北京市五中2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試試題理

1、北京市五中2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試試題理班級 姓名 學(xué)號 成績一.選擇題（每題5分，共40分）1 .設(shè)全集I =R,若集合M =xx>2, N =xx2 -x-2>0.則下列結(jié)論正確的是（）A. M=NB. MN=RC. N MD. CRN CRM2 .已知非零實數(shù)a、b滿足a Ab,則下列不等式中成立的是（）A.烏 2B. - ： -C. a2b ab2D.a2 b2b2 a2a b3.等比數(shù)列a。的前n項和為a2 =6,S3 =21則公比q等于（）111A. 2B. -C.2 或一D.2 或2224.若點P（x,y）是300 口角終邊上異于原點的一點，則？的值為（） x

2、A. B. -C. 3D. - . 3335.已知點A(-1,0), B(1,0), C為平面內(nèi)一動點，且滿足AC =&| BC,那么點C的軌跡方程為().2222_A. x y 6x 1 = 0B. x y - 6x 1 = 022102210C. x2 y2x 1 -0D. x2 y2 x 1 = 0336 .對函數(shù)f(x)=x sin x,現(xiàn)有下列命題： 函數(shù)f（x）是偶函數(shù)； 函數(shù)f（x）的最小正周期是2n；點5,0）是函數(shù)f（x）的圖像的一個對稱中心；函數(shù)f（x）在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，在區(qū)間-萬,0上單調(diào)遞減.其中是真命題的是（）A.B.C.D.7 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項和

3、為Sn,且滿足S15 >0,66 <0,則皇,S2,，S5中最大a a2a15的項為（）A. S6%B.S7a?cSasD.S9ag8 .若關(guān)于 a,b 的代數(shù)式 f (a,b)滿足: f (a, a) = a; f (ka, kb) = kf (a, b);).D.JD f (a1 +a2,b1 +b2) = f (a1,b1) + f (a2, b2)； f (a,b) = f (b, 則 f(x,y)=()A. 3 B.hC.0333二.填空題(每題5分，共30分)9.已知since =3,且c( ( (,n),那么 sin 14.在平面直角坐標系中，定義d(P,Q)= x1

4、 -x2 + y1 - y2為兩點P(x1,y)Q(x2,y2)之間的“折線距離”.則坐標原點。與直線2* + 丫-2/5 = 0上一點的“折線距離”的最小值為 ；圓x2 + y2 = 1上一點與直線2x + y - 2新=0上一點的“折線距離”的最小值為.三.解答題(本題滿分80分)15.(本題滿分13分)在銳角Aabc中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c, m= (a,2b),n= (sin人,1),且布1.求B的值；求cosA+sinC的取值范圍.16.(本題滿分13分) 已知：以點C(m, )(m= R,m =0)為圓心的圓與x軸父于點O、A,與y軸父于點O、 mB,其中O為原點.a

5、 的值等于 52cos"10 .已知 a =2,b =3, 3、b 的夾角為 60：則 2a -b =11 .函數(shù) f (x) =2sin(x +2)，對任意的 xw R,都有 f(xi) < f (x) < f(x2)成立，則 25xi -x2的最小值為.12 .已知AC、BD為。O: x2 +y2 =9的兩條相互垂直的弦，垂足為M (2,焉)，則四 邊形ABCD的面積的最大值為.13 .已知函數(shù)y =、；2但小2叔.-1(a>1)的定義域為R,則b-3a的取值范圍是求證：AOAB的面積為定值;(2)設(shè)直線y = x+4與圓C交于點M、N,若OM =ON ,求。C

6、的方程.17.(本題滿分13分)(1)求證：DE 平面PFB;已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD，底面ABCD, E、F分別為棱BC、AD的中點.一6求四棱錐P-ABCD的體積.(2)已知二面角P-BF -C的余弦值為 , 618 .(本題滿分13分)某同學(xué)參加3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為4,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p,q(p>q),且不同課程是否取得5優(yōu)秀成績相互獨立，記工為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為0123p6125ab24125(1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(2)求p , q的值;求數(shù)學(xué)

7、期望E，19 .(本題滿分14分)1 C 1已知函數(shù)f (x) =x + ax +x+b(a20) , f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).32(1)設(shè)函數(shù)f (x)的圖象與x軸交點為A,曲線y= f(x)在A點處的切線方程是y =3x -3 ,求 a, b 的值；(2)若函數(shù)g(x)=eR f'(x),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間.20.(本題滿分14分)設(shè)等差數(shù)列a。的公差d #0,且a。之0(nw N"),記&為數(shù)列a。的前n項和.(1)若a2、a3、a5成等比數(shù)列，且as、a6的等差中項為36,求數(shù)列a0的通項公式；(2)若 m、n、112p w N ,且m

8、 + n =2p,證明： 一十之一;Sm Sn Sp(3)若 a503 <，證明：工 + 工 + +1005S1S212008.S2007答案一.選擇題1. D 2. A 3. C 4. D 5. B 6. B 7. C 8. A二.填空題359. - 10. 03 11. 2 12. 11 13. (-«,-3) 14. T5 -(第一空 2 分，第二空 3 分)三.解答題15.解：(t) v m -仃二6) jt = i sin Al):且? n.日 = 2%加X2分由正弦電理如：。=2R與ind = ZRsin及代人化簡禪：sin J = 2 sin J sin B3分而

9、，為蛻角，故而A >。4分，sin B 一一，5分又8 w (0.二，B =:6 分-26 , (2) i (t)J + C = C = - - J -分66v 0 <三a e 9分2'623-2而 cos H - sin(4)-111( 十 二)一 1 2'(cos / + 而 0 三(工)13 分16.解： 由已知可設(shè)O C的方程為：(x -m)14. 八s Saob = - OA OB =2m , = 4,故 &OAB 的面積為止值 46分. 2m +(y -2)2 = m2 + g, 2分mm4分別令y = 0,x = 0,易知A(2m,0), B(

10、0,-),4分m(2) 丫 OM =ON,C 為圓心，CO_LMN8 分:kco kMN = -1,而直線MN的方程為y = -2x +4,221, kCO = = 2 =一，二 m = ±210分mm2當m=-2時，OC與直線MN相離，不合題意舍去11分所以O(shè) C的方程為:(x 2)2 +(y -1)2 =5.13分17.解：證明：因為EF分別為正方形H5CD的兩邊的中點, 所以旺 FZX即£即尸為平行四邊形，二分7. ED FB:3 分FB c平面FF及且ED ®平面PF3Z:.DE 平面尸F(xiàn)3 一5分(2)以D為原點，直線DA,DC, DP分別為x, y,z

11、軸建立空間直角坐標系.設(shè)PD =a,可得如下點的坐標:P(0,0,a),F(1,0,0), B(2,2,0).則有 PF =(1,0,a),FB =(1,2,0).7分 因為PD，底面ABCD,所以平面ABCD的一個法向量為=(0,0,1).8分 設(shè)平面PFB的一個法向量為n=(x,y,z),則可得產(chǎn)n=0gp/-az = 0FB n = 0 l.x + 2y = 01 1 .1 1.令 x=1jz= ,y =-,所以 n = (1, ,-).10分a22 a6由已知，二面角P -BF -C的余弦值為,所以得cos < m,n >= ，a6 51'4 a2,a =212分1

12、8 V。='m2m4 = 13分P SBCD c 乙" c .3318.解：事件A表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”i =1,2,3 ,由題意知、4cP(A)=5, P(4) = P, P(4) = q2分(1)由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“ =0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1_P( =0) =16119125 - 125,答：該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是 U9125(2)由題意知P(割=哂,=5(5)(1一3 二125P( =3) = P(AA2 A3)=24-pq 二一5125整理得 pq =- , p +q =11

13、25由 p > q ,可得 p=°, q=-55 由題意知曰 =產(chǎn) =D =尸(4耳石)十尸口鼻耳)-P(A LA.)=。Q -XI -) + 鼻。舟3-n3 /-T25b =2) =1 尸(< =0) 尸q二D -尸© = 3)= _58_125Ec = OxP(c = 0)+lx= 1) + 2P( = 2)+IP© = 3)=9答：數(shù)學(xué)期望E；為?13分19.解：_2f '(x) = x + ax + 1 .1 312(1)f (x) = x 十一ax +x+b(a 至 0), 32f(x)在(1,0)處切線方程為y=3x-3,f'

14、;(1) = 3.f(1) = 0_ x2 ax 1axe(xW R).11八即a =1 , b =.5分6f '(x) (2)g(x) =e當 a=0 時，g'(x)=2x,X（一工L：(0T+x)屋一0一gU)7極小值g'(x)=(2x a)eax a(x2 ax 1)eaxax、2(e )=-xax (a2 -2)e-xg（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,收），單調(diào)遞減區(qū)間為（口,0） .2當a >0時，令g'(x)=0 ,得乂=0或乂=*a a(i)當 2a>0,即 0<a<T2 時, a（一二0）0a2-craa才00蛉）極小值極大值

15、22g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,-）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-°0,0）,（-,收）; aa(ii)當-a =0 ,即2=>/2時，g '(x) = = -2x2e2x 0 , a故g(x)在(,)單調(diào)遞減；(iii)當 2-a<0,即aJ2時, aX（一不二-a） a7 - -a a(ax 0) a0(Q+幻0一0以力V極小他不極大值J.2 - a22 - a2一g（x）在（一",0）上單調(diào)遞增，在（0,）, 苒）上單調(diào)遞綜上所述，當a=0時，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,收），單調(diào)遞減區(qū)間為（3,0）;2 a2當0a應(yīng)時，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,土

16、-）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-0）, a當a=/2時，g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-OO, +oc）；2 _a2當a 四時，g（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（±3,0）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,收）， a（f -） . 14分a20.解: (1)由已知得 a32 = a2 a5,即(a1 +2d )2 = (a1 + d )(a1 + 4d), 化簡得：ai d =0, d =0,. ai = 0.而 a5 +a6 =72, gp 2ai +9d =72，, d =8.故an =8n -8.4分易知等差數(shù)列g(shù) j的首項劣至o,不妨設(shè)0一丁班+ 擰= lp±. 明* +收*> 第唯白 +“ = 2a因為5月=+達2:. 5擾+ S用=（用+為）a1+r W* +* -2 UIp