為36,求這 四個數(shù).2）根據(jù)數(shù)列的性質求解（整體思想）1、已知S”為等差數(shù)列仏的前項和，6 = 18,則Sn=:2、設S“、7；分別是等差數(shù)列仏、bn的前項和，字=二，則學=T n + 3 b2）/1=2,求求數(shù)列的通項公式；% H + 1C、構造新數(shù)列1遞推關系形如利用待定系數(shù)法求解例、已知數(shù)列勺中,務=1衛(wèi)曲=2陽+3,求數(shù)列仏的通項公式.2遞推關系形如“，兩邊同除呵或待泄系數(shù)法求解 例、山=1,an+I = 2an + 3,求數(shù)列an的通項公式.3遞推已知數(shù)列仏中，關系形如“=利用待泄系數(shù)法求解例、已知數(shù)列an中,=1衛(wèi)2 = 2,a,= 3%i - 2an

6、 ,求數(shù)列an 的通項公式.4遞推關系形Wan -pa, = qananp, qHO),兩邊同除以一例.已知數(shù)列仏中，= 2anann 2), ax = 2,求數(shù)列仏的通項公式.例2、數(shù)列”中，(町一 2,如一 M(n e NJ,求數(shù)列仏的通項公式.4 + and、給出關于S.和的關系例 1、設數(shù)列”的前項和為S”，已知q =d,d”+| =S“+3(”wN+),設bn=Sn-3n , 求數(shù)列化的通項公式.例2、設S”是數(shù)列仏的前”項和，, = 1, S：=(s”*”n2). 求仏的通項：C設嘰=石齊，求數(shù)列h 的前項和幾C、證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列1)證明數(shù)列等差例1、已知S”為等差數(shù)列的前

7、”項和，仇丄求證：數(shù)列是等差數(shù)列.丄是等差數(shù)列:n例2、已知數(shù)列”)的前項和為S,”且滿足血+2S”S” 1=0 (心2), 1=：.求證: 2)證明數(shù)列等比例1、設如是等差數(shù)列，價=(，求證：數(shù)列九是等比數(shù)列：例2、設S”為數(shù)列仏的前”項和，已知bail-T=(b-)Slt證明：當b = 2時，厲“七心是等比數(shù)列：求的通項公式例3、已知數(shù)列an滿足=1,偽=3,%2=3爲+|-2a“(neN).證明：數(shù)列all+ -a是等比數(shù)列；求數(shù)列的通項公式：若數(shù)列仇滿足= (% +1)儀(n e M),證明bt是等差數(shù)列.D、求數(shù)列的前n項和基本方法：1) 公式法，2) 拆解求和法.例1、求數(shù)列2*1

8、 + 2n-3的前n項和S”.例2、求數(shù)列1丄,2丄,3丄,(“ +丄),的前項和S”.2482例 3、求和：2X5+3X6+4X7+-+n (n+3)2) 裂項相消法，數(shù)列的常見拆項有： 一1一 = -(- -一 )； 1_=后1_眉;n(n + k) k n n + kJh+Jh + I例 1、求和：5=1+! + 一! + +!1 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3 + 例 2.求和：一+ 廠 +,_ +一 x/2 + 1 V5 + V4 + J 3Jn + 1 + n3) 倒序相加法，x2例、設 f(x) = 求：1 + A/(|) + /(|) + /(I) + /(2)

9、+ /(3) + /(4): /(血)+ /(磊)+ + /( + /(+)+ / + + /(2009 ) + /(2010).4) 錯位相減法，例、若數(shù)列”的通項a”=(2_l).3”,求此數(shù)列的前“項和S”.5) 對于數(shù)列等差和等比混合數(shù)列分組求和例、已知數(shù)列的前n項和Sa=12n-n求數(shù)列的前力項和=E、數(shù)列單調性最值問題例1、數(shù)列仏中, = 2/2 - 49 ,當數(shù)列an 的前”項和Sn取得最小值時，n=. 例2、已知S”為等差數(shù)列“”的前項和，q=25,佝=16.當“為何值時，S”取得最大值；例3、數(shù)列仏中，= 32-28h + 1,求心取最小值時的值.例4、數(shù)列a 中,an =n-yin2 + 2 ,求數(shù)列an的最大項和最小項.例5、設數(shù)列%的前“項和為S”.已知q=a, %|=S”+3”，“N.(I)設bn=Sn-r,求數(shù)列仇的通項公式;(II)若務+0%,求a的取值圍.例6、已知S”為數(shù)列%的前項和,q=3,=2a(n2).求數(shù)列仏的通項公式：數(shù)列”中是否存在正整數(shù)使得