第六章 black-schols期權定價模型

1、一、證券價格的運動的規(guī)律 （一）弱式效率市場假說與馬爾可夫過程（一）弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 l1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的。l效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 l弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）來表述。l隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程?？煞譃殡x散型的和

2、連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。 l如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現在的價格。（二）布朗運動（二）布朗運動 1.標準布朗運動標準布朗運動l設 代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z z在時間 內的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征：l特征特征1 1： 和 的關系滿足（6.1）： （6.1）l其中， 代表從標準正態(tài)分布（即均值為即均值為0 0、標準差為、標準差為1.01.0的正態(tài)的正態(tài)分布分布）中取的一個隨機值。tztztztz特征特征2 2：對于任何兩個不同時間間隔， 和 的值相互獨立。 l考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得

3、： l （6.2）l(6.2)式均值為0 0，方差為 （ 是相互獨立的 ）l當 時，我們就可以得到極限的標準布朗運動： （6.3） 0ttztzTzNii1)0()(dtdzTi2.2.普通布朗運動普通布朗運動 l我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。l標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。 l我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運動普通布朗運動： （6.4）l其中，a和b均為常數，dz遵循標準布朗運動。 bdzadtdxl( (三三) )伊藤過程伊藤過程l普通布朗運動普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函

4、數，我們可以從公式(6.4)得到伊藤過程伊藤過程（Ito Process）：）： (6.5）l其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),( (四四) )證券價格的變化過程證券價格的變化過程l證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 的伊藤過程來表示：l兩邊同除以S得：22SSdzSdtdSdzdtSdS（6.6）l從（6.6）可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：l可見， 也具有正態(tài)分布特征 (6.7)ttSS),(2ttNSSSStt 例6.1l設一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%

5、，預期收益率以連續(xù)復利計為每年20%，其目前的市價為100元，求一周(0.0192年)后該股票價格變化值的概率分布。 0.200.18SttS 100 0.003840.02490.3842.49S S服從均值為0.384元，標準差為2.49元的正態(tài)分布的隨機抽樣。( (五五) )伊藤引理伊藤引理 若變量S S遵循伊藤伊藤過程，則變量s和 t 的函數 f 將遵循如下過程： 根據伊藤引理，衍生證券的價格 f 應遵循如下過程： 2221()2ffffdfabdtbdzStSSSdzSdtdS22221()2ffffdfSSdtSdzStSS由于由于（6.8）（6.9）(6.10)伊藤引理證明伊藤引

6、理證明：兩個變量的函數的泰勒展開式為：22222221122ffffffStSS ttStSS tt 由前述：SS tSt 由此可以推出：2222()SStot 因為 服從標準正態(tài)分布，有 ，由此可以推出 。如果我們求 的方差，有( )0( )1EVar和2()1E2t22222()()()Vartt EE 所以，當 時， 是高階小量。這意味著，當 時， 。 0t 2()Vart0t 2()0Vart 即 將變成不再是隨機變量。而 ，則有 ，那么 。所以有2t2( ) 1E212tdt 222dSS dt 將這個結果代入上面泰勒展開式，略去二階以上（包括二階）的高階小量，就得到222212ff

7、fdfdSdtS dtStS再把 代入，就有dSSdtSdz222212ffffdfSSdtSdzStSS這即為伊藤引理的結果。返回返回( (六六) )證券價格自然對數變化過程證券價格自然對數變化過程 l令 ，由于l代入式（6.10）: （6.11）l證券價格的對數遵循普通布朗運動,且： lnfS22211,0fffSSSSt ),)(lnln22tTtTNSStTdzdtSddf)(ln22),)(lnln22tTtTSNStT)()(2exp()()(2(|ln)2(ln222tTtTtTTtTtTtTtzztTSSzztTSdzdtSd上式說明股價從t時刻開始，將以指數形式函數的比率成長

8、，其中一部分的成長是隨時間而變，另一部分呈現隨機變動。例例6.26.2l設A股票價格的當前值為50元,預期收益率為每年18%,波動率為每年20%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6個月內不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。例例6.36.3l請問在例6.2中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等多少？ 二、布萊克二、布萊克舒爾斯微分方程舒爾斯微分方程 （一）布萊克（一）布萊克舒爾斯微分方程的推導舒爾斯微分方程的推導 我們假設證券價格S遵循幾何布朗運動：則： （6.12） SdzSdtdSzStSS假設 f 是依賴于 S S 的衍生證券的價格，則： （6.13） 為了消除

9、 ，我們可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值， 則： (6.15) SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222zSfSSff（6.14）在 時間后： （6.16）將式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得： （6.17）在沒有套利機會的條件下：把式（6.15）和（6.17）代入上式得： tSSfftSSftf)21(2222trtSSffrtSSftf)()21(2222布萊克布萊克舒爾斯微分分程舒爾斯微分分程l化簡為： (6.18) l這就是著名的布萊克這就是著名的布萊克舒爾斯微

10、分分程，它適用于其舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格價格取決于標的證券價格S S的所有衍生證券的定價。的所有衍生證券的定價。 rfSfSSfrStf222221（二）風險中性定價原理（二）風險中性定價原理 l假設所有投資者都是風險中性的，那么所有現金流量都可以通過無風險利率進行貼現求得現值。l盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。例子例子l假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。現在我們要找出一份3個月期

11、協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權的價值。l該看漲期權的價值應為0.31元 l在風險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P P，下跌的概率為1-1-P P。 P=0.6266P=0.6266l這樣，根據風險中性定價原理，我們就可以得出該期權的價值： 0.1 0.25119 110ePP（）0.1 0.25(0.5 0.62660 0.3734)0.31fe 元 這就是說，該看漲期權的價值應為0.31元，否則就會存在無風險套利機會。 從該例子可以看出，在確定期權價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 事實上，只要股票的

12、預期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風險中性世界風險中性世界中，無風險利率為10，則股票上升的概率P可以通過下式來求：0.1 0.2510119 1ePP62.66%P 又如，現實世界現實世界中股票的預期收益率預期收益率為15，則股票的上升概率可 以通過下式來求： P = 69.11 可見：投資者厭惡風險程度 股票預期收益率 股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風險程度如何，無論該股票上升或下降的概率如何，該期權的價值都等于0.31元。0.15 0.2510119 1ePP（三）布萊克（三）布萊克舒爾斯期權定價公式舒爾斯期權定價公式l在風險中性的條件下，歐式看漲期權到期時（

13、T時刻）的期望值為：l其現值為l （6.19）l對數股票價格的分布為： （6.20）l對式（6.19）求解： （6.216.21）m a x (, 0 )TESE()m ax(, 0)r TtTceESE),)(2(lnln2tTtTrSNST()12( )()r T tcSN dEeN d21221ln( / ) (/2)()ln( / ) (/2)()S ErT tdT tS ErT tddT tT t其中，l我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義：lN(d2)是在風險中性世界中ST大于E的概率，或者說是歐式看漲期權被執(zhí)行的概率， le-r(T-t)EN(d2)是 E E 的風險中性期

14、望值的現值。 lSN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是 ST 的風險中性期望值的現值。l其次， 是復制交易策略中股票的數量，SN（d1)就是股票的市值, - -e e-r(T-t)-r(T-t)EN(dEN(d2 2) )則是復制交易策略中負債的價值。 l最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成資產或資產或無無價值看漲期權（Asset-or-nothing call option）多頭和現金或現金或無價值無價值看漲期權（cash-or-nothing option）空頭，SN(dSN(d1 1) )是資產或無價值看漲期權的價值，- -e e-r(T-t)-r(T-t)EN

15、(dEN(d2 2) )是E E份現金或無價值看漲期權空頭的價值。)(1dNl在標的資產無收益情況下，由于c（歐式）=C（美式），因此式（6.21）也給出了無收益資產美式看漲期權的價值。l根據歐式看漲期權和看跌期權之間存在平價關系，可以得到無收益資產歐式看跌期權的定價公式 ： （6.22）l由于美式看跌期權與看漲期權之間不存在嚴密的平價關系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數值方法以及解析近似方法求出。()21()()r TtpEeNdSNd（四）有收益資產的期權定價公式（四）有收益資產的期權定價公式 1.1.有收益資產歐式期權的定價公式有收益資產歐式期權的定價公式l當標的證券已知收

16、益的現值為I時，我們只要用（SI）代替式（6.21）和（6.22）中的 S 即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的價格。 l當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將 代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權的價格。 )(tTqSel對于歐式期貨期權，其定價公式為： （6.23） （6.24）l其中：()12()()r TtceFN dEN d()21()()r T tpeENdFNd21221ln(/)2()ln(/)2()F ETtdTtF ETtddTtTt例例6.46.4l假設當前英鎊的即期匯率為$1.50

17、00，美國的無風險連續(xù)復利年利率為7%，英國的無風險連續(xù)復利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權價格。 l3.05美分 。2.2.有收益資產美式期權的定價有收益資產美式期權的定價 (1)(1)美式看漲期權美式看漲期權 l當標的資產有收益時，美式看漲期權就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理的方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權是否合理。若不合理，則按歐式期權處理；若在t 提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在T時刻和 t 時刻到期的歐式看漲期權的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權的價格。例例6.56.5 l

18、假設一種1年期的美式股票看漲期權，標的股票在5個月和11個月后各有一個除權日，每個除權日的紅利期望值為1.0元，標的股票當前的市價為50元，期權協(xié)議價格為50元，標的股票波動率為每年30%，無風險連續(xù)復利年利率為10%，求該期權的價值。l近似為7.2824元 (2)(2)美式看跌期權美式看跌期權 l由于收益雖然使美式看跌期權提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權的價值仍不同于歐式看跌期權，它也只能通過較復雜的數值方法來求出。 三、三、BlackScholes定價公式中各種變量對期權價格的影響定價公式中各種變量對期權價格的影響 在在布萊克-斯科爾斯定價公式中，影

19、響期權價格的因素的包括：股票價格S、執(zhí)行價格E、無風險利率r、股票價格波動的方差 和到期日 T 。用函數形式表示就是：),(2rETSCC 2 在下面的敘述中假設公式是連續(xù)可微的，因而每一種因素對C的影響都可以通過求偏導數的方式得出， （1）股票價格對歐式看漲期權價格的影響）股票價格對歐式看漲期權價格的影響 這種影響被稱為 （小寫為 ），即：)(1dNSC 由于N（d1）是一個概率函數，所以 。這也就是說，當 S 增加或減少 1 個單位時，期權價格增加或減少的絕對量不超過 1。10 這個概念很重要，在理論和實踐中常常被用于構造證券組合。在一個無風險且無套利的證券組合中，常常被稱作是 “ 套期保值率 ”。 我們轉而討論一下關于 問題 例如構造如下一個證券組合，該組合包括一個價格為 C 的歐式看漲期權多頭和 h 股價格為 S 的股票空頭。因此，該組合的現期價值為hSCV則 dV = dC - hdS依前分析有： 2dSSdtSdz其中 z 是隨機變量；由依藤引理可知：22221()2CCCCdCSdzSSdtSSSt把 dS 和 dC 的值代入 dV，整理后得：2222221()()2CCCCVdVSh dzSShS dtSSSSt 為使證券組合V 能取得一個無風險收益，即 dV=0從而可以得到最佳的套期保值率：SCh* 顯而易見，影響 的一個最大變量