導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2文名師課件

1、1 3 x2- -2 x+5. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間; 設(shè)設(shè)f(x)=x - - 2 (2)當當 x? ?- -1, 2 時時, f(x)m 恒成立恒成立, 求實數(shù)求實數(shù) m 的取值范圍的取值范圍. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=3 x2- -x- -2, 2 2 令令 f? ?(x)0 得得 - - x0得得x1. 3 3 2 , 1); y=f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- - 3 2 單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是 (- -, - - )和和(1, +). 3 (2)命題等價于命題等價于 f(x) 在在 - -1

2、, 2 上的最大值小于上的最大值小于 m . 2 令令 f? ?(x)=0 得得 x=- - 或或1. 3 22 2 1 1 f(1)=3 , f(2)=7, f(- -1)=5 , f(- - )=5 , 3 27 2 2 f(x) 在在 - -1, 2 上的最大值為上的最大值為 7. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 1 m的取值范圍是的取值范圍是 (7, +). 70. x- - 3 故當故當 x1 時時, f? ?(x)0; 當當 - -1x1 時時, f? ?(x)0. 當當 x=- -1 時時, f(x) 取得極大值取得極大值; 當當 x=1 時時, f(x) 取得極小值取得極小值.

3、f(- -1)- -f(1)=4. 函數(shù)函數(shù) f(x) 的極大值比極小值大的極大值比極小值大 4, 即即 (- -1- -a- -b+1)- -(1+ a+b+1)=4. 整整理得理得 a+b=- -3. 由由 , 得得 a=- -1, b=- -3. 故故 a, b 的值分別為的值分別為 - -1, - -3. 1 3+2 ax2- -3 a2x+b, 0 a1. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的單調(diào)的單調(diào) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=- - x 3 區(qū)間、極值區(qū)間、極值; (2)若當若當 x? ?a+1, a+2 時時, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 試確定試確定 a的取值范圍的取值范圍. 解

4、解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=- -x2+4 ax- -3 a2, 令令 f? ?(x)=0 得得 x=a 或或 x=3 a. 0a1, a3a. 當當 x 變化時變化時, f? ?(x), f(x) 的變化情況如下表的變化情況如下表: x (- -, a) a (a, 3 a) 3 a (3 a, + ) 0 0 f? ?(x) + - - - - f(x) ? 極小值極小值 ? 極大值極大值 ? 由上表可知由上表可知, f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 (a, 3 a), 單調(diào)遞單調(diào)遞減區(qū)間是減區(qū)間是(- -, a) 和和 (3 a, + ). 4 3 當當 x=a時

5、時, f(x)取極小值取極小值 f(a) =- - a +b; 3 當當 x=3 a 時時, f(x) 取極大值取極大值 f(3 a)=b. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 3 1 3+2 ax2- -3 a2x+b, 0 a1. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的單調(diào)的單調(diào) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=- - x 3 區(qū)間、極值區(qū)間、極值; (2)若當若當 x? ?a+1, a+2 時時, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 試確定試確定 a的取值范圍的取值范圍. 解解: (2)0a1, 2 aa+1. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 3 f? ?(x)=- -x2+4 ax- -3 a2 在在 a+1,

6、a+2 上為減函數(shù)上為減函數(shù). f? ?(x)max=f? ?(a+1)=2 a- -1, f? ?(x)min=f? ?(a+2)=4 a- -4. 當當 x? ?a+1, a+2 時時, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 即即 - -af? ?(x)a 恒成立恒成立. 4 a- -4- -a 且且 2 a- -1a. 4 解得解得 a1. 又又0a1, 5 4 故故a 的取值范圍是的取值范圍是 , 1). 5 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 4 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 在在 x=0 處取得極值處取得極值, 曲線曲線 y=f(x) 過原點和點過原點和點 P(- -

7、1, 2). 若曲線若曲線 f(x) 在點在點 P 處的切線與直線處的切線與直線 y=2 x的夾角為的夾角為45? ?, 且傾角為鈍角且傾角為鈍角. (1)求求 f(x) 的解析式的解析式; (2)若若 f(x) 在在區(qū)間區(qū)間 2 m- -1, m +1 遞增遞增, 求求 m 的取值范圍的取值范圍. f(0)=0? ?d=0. 解解: (1)曲線曲線 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 過原點過原點, f(x)=ax3+bx2+cx, f? ?(x)=3 ax2+2 bx+c. 函數(shù)函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx 在在 x=0 處取得極值處取得極值, f? ?(0)=0? ?c=0.

8、 過點過點 P(- -1, 2) 的切線斜率為的切線斜率為 f? ?(- -1)=3 a- -2 b, 而曲線而曲線 f(x)在在 點點 P 的切線與直線的切線與直線 y=2 x 的夾角為的夾角為45? ?, 且傾角為鈍角且傾角為鈍角, 2- -f? ?(- -1) f? ?(- -1)=- -3. 又又f(- -1)=2, | |=1且且f? ?(- -1)0? ?x0, f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為 (- -, - -2 和和 0, +). 函數(shù)函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 2 m- -1, m +1 遞增遞增, 2 m- -1, m +1 (- -, - -2 或或 2 m

9、- -1, m +1 0, +). 2 m- -12 m- -10. 1 解得解得m- -3 或或 m 2. 2 1 即即m的取值范圍是的取值范圍是(- -, - -3 , 2). 2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 5 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=x3- -ax2- -3 x. (1)若若 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 1, +) 上是增函上是增函1 數(shù)數(shù), 求實數(shù)求實數(shù) a 的取值范圍的取值范圍; (2)若若x=- - 是是f(x)的極值點的極值點, 求求f(x) 3 在在 1, a 上的最大值上的最大值; (3)在在(2)的條件下的條件下, 是否存在實數(shù)是否存在實數(shù) b, 使得使得函數(shù)函數(shù) g(

10、x)=bx 的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù) f(x) 的圖象恰有三個交點的圖象恰有三個交點, 若存在若存在, 求出實數(shù)求出實數(shù) b 的取值范圍的取值范圍; 若不存在若不存在, 請說明理由請說明理由. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=3 x2- -2 ax- -3. f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 1, +) 上是增函數(shù)上是增函數(shù), 在在 1, +) 上恒有上恒有 f? ?(x)0, 即即 3 x2- -2 ax- -30 在在 1, +) 上恒成立上恒成立. 由于由于 f? ?(0)=- -30 且且 3+ b? ?0. 解得解得 b- -7 且且 b? ?- -3. 故實數(shù)故實數(shù) b 的取值范

11、圍是的取值范圍是 (- -7, - -3)(- -3, +). 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 6 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=x3- -3 ax2+2 bx 在點在點 x=1 處有極小值處有極小值 - -1, 試確試確定定 a, b 的值的值, 并求出并求出 f(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. 解解: 由已知可得由已知可得: - -1= f(1)=1- -3 a+2 b, 即即 3 a- -2 b=2. 又又 f? ?(x)=3 x2- -6 ax+2 b, 即即 6 a- -2 b=3. 0 =f? ?(1)=3- -6 a+2 b, 1 1 由由 , 解得解得 a= , b=- - . 3

12、2 f? ?(x)=3 x2- -2 x- -1. 1 由由 f? ?(x)=0 得得, x=1 或或 - - . 3 1 1 當當 x1時時, 有有f? ?(x)0; 當當- - x1時時, 有有f? ?(x)0. 3 3 1 故故 f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 (- -, - - )和和(1, +); 3 1 f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- - , 1). 3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 7 已知已知 f(x)=x2+c, 且且 ff(x)=f(x2+1). (1)設(shè)設(shè) g(x)=ff(x), 求求 g(x); (2)設(shè)設(shè) ? ?(x)=g(x)- -?

13、?f(x), 試問試問: 是否存在實數(shù)是否存在實數(shù) ? ?, 使使 ? ?(x) 在在(- -, - -1)內(nèi)為減函數(shù)內(nèi)為減函數(shù), 且在且在 (- -1, 0) 內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù). 解解: (1)ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=( x2+1)2+c. 由由 ff(x)=f(x2+1) 得得, c=1. f(x)=x2+1, g(x)=(x2+1)2+1= x4+2 x2+2. =x4+(2- -? ?)x2+2- -? ?. (2)? ?(x)=g(x)- -? ?f(x)=x4+2 x2+2- -? ?(x2+1) ? ? ?(x)=4 x3+2(2-

14、-? ?)x =2 x(2 x2+2- -? ?). ? ?(x) 在在 (- -, - -1) 內(nèi)為減函數(shù)內(nèi)為減函數(shù), ? ? ?(x)0 在在 (- -, - -1) 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. ? ?- -22(- -1)2=2, ? ?- -22. ? ?4. 又又? ?(x) 在在 (- -1, 0) 內(nèi)為增函數(shù)內(nèi)為增函數(shù), ? ? ?(x)0 在在 (- -1, 0) 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. 即即 2 x2+2- -? ?2 x2 在在 (- -1, 0) 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. 當當 x? ?(- -1, 0) 時時, 2 x2b, 點點(- -1, 2+ b)在函數(shù)圖象上在函數(shù)圖象上, 且在直

15、線且在直線 y=b 的上方的上方. 函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖象不能總在直線的圖象不能總在直線 y=b 的下方的下方. 另解另解: 當當 a=1 時時, f(x)=- -x3+x2+b, f? ?(x)=- -3 x2+2 x. 8 4 4 2 2 令令 f? ?(x)=0 得得 x1=0, x2= . )=- - + + b= +bb, 3 而而 f( 27 9 27 3 2 4 y=b的上方的上方. 點點 ( , +b)在函數(shù)圖象上在函數(shù)圖象上, 且在直線且在直線 3 27 函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖象不能總在直線的圖象不能總在直線 y=b 的下方的下方. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已

16、知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=- -x3+ax2+b(a, b? ?R). (1)若若 a=1, 函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖象的圖象能否總在直線能否總在直線 y=b 的下方的下方? 說明理由說明理由; (2)若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在在 0, 2 上上是增函數(shù)是增函數(shù), x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一個根的一個根, 求證求證: f(1)- -2; (3)若曲若曲線線 f(x) 上任意不同兩點的連線的斜率小于上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, 求求 a 的取值范圍的取值范圍. (2)證證: x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一個根的一個根, f(2)=0 即即 - -8+4 a+b=0

17、? ?b=8- -4 a. 2 2又又 f? ?(x)=- -3 x +2 ax, 令令 f? ?(x)=0 得得 x1=0, x2= a. 3 函數(shù)函數(shù) f(x) 在在 0, 2 上是增函數(shù)上是增函數(shù), 2 a3. a2. 3 f(1)=- -1+ a+b=7- -3 a- -2, 即即 f(1)- -2. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=- -x3+ax2+b(a, b? ?R). (3)若曲線若曲線 f(x) 上任意不同上任意不同兩點的連線的斜率小于兩點的連線的斜率小于 1, 求求 a 的取值范圍的取值范圍. (3)解解: 設(shè)設(shè) P(x1, y1), Q(

18、x2, y2) 為曲線為曲線 y=f(x) 上任兩點上任兩點, x1? ?x2. 曲線曲線 f(x) 上任意不同兩點的連線的斜率小于上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, y1- -y2 - -x13+ax12+b- -(- -x23+ax22+b) 即即 1, 1, x - -xx1- -x2 12 - -(x1- -x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1- -x2)(x1+x2) 亦即亦即 1恒成立恒成立. x1- -x2 x1? ?x2, x1x21+( x1+x2)2- -a(x1+x2) 恒成立恒成立. 1 2恒成立恒成立, 而而 x1x2 (x +x ) 12 4 1 22 恒

19、成立恒成立. 1+( x1+x2) - -a(x1+x2) (x +x ) 124 3 2- -a(x +x )+10 恒成立恒成立. (x +x )124 12 . 2- - 3a 3a- -30. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=- -x3+ax2+b(a, b? ?R). (3)若曲線若曲線 f(x) 上任意不同上任意不同兩點的連線的斜率小于兩點的連線的斜率小于 1, 求求 a 的取值范圍的取值范圍. 另解另解: 設(shè)設(shè) P(x1, y1), Q( x2, y2) 為曲線為曲線 y=f(x) 上任兩點上任兩點, 不妨不妨 x1x2. 曲線曲線 f(x) 上任意

20、不同兩點的連線的斜率小于上任意不同兩點的連線的斜率小于 1, y1- -y2 1, x1x2, x1- -x2x1- -x2. x1- -x2 即即 f(x1)- -f(x2)x1- -x2. f(x1)- -x1f(x2)- -x2. 記記 g(x)=f(x)- -x, 則則 g(x1)g(x2). g(x) 為為 R 上的減函數(shù)上的減函數(shù). g? ?(x)0 即即 - -3 x2+2 ax- -10 對對 x? ?R 恒成立恒成立. a2- -30. - - 3 a 3 . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 9 n 2x 2 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=( x - -1) 的定義域為的定義域為

21、m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)討論討論 f(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性; (2)證明證明: 對任意對任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 2 n x n 2 +1. 解解: 由題設(shè)由題設(shè) f(x)=( + - -1)- - 1m 2, 令令 t = + , 2 m m m x m x x由由 t? ?0 得得 mx0 得得 mn xn. 2 n 2 +1在在1, +)上是增函數(shù)上是增函數(shù), 函數(shù)函數(shù) y=(t- -1)- - m t(x) 在在 m , mn ) 上是減函數(shù)上是減函數(shù),

22、在在 mn , n) 上是增函數(shù)上是增函數(shù). f(x) 在在 m , mn ) 上是減函數(shù)上是減函數(shù), 在在 mn , n) 上是增函數(shù)上是增函數(shù). 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 9 n 2x 2 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=( x - -1) 的定義域為的定義域為 m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)討論討論 f(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性; (2)證明證明: 對任意對任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等n 2, (2)證證: 由由(1)知知 f(x)在在 m , n) 上的最小值為上的最小值為 f( mn )=2( - -1)m n 2. 對任意的對任意的

23、x , x? ?m , n), 有有 最大值為最大值為 f(m )=( - -1)m 12n 2n n n n 22 |f(x1)- -f(x2)|( m - -1)- -2( m m - -1)=( ) - -1. m - -4? ? m +4 n 4- -4 u2+4 u- -1. 令令 u= , h(u)=um n 1m n2, 1 m 2. 10, 2 2 h(u) 在在 (1, 2 上是增函數(shù)上是增函數(shù). h(u)h( 2 )=4- -8+4 2- -1 =4 2 - -5. 故對任意故對任意 x1, x2? ?m , n), |f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒

24、成立. 式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 10 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品, 已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量 x( (噸噸) )與每噸產(chǎn)品與每噸產(chǎn)品1 2, 且生產(chǎn)且生產(chǎn)x 噸的噸的的價格的價格 p( (元元/ /噸噸) )之間的關(guān)系式為之間的關(guān)系式為 p=24200- - x 5 成本為成本為 R=50000+200 x 元元. 問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大利潤達到最大? 最大利潤是多少最大利潤是多少?( (利潤利潤=收入收入- -成本成本) ) 解解: 設(shè)每月生產(chǎn)設(shè)每月生

25、產(chǎn) x 噸的利潤為噸的利潤為 y 元元, 則則 x0, 且且 1 2y=(24200- - x )x- -(50000+200 x) 5 1 3=- - x +24000 x- -50000. 5 3 2+24000=0 得得 x=200(-(-200舍去舍去) ). 由由y? ?=- - x5 在在 0, +) 上只有一個點上只有一個點 x=200 使使 y? ?=0, 它就是最大值點它就是最大值點, 且最大值為且最大值為 1 3+24000? ?200- -50000 - - ? ?200=3150000( (元元) ). 5 故每月生產(chǎn)故每月生產(chǎn) 200 噸產(chǎn)品時利潤最大噸產(chǎn)品時利潤最大, 最大利潤是最大利潤是 315 萬元萬元. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 11 要利用鐵絲網(wǎng)圍成一個矩形養(yǎng)雞場要利用鐵絲網(wǎng)圍成一個矩形養(yǎng)雞場, 現(xiàn)在鐵絲網(wǎng)長為現(xiàn)在鐵絲網(wǎng)長為 l m, 只圍三邊只圍三邊, 另一邊為一道墻另一邊為一道墻, 問長和寬為多少時問長和寬為多少時, 才能使所圍養(yǎng)才能使所圍養(yǎng)雞場面積最大雞場面積最大? y 解解: 設(shè)長為設(shè)長為 x m , 寬為寬為 y m . 則則 x+2 y=l. - -x l由由 x, y 均為正數(shù)得均為正數(shù)得, 0 xl. y= . x 2 - -x 1