《材料力學(xué)》第9章壓桿穩(wěn)定習(xí)的題目解

1、第九章壓桿穩(wěn)定習(xí)題解習(xí)題9-1在9-2中已對兩端球形鉸支的等截面細(xì)長壓桿，按圖a所示坐標(biāo)系及撓度曲線形狀，導(dǎo)出了臨界應(yīng)力公式Per2ei產(chǎn)。試分析當(dāng)分別取圖b,c,d所示坐標(biāo)系及撓曲線形狀時，壓桿在Fcr作用下的撓曲線微分方程是否與圖a情況下的相同，由此所得Fcr公式又是否相同。(時(c)(d)解：撓曲線微分方程與坐標(biāo)系的y軸正向規(guī)定有關(guān)，與撓曲線的位置無關(guān)。因為(b)圖與(a)圖具有相同的坐標(biāo)系，所以它們的撓曲線微分方程相同，都是Elw M(x)( c)、(d)的坐標(biāo)系相同，它們具有相同的撓曲線微分方程：Elw M (x)，顯然，這微分方程與(a)的微分方程不同。臨界力只與壓桿的抗彎剛度、長

2、度與兩端的支承情況有關(guān)，與坐標(biāo)系的選取、撓曲線的位置等因素?zé)o關(guān)。因此，以上四種情形的臨界力具有相同的公式，即:Per2ei習(xí)題9-2圖示各桿材料和截面均相同，試問桿能承受的壓力哪根最大，哪根最?。▓D所示桿在中間支承處不能轉(zhuǎn)動）？解:壓桿能承受的臨界壓力為：Per昱。由這公式可知，對于材料和截面相同的壓桿，（）2它們能承受的壓力與原壓相的相當(dāng)長度 丨的平方成反比，其中，為與約束情況有關(guān)的長 度系數(shù)。(a)l 1 5 5m(b)l 0.7 74.9m(c)110.5 94.5m(d) l 2 2 4m(e) 118 8m(f) l 0.7 5 3.5m (下段)；丨 0.5 5 2.5m (上段)

3、故圖e所示桿Fcr最小，圖f所示桿Fcr最大。習(xí)題9-3圖a,b所示的兩細(xì)長桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但第一根桿（圖a）的基礎(chǔ)放在彈性地基上，第二根桿（圖b ）的基礎(chǔ)放在剛性地基上。試問兩桿的臨界力是否均為 PcrElmin(2.I)2?為什么？并由此判斷壓桿長因數(shù)是否可能大于2。螺旋千斤頂（圖c）的底座對絲桿（起頂桿）的穩(wěn)定性有無影響？校核絲桿穩(wěn)定性時, 把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、長度為l的壓桿是否偏于安全？（C）解：臨界力與壓桿兩端的支承情況有關(guān)。因為的下支座不同于（b）的下支座，所以它們的臨界力計算公式不同。力為：巳2EImin(2.l)22，因此，不能用（b）為一端固定，一

4、端自由的情況，它的長度因素2，其臨界。但是，（a）為一端彈簧支座，一端自由的情況，它的長度因素2EI i巳羅來計算臨界力。（2.l）2為了考察(a)情況下的臨界力，我們不妨設(shè)下支座(B)的轉(zhuǎn)動剛度C M 20El且無側(cè)向位移，則：Elw M (x) Fcr( w)令 E k2，得：w k2w k2微分方程的通解為：w Asinkx Bcoskxw Ak cos kx Bksin kx由邊界條件：x 0，w 0，wFcr解得:F crsin klcosklCkC整理后得到穩(wěn)定方程:kl tan klCEI /l20用試算法得：kl 1.496故得到壓桿的臨界力:Fcr(1.496)2 早2ei(

5、2.1l)2因此，長度因素 可以大于2。這與彈性支座的轉(zhuǎn)動剛度 C有關(guān)，C越小，則 值越大。 當(dāng)C 0時，。彈性支座較合適。這種情況，螺旋千斤頂?shù)牡鬃c地面不是剛性連接，即不是固定的。它們之間是靠摩擦力來維持相 對的靜止。當(dāng)軸向壓力不是很大，或地面較滑時，底座與地面之間有相對滑動，此時，不能 看作固定端；當(dāng)軸向壓力很大，或地面很粗糙時，底座與地面之間無相對滑動，此時，可以 看作是固定端。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時，把它看作上端自由，下端為具有一定轉(zhuǎn)動剛度的2，算出來的臨界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、長度為I的壓桿”算出來的臨界力要小。譬如，設(shè)轉(zhuǎn)動剛度C M 20旦，則:巳個端

6、Pcr彈簧2.12221.1025， Pcr 固端1-1025PCr彈簧。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時，把它M (x)Pcr V( X)MeIIEIvM (X)M ePcrV(X)IIEIvRrV(X)Me討）晉令k2丄EIk2vk2匹Pcr看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、長度為I的壓桿不是偏于安全， 而是偏于危險。習(xí)題9-4試推導(dǎo)兩端固定、彎曲剛度為EI，長度為I的等截面中心受壓直桿的臨界應(yīng)力Pcr的歐拉公式。解:設(shè)壓桿向右彎曲。壓桿處于臨界狀態(tài)時，兩端的豎向反力為FCr，水平反力為0,約束反力偶矩兩端相等，用Me表示，下標(biāo)e表示端部end的意思。若取下截離體為研究對象，則Me的轉(zhuǎn)向為逆轉(zhuǎn)

7、。上述微分方程的通解為:v Asin kx BcoskxMePer(a)vAk cos kx Bk sin kx邊界條件： x 0 ； v 0 :0 AsinO BcosO 叫；BPerM (Per x 0 v 0: 0 Ak cosO BksinO ； A 0。把A、B的值代入(a)得:cos kx)Pcrk sin kx邊界條件： xL ； v0:0M ePcr 0x0 v0:0Me kPcr以上兩式均要求：kL 2n(n0,1,3,其最小解是:kL2，或k2L。故有：)coskL)，sin kLk21 coskLsin kL 0(0.5L)2P-cL，因此:El2EI2(0.5L)2習(xí)題

8、9-5長5m的10號工字鋼，在溫度為00 C時安裝在兩個固定支座之間，這時桿不受力。已知鋼的線膨脹系數(shù)i 125 10 7(0C) 1，E 210GPa。試問當(dāng)溫度升高至多少度時，桿將喪失穩(wěn)定性？ 解:趾=匹=一一/ AA1=29.2匸習(xí)題9-6兩根直徑為d的立柱，上、下端分別與強勁的頂、底塊剛性連接，如圖所示。試根據(jù)桿端的約束條件，分析在總壓力F作用下，立柱可能產(chǎn)生的幾種失穩(wěn)形態(tài)下的撓曲線形狀，分別寫出對應(yīng)的總壓力F之臨界值的算式（按細(xì)長桿考慮），確定最小臨界力卩“的算式。解：在總壓力F作用下，立柱微彎時可能有下列三種情況:（a）每根立柱作為兩端固定的壓桿分別失穩(wěn)：=0.5TT3SZ TT*

9、 蠱？（b）兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在自身平面失穩(wěn)失穩(wěn)時整體在面彎曲，則 1，2兩桿組成一組合截面。(c )兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在面外失穩(wěn)64故面外失穩(wěn)時Pcr最?。核?Ed4212812能力，試確定作用于結(jié)點D處的荷載F的臨界值。氏I =氏也+2%冷cqs30習(xí)題9-7圖示結(jié)構(gòu)ABCD由三根直徑均為d的圓截面鋼桿組成， 在B點鉸支，而在A點和C點固定，D為鉸接點，-10 。若結(jié)構(gòu)由于桿件在平面 ABCD彈性失穩(wěn)而喪失承載 d解：桿DB為兩端鉸支：1 ,桿DA及DC為 端鉸支一端固定，選取 o此結(jié)構(gòu)為超靜定 結(jié)構(gòu)，當(dāng)桿DB失穩(wěn)時結(jié)構(gòu)仍能繼續(xù)承載，直到桿 AD

10、及DC也失穩(wěn)時整個結(jié)構(gòu)才喪失承載能力，故” 丘咼翠15純護 Ji 鄉(xiāng)&/戲 I丁+十-36.啤習(xí)題9-8圖示鉸接桿系A(chǔ)BC由兩根具有相同截面和同樣材料的細(xì)長桿所組成。若由于桿件在平面ABC失穩(wěn)而引起毀壞，試確定荷載F為最大時的角(假設(shè)0- )o解：要使設(shè)計合理，必使 AB桿與BC桿同時失穩(wěn),即:Pcr, AB2eiIab2F cosPcr, BC2eiIbc2F sinF sinF costan/ 1 AB、22(廠)cot1 BC2arcta n( cot)習(xí)題9-9下端固定、上端鉸支、長I 4m的壓桿，由兩根10號槽鋼焊接而成，如圖所示，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)中實腹式b類截面中心受壓桿的要求。

11、已知桿的材料為Q235鋼,強度許用應(yīng)力170MPa，試求壓桿的許可荷載。解：查型鋼表得: = 2x198 3x10 =3961 = 0x2x48=134X10_-BIy = 2x(25.6xl0s + l274xl0_4 x32.3a x 10= 325 3x10凡=嗣=0301x170=51 2MPa=2x12.74x10 x51.2x1( = 130x1Ob N = 130kN習(xí)題9-10如果桿分別由下列材料制成：（1 ）比例極限 p 220MPa，彈性模量E 190GPa的鋼;（2）P 490MPa，E 215GPa，含鎳 3.5% 的鎳鋼；（3）P 20MPa，E 11GPa 的松木。

12、試求可用歐拉公式計算臨界力的壓桿的最小柔度。解：（1）220x10spp習(xí)題9-11I 3.5m，兩端鉸支、強度等級為 TC13的木柱，截面為150mm X150mm 的形，長度 強度許用應(yīng)力10MPa。試求木柱的許可荷載。解:= 43 = 80SS1由公式（9-12a ):F = 0.393xl0x 10s xl5O3 xlO-6 = 83.4X103N= 88.4kN習(xí)題9-12圖示結(jié)構(gòu)由鋼曲桿 AB和強度等級為TC13的木桿BC組成。已知結(jié)構(gòu)所有的連接均為鉸連接，在B點處承受豎直荷載 F 試校核BC桿的穩(wěn)定性。解：把BC桿切斷，代之以軸力 N，則M A 01.3 1 NcosC 1 Ns

13、i nC 101.3kN，木材的強度許用應(yīng)力10MPa 。1.3sin C cosCsin C221.520.8cosC_1.5_、221.520.61.30.8 0.60.929(kN)bh312丄 40 403213333(mm4)12i213333.40 4011.547( mm)1 2.5 10311.547216.591由公式（9 12b ）得:280022800216.520.0597st 0.0597 10 0.597MPaN 929N20.581 MPaA 40 40mm因為 st，所以壓桿BC穩(wěn)定。習(xí)題9-13 一支柱由4根80mm 80mm 6mm的角鋼組成（如圖），并符合

14、鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計 規(guī)中實腹式b類截面中心受壓桿的要求。支柱的兩端為鉸支，柱長I 6m，壓力為450kN。若材料為Q235鋼，強度許用應(yīng)力170MPa，試求支柱橫截面邊長 a的尺寸。解:B寸問WIT70 =57.35x10- m4（查表:119.7=0.704,查表得: = 77.5M _ 1x6T 7750.0774 m= 4x9.397 x10 0.0774 = 0.2253x104占+咼（|一21.疔“屮壯-厶)*訶57.35)x10 xlO5；- mm習(xí)題9-14某桁架的受壓弦桿長 4m,由綴板焊成一體，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)中實腹式 b類 截面中心受壓桿的要求，截面形式如圖所示，材料為Q235鋼

15、，170MPa。若按兩端鉸支考慮，試求桿所能承受的許可壓力。2L25X1J5K 1U解：由型鋼表查得 - 角鋼:/二24齊咕=4.85x lO3 m1x44.S5xlO= 82.5查表： -習(xí)題9-15圖示結(jié)構(gòu)中，BC為圓截面桿，其直徑d 80mm ； AC邊長a 70mm的形截 面桿。已知該結(jié)構(gòu)的約束情況為 A端固定，B、C為球形鉸。兩桿的材料均為 Q235鋼，彈性模量E 210GPa，可各自獨立發(fā)生彎曲互不影響。若結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)nst2.5，試求所能承受的許可壓力。解：BC段為兩端鉸支，16413.14648042009600(mm4)PCr22324_Et 314210 10 N/m

16、m 2009600mml220002mm21040227N1040.227kNFbcPernst1040.2272.5416(kN)AB桿為一端固定，一端鉸支，0.7Pera4112122ei44702000833( mm )3.142 210 103N/mm2 2000833mm42 1 002mm2939400.621N939.4kNFac PeL 9394375.76376(kN)nst 2.5故F 376kN習(xí)題9-16圖示一簡單托架，其撐桿 度為-的均布荷載作用，j -口-1，試求撐桿所需的直徑AB為圓截面木桿，強度等級為 TC15。若架上受集AB兩端為柱形鉸，材料的強度許用應(yīng)力d。

17、解：取m m以上部分為分離體，由 V - | ,有sin 30D X 24 二空邏L = 214 kN設(shè) (P = 0.683, = 0 683xr = 7 513MPa214x1，=7.513x10srfa=36.267xlO3?1x2 77TTT= 58.316fl9 = l 020 55(58.316+20 3iob= 0.683求出的與所設(shè)基本相符，故撐桿直徑選用1； m 。習(xí)題9-17圖示結(jié)構(gòu)中桿 AC與CD均由Q235鋼制成，C,D兩處均為球鉸。已知認(rèn)-mm， = 100 mm，180mm ；應(yīng)二,込二力5MP日，礙；強度安全因數(shù)穩(wěn)定安全因數(shù)-解:(1 )桿CD受壓力 Fcd梁BC

18、中最大彎矩 M B2F3。試確定該結(jié)構(gòu)的許可荷載。(2)梁BC中F沁6x市=3灶泌4x2.0=95175N=95.2kN(3)桿 CD1x14(Q235鋼的100)5? El _ 7?乂200曲1。9 X2O4X1T1J廠-尸64 一64=二二 T 一 m：- （由梁力矩平衡得）FIo15 5x33.0=15.5kN故，由（2）、（ 3）可知，F(xiàn)15.5kN習(xí)題9-18圖示結(jié)構(gòu)中，鋼梁 AB及立柱CD分別由16號工字鋼和連成一體的兩根63mm 63mm 5mm角鋼組成，桿 CD符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)中實腹式b類截面中心受壓桿的要求。均布荷載集度 q 48kN/m。梁及柱的材料均為 Q235鋼，170

19、MPa，E 210GPa。試驗算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余約束力 Fcd把CD桿去掉，代之以約束反力Fcd。由變形協(xié)調(diào)條件可知，Wcl cdWCqwcFcd1 CD45ql ABF l3CD ABFcd1 cd384 EI48 EIEA45ql ABF l3CD ABFcd1 cd3841481A查型鋼表得：16號工字鋼的I z 1130cm4，Wz 141cm32463mm 63mm 5mmL 形角鋼的面積：A 6.143cm , Iz 23.17cm ,iz 1.94cm5 48kN/100cm 4004cm4FCD 400cm3FCD 200cm42384 1130cm48 1130cm12.286cm5 48kN/100 4004Fcd 4003Fcd 200384 113048 113012.286141592.9203 11