數列求和常見的7種方法

1、數列求和的基本方法和技巧一、總論：數列求和7種方法：利用等差、等比數列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數列通項法求和二、等差數列求和的方法是逆序相加法，等比數列的求和方法是錯位相減三、逆序相加法、錯位相減法是數列求和的二個基本方法.數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎.在離考和各種數學競賽中都占有重要的地 位。數列求和是數列的重要內容之一,除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要 -定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和1、利用下列常用求和

2、公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。 等差數列求和公式：S” =血Z） -+心-1）22、3、nax等比數列求和公式：S”=（5（l /）.(心)i g(E)川1S” =k =-nn + )4、S”=f 疋=!心 + 1)(2 + 1)5、例 1 已log3x =,求x + x2 +x3 +- + X11 + 的前 n 項#口.log23-ii解：由log.x = -=> log3 x = -log 2 => X =- log. 32（利用常用公由等比數列求和公式得S“ =x + x2 + F+ + x”式丿丄（1 一丄）（1-亠丁I 11-1 2” 21-XS例2設Sn=1

3、+ 2+3 +n, n EN求/（）= 丄的靈大值。（n+32）S加解：由等差數列求和公式得=|/7（/7 + 1）,=-（n +1）（77 + 2）2 2（利用常用公式）I心烏石+3； + 6411三丄/7 + 34 + （館一-）2 +50"當亦一掛即門=8時,/（嘰=命二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列an - b的旃ri項和，其中 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列.an例3 求和：Sn = + 3x + 5x2 +7x3 + + （2一1）x"T解：由題可知， （2舁一1）0“ 的通項是等差數列2n-

4、1 的通項與等比數列的通項之積設 xSn =x + 3x2 + 5x3 + 7/ + + （2n 一 ）xn（設制錯位）-得（1 一x）S” =l + 2x + 2x2 + 2a3 +2x4 + + 2卍,t 一（2一l）xn（錯位相沁再利用等比數列的求和公式得：（-x）Sn = + 2x X-（2n-）xn1-xG （2/2 - l）xn+,-（2n + ）xn +（1 + x） Sn =2 46例4求數列£，r，2 22 23解：由題可知， 的通項是等差數列2n 的通項與等比數列 的通項之積詁前n項的和.In設S口2246=-+ + r +2 23 + 2"-得（1-S

5、”2n vITT（設制錯位）（錯位相三. 反序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（勺+%）°例 5求證：C； + 3C： + 5C： + + （2n + 1）C； = （h +1）2"證明：設S“ =C：+3C；+5C；+ (2 + l)C； 把式右邊倒轉過來得S “ = (2n + 1)C； + (2« -1)0；-* + + 3C； + C；(反序)又由C； = 可得S“ = (2n + 1)C； + (2n-1)C*+ + 3C；J + C；.+得2S” = (2n +

6、2)( C； +C,；+ + C：J + C；) = 2(n +1) 2"(反序相加)S “ = (” + 1) 2”例6求sin21° +sin22* +sin23* +-+sin288e +sin289s的值解：設S = sin2 1° + sin2 2* + sin2 3+ + sin2 88° + sin2 89* 將式右邊反序得5= sin2 89° +sin2 88e + + sin2 3° +sin22° +sin2l°(反序)又因為 sinx = cos(90° -x),sin x + c

7、os，x = 1+得(反序相加)2S = (sin21° +cos2 lo) + (sin2 2° +cos2 2°) + + (sin，89° +cos2 89°) =89S=44o 5題1已知函數證明：弘)+/(1)二1;(2)求110丿110丿110丿110丿的值。解：(1)先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊二右邊 (2)利用第(1)小題已經證明的結論可知，/(1+/f/f/f=/(V/f:110 丿UoJ lioj 110 丿 110 丿 “0 丿<8 9、110丿令4彳制"制+譏話戶丄110丿<2110丿

8、2S = 9xr+/9 H1©一 110 丿兩式相加得：2心4:求值： 12+10222+9'=9S=-所以 2練習223232+82102102+12四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開,常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。/W刀求數列的祈n項和：1 + 1,丄+ 4,丄+ 7,，丄+ 3”一2, a a2 嚴解:設» =(1 + 1) + (丄+ 4) + (丄+ 7) + (點 + 3料一2)acra將其每一項拆開再重新組合得S” =(1 + 丄 + 丄 + + _Lj +(i + 4 + 7 + + 3”一 2

9、) a a2 (嚴組),| c(3/7 -1)/7(3/7 + 1)/7當 a=1 時，S” =n + -一=-一亍厶2 2丄p ，丄 g an (3/7 - l)nu _a'f (3n-1)/2當 OH1 時.S =+ =+ /r 丄 2G-12可分為幾個等差、等比或(分(分組求和)例8求數列n （n+ 1 ） （2n+1）的前n項和。解：nak =k(k + )(2k + l) = 2k3 + 3k2 +kSn =±k(k +1)(2/: +1) = f (2宀3/ +k)2 2將其每一項拆開再重新組合得Sn2工疋+3工T+工k kJIJI（分組）=2(13+23 + +

10、 n3) + 3(l2+22 + + /) +(1 + 2 + + n)_n (n + iy 71(/?+ 1)(271 + 1) n(n + l)=*+2 2（分組求和）n(n + l)2(n + 2)五. 裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項,最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1) =/(n +l)-/(n)sin V(2) = tan(n + l)c - tanncos7?ccos(/? + l)°(3) an =!=-n(n +1) n n + 廿A 十丄 ”2 1）（2+ 1）

11、 2 1.n(n-lX« + 2)2" n(n +1) (n + l)(w + 2)(6)n+ 21 _2(n + l)-n 1 _1血2 + 1) 2 " n(n +1) 丁 _ 2心(n + l)2r,!=(- _ -)( An + B)(An + C) C _ B An + B An + CL 1 =Jl + -肩JH + yjll + 1例9求數列£亍'云了F._打， 的前 n 項和.J n +、/ n + 1（裂項）S =丄+I + a/2y/2 + y/3+ +yn + y/n + （裂項求石）=(/2 - VT) + (3 一 y/

12、2) + + (J" + 1 - y/n)=Jn + 1-1例 101 2在數列g中，+ +n + l2,求數列 bn的前5 %】n項的和。解:1 2a，_ n+T+n+T+ +” + 1（裂項）數列bj的前n項和S” =8(1 £) + (£_) + (_：) + + (-!22334n n +1= 8(1L)=竺n + 1n + )1（裂項求和）求證：+cos0° cosl" cosl0 cos2c+ +cosT1cos88° cos893 sin21°解：設5* =+cosO° cosT coslc cos2

13、c+ +cos88° cos89°sinl0=tan(7i + l)° - tann0cqsh cos(72 + l)e（裂項）+ +cos88° cos89°/ S =1cosOc coslc cosf cos2°=!(tanT tan0°) + (tan2° - tanT) + (tan3° - tan 2°) +tan 89° -tan88° sin lc（裂項求和）一 (tan89° - tan0°) = cotl° =竺- sinfsi

14、n 1°sinl答案:11(2 3« + 2«+3,原等式成立六、分段求和法(合并法求和)針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這 些項放在一起先求和，然后再求Sno例 1 2求 c o s 1 ° + c o s2c + cos 3 ° + + c os 178" + cos 1 79J 的值.解：設 Sn= cos1 ° + c o s2° + co s 3C + + co s 1 78° + co s 1 79°I cos/f =-cos(1

15、80°-7f)(找特殊性質項)/ Sn= (co s 1 ° + co s 1 79c ) + ( cos2° + cos 178° )+ (cos3 ° + cos177° )+ (co s89 0+ c o s 91°)+ c o s 9 0 °(合并求和)=0例 13數列an:= l9a2 = 39a3 = 2,«/l+2 = an+l-an ,求 S2002.解：設 S2002= Cl + +“2()02由 q=i, a2 =3, a3= 2,= % 一 an 可得。62=匕 心知2=3, %知3

16、=2, a6k4 = -1, a6k5 = -3,= -2“6A+1 +。6£+2 +“6如3 +“62 +“6女+5 +。6«+6 = °(找特殊性質項)/ S 2 002= ci + Cl2 + a3 HF &2002(合并求和)=(。1 + “3 + 記“)+(a7 + “8 + * 訛12 ) + + (°6"1 + “6 如 2+ 6知6)d F (。1993+ "1994+ "1998)+ 1999 + “2000 + 2001 + 20021999 + “2(X)0 + 02001 + “2(X)2a6

17、M + “62 + “6 知 3 + “614=5例14 在各項均為正數的等比數列中，若坷心=9,求log/】 +iog3 a2 + + log3«l()的值.解：設 S” = logs 5 +log3&2 + 噸沁。由等比數列的性質m + n = p + q=> aman = apaq(找特殊性質項)和對數的運算性質logfl M +logn N = log& M7V 得sn = (log3 ax +log3a10) + (fog3«2 + log3 a9) + + (k)g3 «5 + log3 )(合并求和)= (log3®

18、aIO) + 0og3a2 G9)+ + (log3“5 “)=log 3 9 + logs 9 log3 9=1 0七. 利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規(guī)律來 求數列的前n項和，是一個重要的方法.W 15求 1 + 11 + 111 +111 1 之和.（找通項及特（分組求和）解：由于111 .1 = 1x9999 =丄(10女_)' 9 ' 9征) 1+11+111+111 1"個1=丄(io1-l) + i(io2 -1) +1(103 _1) + + 丄(10 _1)9999=-(10'4-102 + 103 + +10" )-(1 + 1 + 1 + + !)99_ 1 10(10"