小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何

1、小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何話題一吳正憲（北京教育科學(xué)研究院）王彥偉（北京東城區(qū)教師研修中心）張 杰（北京東城區(qū)教育研修學(xué)院）版課標(biāo)終于要公布了，新課標(biāo)修訂后有哪些變化。這一講主要講圖形與幾何 ”這個領(lǐng)域的變化。新課標(biāo)在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個核心概念。主要有 空間觀念、幾何直觀、推理能力等 。 空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想 象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系； 描述圖形的運動和變化； 依據(jù)語言的描述畫出圖形等。 更直觀的理解如下圖：幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡 明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測

2、結(jié)果，探索思路預(yù)測結(jié)果。1 人，給你 3案例：打電話 如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打電話的方式，每分鐘通知 分鐘的時間，能使多少人收到通知大膽的猜測一下。下面是學(xué)生借助圖形研究的例子。這些學(xué)生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打電話 來通知這件事情，設(shè)計方案。量關(guān)系，很簡明很直觀的呈現(xiàn)出來，而且從這個圖本身，就能 發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否則你 算是算不出來，看圖就看出來了。通過線段、點，以及圖形，把通知過程很簡捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，揭示得非常清 楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。推理能力 的發(fā)展應(yīng)貫穿于

3、整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。 推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式， 也是人們學(xué)習(xí)和 生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出 發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、 公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則 證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路， 發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。查閱資料，把老師們的困惑集中起來，歸結(jié)為四個大話題?！罢J(rèn)識圖形” 抽象出圖形特征，發(fā)展空間觀念”為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，并在具體問題中進行恰當(dāng)?shù)墓罍y從

4、而發(fā)展1如何在觀察、操作中 2如何以“圖形的測量 了解掌握測量的基本方法， 力3如何通過“圖形的運動”探索發(fā)現(xiàn)，體會研究圖形性質(zhì)的不同方法， 空間觀念，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣4如何通過學(xué)習(xí)“確定圖形位置”的方法，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力 話題一、圖形的認(rèn)識 抽象圖形特征，發(fā)展空間觀念 問題一、新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識方面有哪些變化有哪些新的要求呢認(rèn)識度量單位及其實際意義，學(xué)生的空間觀念與推理能發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力和修訂后1. 能通過實物和模型辨認(rèn)長方體、正方 體、圓柱和球等 幾何體 。2. 能根據(jù)具體事物、 照片或直觀圖辨認(rèn)從 不同角度觀察到的簡單物體 （參見例 11 ）。3. 能辨認(rèn)

5、長方形、 正方形、 三角形、 平行 四邊形、圓等簡單圖形。4. 通過觀察、操作， 初步認(rèn)識 長方形、 正方形的特征。5. 會用長方形、 正方形、 三角形、 平行四 邊形或圓拼圖。6. 結(jié)合生活情境認(rèn)識角， 了解直角、 銳角 和鈍角。7. 能對簡單幾何體和圖形進行分類 （參見 例 20 ）。1 結(jié)合實例了解線段、射線和直線。2體會兩點間所有連線中線段最短，知 道兩點間的距離。3知道平角與周角，了解周角、平角、 鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。4結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的 平行和相交（包括垂直）關(guān)系。5通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、 梯形和圓 ，知道扇形， 會用圓規(guī)畫圓。6認(rèn)識三角形，通過

6、觀察、操作，了解 三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角 和是 180°。7認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、直角 三角形、銳角三角形、鈍角三角形。 8能辨認(rèn) 從不同方向（前面、側(cè)面、上 面）看到的物體的形狀圖 （參見例 32 ）。9通過觀察、操作，認(rèn)識長方體、正方 體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正方體和 圓柱的展開圖。課標(biāo)修訂前后立體圖形的認(rèn)識部分內(nèi)容的對比：修訂前第一（ 1 ）通過實物和模型辨認(rèn)長方體、 正學(xué)段方體、圓柱和球等 立體圖形 。（ 2 ） 辨認(rèn)從正面、側(cè)面、上面觀察 到的簡單物體的形狀。 參見例 1 （ 3 ）辨認(rèn)長方形、正方形、三角形、 平行四邊形、圓等簡單圖形。（ 4 ）通

7、過觀察、操作， 能用自己的 語言描述 長方形、正方形的特征。（ 5 ）會用長方形、正方形、三角形、 平行四邊形或圓拼圖。（ 6 ）結(jié)合生活情境認(rèn)識角， 會辨認(rèn)直 角、銳角和鈍角。（ 7 ）能對簡單幾何體和圖形進行分 類。第二（ 1 ） 了解兩點確定一條直線和兩條學(xué)段相交直線確定一個點。（ 2 ） 能區(qū)分直線、線段和射線。（ 3 ）體會兩點間所有連線中線段最 短，知道兩點間的距離。（ 4 ）知道周角、平角的概念及周角、 平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān) 系。（ 5 ）結(jié)合生活情境了解平面上兩條直 線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。（ 6 ）通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊 形、梯形和圓，會用圓規(guī)畫圓

8、。（ 7 ）認(rèn)識三角形，通過觀察、操作， 了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角 形內(nèi)角和是 180 °。（ 8 ）認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、 直角三角形、 銳角三角形、鈍角三角形。（ 9 ）通過觀察、操作，認(rèn)識長方體、 正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正 方體和圓柱的 展開圖。（ 10 ）能辨認(rèn) 從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。 參見例 1 從這個表中可以看到，課表修訂前后在圖形的認(rèn)識部分只有一些細小的變化，圖形與幾何這一 模塊原稱空間與圖形，變 “空間與圖形 ”為 “圖形與幾何 ”；重提幾何直觀、推理能力、運算能力、 邏輯思維能力，用詞更加規(guī)范，體現(xiàn)了課標(biāo)的嚴(yán)肅。< 標(biāo)

9、準(zhǔn) > 的”圖形與幾何”第一、二學(xué)段仍分為四部分，具體表示有所變動，（ 1 ）圖形的認(rèn)識， （ 2 ）測量，（ 3 ）圖形的運動（修改稿：圖形與變換） ，（ 4 ）圖形與位置。圖形的運動 強調(diào)了圖形的運動是研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。運動也是一種基本的數(shù)學(xué)思想。第二學(xué)段 的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)刪除“兩點確定一條直線”和“兩條直線確定一個點 ”?！皥D形與幾何”領(lǐng)域，將幾何學(xué)習(xí)的視野拓寬到學(xué)生生活的空間，強調(diào)空間和圖形知識的現(xiàn)實背 景，從第一學(xué)段開始使學(xué)生接觸豐富的幾何世界。新標(biāo)準(zhǔn)突出用觀察、描述、制作、從不 同的角度觀察物體、認(rèn)識方向、制作模型等活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和圖形設(shè)計與推理（合 情推理與演

10、繹推理）的能力。新標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段還增加了知道扇形這一內(nèi)容。扇形的認(rèn)識， 選學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中沒有認(rèn)識扇形的要求。大綱（修訂版）教材作為認(rèn)識扇形在課標(biāo)修改稿中確實沒有做要求，但在“ 統(tǒng)計與概率 ” 部分卻明確提出了通過統(tǒng)計圖的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，考慮到知識的系統(tǒng)性、邏輯性和連貫性，以及學(xué)生認(rèn)識扇形 ， 課標(biāo)修訂稿在認(rèn)識圓的基礎(chǔ)上，增加了初步認(rèn)識扇形。簡單說對圖形認(rèn)識的要求主要包括兩個方面： 一是對圖形自身特征的認(rèn)識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識。 在三個學(xué)段中， 識” ，再從 第一學(xué)段要求 面展開圖。又如，對于平行四邊形，第一學(xué)段要求“ 探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理 再如

11、，三角形內(nèi)角和的例子：認(rèn)識同一個或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從 認(rèn)識” 到“ 探索并證明 “ 辨認(rèn)”； 第二學(xué)段要求” 。例如，“ 認(rèn)識”辨認(rèn)” ；” 。辨認(rèn)” 到“ 初步認(rèn)對于長方體、正方體、圓柱和球等幾何體， ；第三學(xué)段要求了解其中一些幾何體的側(cè)第二學(xué)段要求 “ 認(rèn)識” ；第三學(xué)段要求視圖，第一學(xué)段要求關(guān)于“ 視圖” ，第一學(xué)段要求 “ 能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡 單物體 ” ；第二學(xué)段要求 “ 能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖 ” ； 第三學(xué)段要求 “ 會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的 視圖，會根據(jù)

12、視圖描述簡單的幾何體 ” 。 這種要求的層次性，既體現(xiàn)了從整體到局部的認(rèn)識過程；也符合學(xué)生的認(rèn)知特點，逐漸深入、關(guān)于能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡；第二學(xué)段要求能辨認(rèn)從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的，會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體，既體現(xiàn)了從整體到局部的認(rèn)識過程；也符合學(xué)生的認(rèn)知特點，逐漸深入、循序漸進。 對圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認(rèn)識，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的 認(rèn)識。第一學(xué)段的 “ 了解直角、銳角和鈍角 ” ；第二學(xué)段的 “ 體會兩點間所有連線中線段最 短” ；“

13、了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系” ；“ 了解三角形兩邊之和大于第三邊” ；第三學(xué)段的 “ 會比較線段的長短 ” ，“ 能比較角的大小 ” 等，都是對圖形 大小關(guān)系的研究 。 點與直線的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等， 是義務(wù)教育階段幾種主要的圖形位置關(guān)系；軸對稱、中心對稱、平移也反映了圖形與圖形之間 的位置關(guān)系。 圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關(guān)系的課程內(nèi)容，全等研究的是圖形的形狀、大小關(guān) 系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關(guān)系； 而圖形的位似則還涉及到了圖形的位置關(guān)系。 在兒童的不同學(xué)段上，形象思維的發(fā)展是有層次的，荷蘭范 .

14、 希爾夫婦對學(xué)生幾何思維水平的 研究說明了從直觀辨認(rèn)到探索特征是兒童的對圖形的形象思維規(guī)律。他們將學(xué)生的圖形認(rèn)知水 平主要分為五級：水平 1 ：直觀化；水平 2 ：描述 / 分析；水平 3 ：抽象 / 關(guān)聯(lián)；水平 4 ：演繹 / 形式化推理；水平 5 ：嚴(yán)密 / 元數(shù)學(xué)。一二三水平在小學(xué)體現(xiàn)，四五水平是在中 學(xué)體現(xiàn)的。這和我們課標(biāo)的要求也是一致。 圖形認(rèn)識的教學(xué)先明確兩點： 一是這部分內(nèi)容屬于圖形認(rèn)識的哪個水平，前后繼知識各是什么； 二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個什么階段，要通過你的教學(xué)達到什么階段。 問題二、小學(xué)階段對于 “ 圖形的認(rèn)識 ” 這一內(nèi)容，教材是遵循怎樣一個編排體系的 第一，

15、現(xiàn)在的教材，在圖形的認(rèn)識當(dāng)中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史發(fā)展過 程上看，實際上我們中國小學(xué)的傳統(tǒng)教材，最初是按點、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上 個世紀(jì) 90 年代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了， 先講立體以后再講平面， 然后又回到立體。 為什么當(dāng)時要改因為當(dāng)時很多老師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的識圖的能力 比較低，認(rèn)識起來比較困難。這部分是個難點，分階段安排可以分散難點。 第二，實際上一個人是生活在三維空間當(dāng)中，一個嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到 的東西，實際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在 這個過程中兒童積累了很多

16、立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實物的模型的。那 在這種情況之下，低年級孩子，剛開始初步的認(rèn)識立體圖形是有可能的。 所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有一個長期的反復(fù)的積 累的過程，不能一次到位。所以當(dāng)時的義務(wù)大綱就打破了傳統(tǒng)的一步到位，先講立體圖形，要 求直觀認(rèn)識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形。現(xiàn)在教材也一樣，先講立體，后 講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求辨認(rèn)，到第二學(xué)段要求是認(rèn)識。 也就是 現(xiàn)在教材是 “ 體形體 ”的 混合螺旋編排結(jié)構(gòu) 問題三、怎樣通過圖形的認(rèn)識教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念 第一、通過對實物的觀察與操作認(rèn)

17、識圖形 第一學(xué)段要求 “ 能通過實物和模型辨認(rèn)長方體、 正方體、圓柱和球等幾何體 ” 、“ 通過觀察、 操作，初步認(rèn)識長方形、正方形的特征 ” ；第二學(xué)段要求 “ 結(jié)合實例了解線段、射線和直線 ” 、 “ 結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系” 等，這些要求的共同特點是通過觀察與操作認(rèn)識圖形，直觀地、整體地認(rèn)識立體圖形和平面圖形。從對實物的觀察與 操作過程中來認(rèn)識圖形的特征和性質(zhì)，既符合學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)要 求。這樣的過程有助于學(xué)生發(fā)展能力，初步體會數(shù)學(xué)的思想方法，發(fā)展積極的情感與態(tài)度。 人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球 都

18、給我們以長方體、正 方體、圓柱體、球體等直觀形象?；谶@樣的生活經(jīng)驗，學(xué)生可以從認(rèn)識立體圖形開始，“ 通過實物和模型等辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱和球等幾何體”。 “ 辨認(rèn)” 是認(rèn)識的低級階段，但與以往的經(jīng)驗有所不同，它要經(jīng)歷從實物到幾何圖形的抽象過程。從不同的角度觀察長方體、正方體、圓柱體、球的表面，抽象出長方形、正方形、圓等平面圖 形。像這樣從具體到抽象，從實物到圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形 的關(guān)系，也符合學(xué)生的認(rèn)知特點。第二學(xué)段要求 “ 結(jié)合實例了解線段、 射線和直線 ” 、“ 結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的 平行和相交（包括垂直）關(guān)系” 。射線和直線涉及到了無限的概

19、念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現(xiàn)實中沒有“ 直線” 的實物原型，這就需要學(xué)生進行抽象與想象。認(rèn)識線段要容易一些，因為現(xiàn)實生活中有 “ 線段” 的實物原型。類似的，學(xué)生理解兩條直線平行的位置關(guān)系也比較困難，可以利用兩根鐵軌作為實物原型來描 述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實，都揭示了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無 法總是筆直的延伸，所以在從實物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學(xué)生發(fā)展抽 象能力和空間觀念。第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念 新教材內(nèi)容編排上增加了 “ 視圖和投影、展開與折疊 ” 等內(nèi)容。 視圖和投影，過去小學(xué)沒有，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何和圖形當(dāng)中，增加了觀察物體，這部分在課標(biāo) 上有兩個要求。第一個學(xué)段的要求是根據(jù)具體事物照片或直觀圖，辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡單物體的形狀， 這是辨認(rèn)。很多教材里面是這樣，有的是拿個實物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角 度去看，看的時候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。第二個學(xué)段的要求能辨認(rèn)從不同方向，方向是從前面、側(cè)面或者上面來觀察，從不同方向看到 物體的形狀圖，這個形狀圖實際上就是一個平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做