高中數學教學論文 例談恒成立不等式的求解策略

1、例談恒成立不等式的求解策略含參數不等式的恒成立問題是不等式中重要的題型，也是各類考試的熱點這類問題既含參數又含變量，學生往往難以下手，怎樣處理這類問題呢？轉化是捷徑通過轉化能使恒成立問題得到簡化，而轉化過程中往往包含著多種數學思想的綜合運用下面就其常見類型及解題策略舉例說明一可化為一次不等式恒成立的問題例1對于滿足的一切實數，不等式恒成立，試求的取值范圍分析：習慣上把當作自變量，記函數，于是問題轉化為： 當時，恒成立，求的取值范圍解決這個等價的問題需要應用二次函數以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當復雜的解：設函數，顯然，則是的一次函數，要使恒成立，當且僅當，且時，解得的取值范圍是點評

2、：本題看上去是一個不等式問題，但是經過等價轉化，把它化歸為關于的一次函數，利用一次函數的單調性求解，解題的關鍵是轉換變量角色二二次不等式恒成立問題例2已知關于的不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍分析：利用二次項系數的正負和判別式求解，若二次項系數含參數時，應對參數分類討論解：(1)當時，即或，顯然時，符合條件， 不符合條件;(2) 當時，由二次函數對一切實數恒為正數的充要條件，得，解得綜合(1)(2)得，實數的取值范圍為三絕對值不等式恒成立問題例3對于任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍分析1：把左邊看作的函數關系，就可利用函數最值求解解法1：設，則，分析2：利用絕對值的幾何意義求解

3、解法2：設在數軸上對應點分別是，則當點在線段上時，;當點在點的左側時， ;當點在點的右側時， ;因此，無論點在何處，總有，所以當時， 恒成立， 即對于任意實數，不等式恒成立時，實數的取值范圍為分析3：利用絕對值不等式求解的最大值解法3：設且時等式成立， ，四含對數指數三角函數的不等式恒成立問題例4當時，不等式恒成立，求的取值范圍分析：注意到函數，都是我們熟悉的函數，運用數形結合思想，可知要使對一切，恒成立，只要在內， 的圖象在圖象的上方即可顯然，再運用函數思想將不等式轉化為函數的最值問題，即解：設，則要使對一切，恒成立，由圖象可知，并且，故有， 又 點評：通過上述的等價轉化，使恒成立的解決得到

4、了簡化，其中也包含著函數思想和數形結合思想的綜合運用此外，從圖象上直觀得到后還需考查區(qū)間右端點處的函數值的大小五、形如“”型不等式形如“”或“”型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎是“在上恒成立，則();在上恒成立，則()”許多復雜的恒成立問題最終都可歸結到這一類型例5已知二次函數，若時，恒有，求的取值范圍解：， 即（1）當時，不等式顯然成立， （2）當時，由得，又， 綜上得，的取值范圍為六、形如“”型不等式例6已知函數，若對任意，都有成立，則的最小值為 解：對任意，不等式恒成立，分別是的最小值和最大值對于函數，取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是2，即半個周期 的最小值為2七、形如“”型不等式例7在，這四個函數中，當時，使恒成立的函數的個數是( ) (A) (B) (C) (D)解：本題實質就是考察函數的凸凹性，即滿足條件的函數應是凸函數的性質，畫草圖即知，符合題意，故此題選（C）八、形如“”型不等式例8已知函數，若當時，恒成立，求實數的取值范圍解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零令， 即在