三角函數圖像與性質

1、學習好資料 歡迎下載 三角函數的圖像與性質 德育目標： 1 滲透”變換思想、化歸”思想； 2 培養(yǎng)邏輯推理能力； 3 培養(yǎng)學生探求精神 教學方法： 引導式 運用”整體化教學思想，引導學生生從 ”整體到局部再到整體”逐步認識 三角函數的圖象和性質是平面三角的主體內容，它是代數中學過的函數的重要補充本章復習的重點是進一步熟練 和運用代數中已學過的研究函數的基本理論和方法，與三角變換配合由三角函數組成的較復雜函數的性質，在諸多 性質中，三角函數的周期性和對應法則的“多對一”性，又是這里的特點所在，復習中不僅要注意知識、方法的綜 合性，還要注意它們在數學、生產、生活中的應用. 周期函數和最小正周期是函

2、數性質研究的新課題，不僅要了解它們的意義，明確周期函數，函數值的變化規(guī)律， 還要掌握周期性的研究對周期函數性質研究的意義，并會求函數的周期，或者經過簡單的恒等變形可化為上述函數 的三角函數的周期. 三角函數指的是，等函數，了解它們的圖象的特征，會正確使用“五點法”作出它們的 圖象，并依據圖象讀出它們的性質，是本章的基礎. 對于性質的復習，不要平均使用力量，只要強調已學函數理論、方法的運用，強調數形結合的思想，而要把重點放 在周期函數表達某些性質的規(guī)范要求上. 例如，對于，怎么表述它的遞增(減)區(qū)間，怎么表述它取最大(小)值時的取值集合，怎么由已知的函數值的取 值范圍，寫出角的取值范圍來，等等還

3、可對性質作些延伸，例如，研究它們的無數條對稱軸的表示，無數個對稱 中心的表示等等. 正弦型函數是這里研究的又一個重點，除了會用“五點法”畫出它的簡圖外，還要從圖象變換的角度認識它與的 圖象的關系，對于三種基本的圖象變換(平移變換，伸縮變換，對稱變換厘二步進行復習和適當提交. 本章復 習還要注意適當提交起點，注意把簡單的三角變換與有關函數的性質結合起來，注意把三角函數和代數函數組合起 來的綜合性研究，注意在函數圖象和單位圓函數線這兩工具中的綜合，擇優(yōu)使用. 注意從數學或實際問題中概括出來的與正弦曲線有關的問題的研究，并注意立體幾何、復數、解析幾何等內容，對 平面三角要求的必要準備的復習. 本章中

4、數學思想最重要的是數形結合，另外換元的思想，等價變換和化歸的思 想，以及綜合法、分析法、待定系數法等等，在復習中應有所體現(xiàn) 知識目標： 1、 會用與單位圓有關的三角函數線畫出正弦函數、 正切函數的圖象，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數圖象； 理解周期函數與最小正周期的意義；并通過它們的圖象理解正弦函數、余弦函數、正切函數的性質；會用 ”五點法 畫正弦函數、余弦函數和函數 y= Asin( 3汁段)的簡圖，理解 A、3、段的物理意義； 2、 會用已知三角函數值求角，并會用符號 arcsinx、arccosx、arctanx 表示用其解決相關問題 本章知識與方法總結： 知識綱要： (1) 角的概

5、念推廣：正角、負角、零角終邊相同的角 (2) 弧度制：一弧度角的定義角度制與弧度制的換算 (3) 任意角三角函數的定義 三角函數定義定義域三角函數線三角函數值在各個象限的符號 (4) 同角三角函數間的基本關系式、平方關系、商數關系、倒數關系學習好資料 歡迎下載 (5) 誘導公式，主要包括 n a 2naa a與 a角三角函數間的關系 (6) 兩角和與角的正弦，余弦、正切公式 (7) 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (8) 三角函數的圖象和性質定義域值域 (包括最值)奇偶性周期性單調性函數的圖象及作法 方法總結： 正確理解三角函數概念、圖象和性質、課本要求的三角公式及其內在聯(lián)系，是學習本章內容的基

6、礎。 1 已知一個角的一個三角函數值，求這個角的其他三角函數值的方法； 2 利用誘導公式求任意角三角函數值的方法； 3 已知一個角的一個三角函數值，求符合條件的角的方法； 4 利用三 5 證明角相等的方法和證明三角恒等式的方法； 6 作三角函數圖象的方法； 7 三角函數圖象變換的方法； 8 研究三角函數性質的方法 要點梳理 “五點法”作圖原理：在確定正弦函數 y=sin x 在0, 2 二上的圖象形狀時，起關鍵作用的五 個點是 、 、 、 、 _ _ 余弦函數呢？ 二 * R 對稱性 對稱軸:九- E 對稱軸:一* GEZ)不對稱中 心二厲送 對稱中心*: (JteZ) 2 v j 對稱中心：

7、 巨 Z) I* e 7) (Jt Z) 周期 2?r 2加加 單調性 單調増區(qū)間 2- 單調增區(qū)間 2疋直一込 單調増區(qū)間 jt暫三； 上兀+ 兀 二住 V 單調;變區(qū)冋 單調減區(qū)間 (A 2) 奇偶性 奇J 偶 奇 1、定義域: 函數y二si nx及y =cosx的定義域都是 -：,亠即實數集 R 2、值域： 函數 y =si nx , x，R 及 y=cosx , x，R 的值域都是 l-1,ll 學習好資料 歡迎下載 -1，即 一1 sinx 空 1 , T Ecos 1。理解： (1)在單位圓中，正弦線、余弦線的長都是等于或小于半徑的長 1 的，所以 sinx cosx 學習好資料

8、歡迎下載 （2）函數y =sin x在x = 2k ,（ k三Z）時，y取最大值 1，當x = 2k , （k ：二Z）時，y取最小值-1 ；函 2 2 數y二cosx在x=2k二，（k三Z）時，y取最大值 1，當x = 2k二二，（k三Z）時，y取最小值-1。 3、周期性 正弦函數y二si nx, x- R和余弦函數y二cosx，R是周期函數，2k二（k Z 且 k = 0）都是它們的周期，最 小正周期是2二。 4、奇偶性 正弦函數y =si nx，x R是奇函數，余弦函數 y =cosx， x R是偶函數。 理解： （1）由誘導公式 sin -x - -sinx， cos（-x）二cosx

9、可知以上結論成立; （2）反映在圖象上，正弦曲線關于原點 O 對稱，余弦曲線關于 y軸對稱。 5、單調性 （1）由正弦曲線可以看出： 當x由一丄增大到 二時，曲線逐漸上升，sinx由-1 增大到 1；當x由】增大到時, 2 2 2 2 曲線逐漸下降，sinx由 1 減至-1，由正弦函數的周期性知道： 正弦函數y二sinx在每一個閉區(qū)間 2: / 2k二 k Z上，都從-1 增大到 1,是增函數； IL 2 2 在每一個閉區(qū)間 2k：，3 2k二 k Z上，都從 1 減小到-1,是減函數。 IL2 2 （2）由余弦曲線可以知道： 余弦函數y =cosx在每一個區(qū)間 2k -1二,2k二 k Z上

10、，都從-1 增大到 1，是增函數; 在每一個閉區(qū)間 2k; 2k二 k Z上，都從 1 減小到-1，是減函數。 練習：不求值，分別比較下列各組中兩個三角函數值的大小: 例 3、求下列函數的最大值及取得最大值時自變量 x的集合: (1) sin 2500 與 sin 260 ； (2) cos15 二與 cos14 二 8 9 學習好資料 歡迎下載 (1) y = cosx ； 3(2) y = 2 -sin2x 學習好資料 歡迎下載 例 4、求函數y = sin 2x 才 的單調增區(qū)間。 練習：（1）求函數y = 2sin x 1的定義域；（2）求函數y=cos2x，2sinx-2的值域; 1

11、*西數y - A sin（ + ?）+占的圖冢 a、熟練掌幄五點法作圖象 囹象的對稱性 函數y = sinfcix 土詢 亠B勻y = 一遇cos（yx 土 + E的對稱軸經過它們的最值點. 區(qū)1數y = A si 斗妙斗&與尹=A cosftx + 初+占的劉稱中心是其國象與平衛(wèi)位苴 C育線 = B）的交點一 、” 、 _ 9 正切型畫魏j = A tan（ + B的對稱中心是（ - * = 2）. CO 2.三角函數的性底： （1） 能用罡義-鍛形結合以及轉化溝用公式法求三角畫數的周期 （2） 奪偶性；熟記下列重姜結論井事握其推導過程 學習好資料 歡迎下載 y = A目irX*兀+爐）杲奇

12、函數 o e = l Z） 題型分類深度剖析 題型一與三角函數有關的函數定義域 【例 1】求下列函數的定義域匚 0_ 丁lWcg Xlj *-(KcOS 3tWl學習好資料 歡迎下載 4 即 MNOM 知 0OMW1, /- OM 只能在 x 軸的正半軸上 二其定義域為 方法一利用余弦函數的簡圖得知定 方法二 利用三角函數線，如圖為正弦線 OM 為余弦線， 要使“口 xcos ix I - Ikr x 一 + 2尢仏菱 E 1. 2 2 (2 )要使函數有意義，必須使 sin xcos 兀 20 方法一利用圖象在同一坐標系中畫出 0, 2 _ty=sin x 和 y二 cos 盟的圖象女 在（

13、b 2TT內亍滿足 sin x=cos x 的 x 為；也 4 4 再結合正弦.余弦函數的周期是 2 眉 所以定義域為x| + 2fcrx + 2tZ. X STT 一 1 。 則 t “莖蘭（在口防訥）. J* 4 4 定義域為工| 十2k扛x 十2kn,k e Z 4 4 義域為 | + 2 腺 x -2kn.k eZ. -i 方法二 利甬單位凰中島余弦線依題意 y 工1 IT M 7 2 -1 oXZ J i y2 學習好資料 歡迎下載 方法二 引 u A cos .v 二-2 srii Y- i 2 U. 4 將工蘭視為一個整體，由正弦函數 ysinr 的 4 “ 圖象和性質可知Ikj

14、r x JT + 2kr. 4 解得 2 ?r + 冬 x + 2k;rkeZ. 4 4 所以定義域為+ 字+2 衍/EZ. 4 4 求函數尸 2 品（蘭 7）的單調區(qū)間. 4 解 方法一 I1 = 2sin(= -2sin(j：-), 4 4 v j = sin u(ue遞增、遞減區(qū)間分別為 2k-92k+ (k c Z), * 兀 r 37r * 2 + -52-h (it e Z). L 2 2 J 二函數)匸-2sin(x- 的遞增、遞減區(qū)間分別由下面 4 的不等式確定 2k + x - 2frj? + (fr GZI 2 4 2 7 藥j 予、 (仁 Z), 4 2kr- x 2 +

15、 (ie Z), 2 4 2 JT 3 爐 艮卩 2fcr- 乞2fcr (fcZ)+ 4 4 x 4 4 方法二 ）=2血11（彳一兀）可看作是由J? =2切D2/與丑= 4 4 復合而成的 又 *u = -X為減函數匯由2k- u-2kx+(k E Z). 4 2 2 -2kr4- (k u Z). 4 4 即-2kfT 2k +- (ie Z)Jj7 = 2 sin( x) _ 4 4 4 的遞減區(qū)間. 陋陋 3 7E 由2上兀 + 2 E u2k(k w Z); 即 2A + - x + (i EZ得 2 4 2 -2kJT x, 4 4 -Si 即-2上兀一竺一2i；7T 巴eZ)j

16、y = 2sin( -x) 4 4 4 的遞增區(qū)間. 綜上可知：）的遞壇區(qū)問為 4 初區(qū)間為卜咖-亍-2 血+gZ）.一兀 4 學習好資料 歡迎下載 課堂檢測( (一) ) 一、選擇題： 1 滿足 tan a c 的角的一個取值區(qū)間是( ) n n n n C. 4 ,2 D. 4 ,2 3下列函數中周期為的奇函數是( 3 n x A.y=cos(2x+ 2 ) B.y=tanq n n 4. 若 sin a tan a cg x2 )，貝U a的取值范圍是( n n n n A.(- 2，4) B. (-4 ,0) C.(0，4 ) 二、 填空題 5. _ 比較大?。簍an222 tan22

17、3 . n 6. _ 函數 y=tan(2x+ 4 )的單調遞增區(qū)間是 _ . 7. _ 函數y=sinx 與 y=tanx 的圖象在區(qū)間0, 2 n上交點的個數是 _ . n &函數 y=f(x)的圖象右移 4，橫坐標縮小到原來的一半，得到 y=tan2x 的圖象, 貝 H y=f(x)解析式是 _ . 9. 函數 y=lg 普1的奇偶性是 tan x-1 n 10. _ 函數的 y=|tan(2x-3 )|周期是 . 三、 解答題 n A.(0, 4) n B. 0,4 2 函數的定義域是( ) n A.x|x 亍,x R n C. x|x 豐 k? ,x R 3 n B. x|x 扌,x

18、 R 3n D. x|x 豐 kj +x R ) n C.y=sin(2x+ q ) n D.y= - |cotx q | n n D.( 4 ,2) 學習好資料 歡迎下載 11 .作函數 y=cotxsinx 的圖象.學習好資料 歡迎下載 15. 求函數 y=3tan （ n ）的周期和單調區(qū)間 6 4 課堂檢測（二）： 一、選擇題：（5*12=60 分） 12作出函數 y=|tanx|的圖象，并根據圖象求其單調區(qū)間 13. 求函數 y= tanx -1的定義域. n tan (x 6) 14. 求下列函數的值域: 2 (1) y=2cos x+2cosx 1; (2) 2cosx 1 2c

19、osx -1 學習好資料 歡迎下載 D .與 a 的取值有關 n y= si n( 2x + ) 10 .函數 y = Asin( 3 x+ $ )在一個周期上的圖象為上圖所示.則函數的解析式是 ( ) x 2 n x 4 n A . y= 2sin(?g) B. y= 2sin(?+g) 1 .函數y =cot(x )的定義域是 ( 4 A.I x R,且 x =2k , k 二 Z / 4 ) B. |x R,且x = k ,k = Z f 4 C. ：x | x R,且 x = k 二，k Z / D. ：x| x R,且 x 2k ,k Z f 4 2.已知角a的終邊過點 P (4a, 3a) a0, c )的圖像與 y 軸交于點 2 0,- j。它與 y 軸右側的第 0 二 SW 16. 16 18 略 (3) f( a )=寸寸. 20