高等數(shù)學課件：3-4泰勒公式

1、第三節(jié)泰勒公式 第三三章 二二 、麥克勞林、麥克勞林（Maclaurin）公式公式 三三 、泰勒公式的應用、泰勒公式的應用一、泰勒一、泰勒（Taylor）公式公式一、一、泰勒泰勒(Taylor)公式公式1. 泰勒公式的建立泰勒公式的建立回顧：回顧：特點特點:)(01xp )(0 xf )(0 xf )(xf)()(000 xxxfxf )(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xpxxy)(xfy O設(shè)設(shè) f (x)在在 x0 處可導，則處可導，則)1,0)(00時時且且當當 xxxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf x 的一次的一次多項式多項式不足不足: : 1 精確

2、度不高精確度不高2 難以估計誤差難以估計誤差.,0誤誤差差較較大大不不是是很很小小時時當當xx ,0 xxx很很小小的的只只適適用用于于 )()(01xxoxR 只只知知道道誤誤差差：.)(1的的大大小小不不能能具具體體估估計計出出誤誤差差xR需要解決的問題需要解決的問題:.0很很小小的的限限制制且且去去掉掉對對于于xx ),()()(xpxfxpnn ，使使得得尋尋找找多多項項式式2 給出誤差：給出誤差：)()()(xpxfxRnn 的具體估計式的具體估計式.1)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )(1xp觀察：觀察：)(01xp )(0 xf )(0 xf )(01xp有有

3、)(xpn0a,)()()(020201nnxxaxxaxxa 相交相交相切相切猜猜pn(x) 與與 f (x) 在在x0 處相同的導數(shù)的階數(shù)處相同的導數(shù)的階數(shù)越高，它們就有可能越接近？越高，它們就有可能越接近？pn(x) 的確定的確定:要求要求: )(xpn )(xpn, )()(00 xfxpn 1a)(202xxa 10)( nnxxan, )()(00 xfxpn ,0a,)()()(020201nnxxaxxaxxa 求系數(shù)求系數(shù)尋求尋求n次近似多項式：次近似多項式：:ia. )()(0)(0)(xfxpnnn 0a, )(0 xf 1a, )(0 xf )(0 xpn )(0 xp

4、n )(xpn1a)(202xxa 10)( nnxxan要求要求:, )()(00 xfxpn , )()(00 xfxpn ,. )()(0)(0)(xfxpnnn )(xpn2!2 a20)()1( nnxxann2a, )(! 210 xf , )()(xpnnnan!na),(!10)(xfnn )(!10)(xpnnn )(! 210 xpn )(xpn)(0 xf)(00 xxxf 200)(! 21xxxf .)(!100)(nnxxxfn 階階泰泰勒勒多多項項式式處處的的在在nxxf0)(帶有皮亞諾型余項的帶有皮亞諾型余項的n 階泰勒公式階泰勒公式),()(0baxxf的的某

5、某開開區(qū)區(qū)間間在在包包含含若若n內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到階的導數(shù)階的導數(shù),),(bax 有有 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( ).)(0nxxo 則對則對2. 帶有皮亞諾型余項的帶有皮亞諾型余項的n階泰勒階泰勒(Taylor)公式公式定理定理3.6Rn(x) 的確定：的確定：分析分析 要證要證只需證只需證. 0)()()(lim00 nnxxxxxpxf )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( ),)(0nxxo )()()(xpxfxRnn 令令(稱為稱為余項余項)

6、 ,. 0)()(lim00 nnxxxxxR只需證只需證)(xpn證證),()()(xpxfxRnn 令令)(0 xRn)(0 xRn . 0)(0)( xRnn則有則有, )()(00 xfxpn , )()(00 xfxpn ,. )()(0)(0)(xfxpnnn nnxxxxxR)()(lim00 10)()(lim0 nnxxxxnxR20)(1()(lim0 nnxxxxnnxR )( !)(lim0)1(0 xxnxRnnxx 00)1()1()()(lim!10 xxxRxRnnnnnxx )(!10)(xRnnn . 0 洛必達法則洛必達法則帶有拉格朗日型余項的帶有拉格朗日

7、型余項的n 階泰勒公式階泰勒公式),()(0baxxf的的某某開開區(qū)區(qū)間間在在包包含含若若內(nèi)具有內(nèi)具有直到直到 n +1 階的導數(shù)階的導數(shù),),(bax 有有 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 則對則對定理定理3.73. 帶有拉格朗日型余項的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒階泰勒(Taylor)公式公式),(xRn 其中其中10)1()(!)1()()( nnnxxnfxR ).0(之之間間與與在在xx 的的冪冪展展開開成成帶帶有有按按求求函函數(shù)數(shù))1(1)( xxxf,1)(2xxf 解解例例1.階階泰泰勒勒公公式式拉拉格格日日

8、型型余余項項的的 n,.)!1() 1()(21) 1( nnnxnxf, 1)1( f,! 2)1()(32xxf ,!) 1()(1)( nnnxnxf, 1)1( f, !2)1( f!.)1()(nfn ,)1()1()(121 nnnnxxR 其其中中.1之之間間與與在在x ),()1()1()1(1)(2xRxxxxfnn , 1)1( f, 1)1( f, !2)1( f!.)1()(nfn ,因此因此注注 1 泰勒公式的余項估計泰勒公式的余項估計10)1()(!)1()()( nnnxxnfxR ,)()1(0時時的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)當當在在Mxfxn ).0(之之間間與與在在

9、xx .! )1()(10 nnxxnMxR).()()(00 xxxxoxRnn 顯然顯然的誤差為的誤差為代替代替用用)()(xfxpn有有)()()(xpxfxRnn (1) 當當 n = 0 時時, 泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ硖├展阶優(yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?)(xf)(0 xf)(0 xxf (2) 當當 n = 1 時時, 泰勒公式變?yōu)樘├展阶優(yōu)?)(xf)(0 xf)(00 xxxf 20)(!2)(xxf )(xf)(0 xf)(00 xxxf fd)0(之之間間與與在在xx )0(之之間間與與在在xx 2 泰勒公式泰勒公式的特例的特例, 00 x(3) 若在泰勒公式中若在泰勒公

10、式中稱為稱為麥克勞林公式麥克勞林公式二、麥克勞林二、麥克勞林（Maclaurin）公式公式 )(xf)0(fxf)0( 1)1(!)1()( nnxnxf 2!2)0(xf nnxnf!)0()( )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 由此得近似公式由此得近似公式便可得到便可得到麥克勞林（麥克勞林（ Maclaurin ）公式：）公式： , )10(,00 xx在泰勒公式中取在泰勒公式中取xxfe)()1( ,e)()(xkxf ),2,1(1)0()( kfkxe其中其中 )(xRn!)1( n)10( 1 nxx e幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式：幾個初等函數(shù)的

11、麥克勞林公式：)0(f xf)0( 2!2)0(xf 1)1(!)1()( nnxnxf )(!)0()(xRxnfnnn 1 x !33x !nxn )(xRn !22x )sin( xxxfsin)()2( )()(xfkxsinx !33x !55x !)12(12 mxm)(2xRm 其中其中 )(2xRm)sin(212 mx 2 k2sin)0()(kfk mk2 ,012 mk,)1(1 m),2,1( m 1)1( m)10( 12 mx!)12( m)cos()1(xm !)2(2mxm xxfcos)()3( 類似可得類似可得xcos1 !22x !44x )(12xRm

12、其中其中 )(12xRm!)22( m)cos()1(1xm )10( m)1( 22 mx)1()1()()4( xxxf )()(xfk )1(x 1 x 2xnx)(xRn 其中其中 )(xRn11)1(!)1()()1( nnxxnn )10( kxk )1)(1()1()1()1()0()( kfk ),2,1( k!2 ) 1(! n )1()1( n )1()1ln()()5( xxxf已知已知)1ln(x x 22x 33x nxn )(xRn 其中其中 )(xRn11)1(1)1( nnnxxn )10( 1)1( n類似可得類似可得 )()(xfkkkxk)1(! )1()

13、1(1 ),2,1( k三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用1. 在函數(shù)逼近中的應用在函數(shù)逼近中的應用 誤差誤差,!)1()(1 nnxnMxR其中其中M 為為)()1(xfn 在包含在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界的某區(qū)間上的上界.常見類型常見類型:1) 已知已知 x 和誤差限和誤差限 , 要求確定項數(shù)要求確定項數(shù) n ; )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 2) 已知項數(shù)已知項數(shù) n 和和 x , 計算近似值并估計誤差計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù)已知項數(shù) n 和誤差限和誤差限 , 確定公式中確定公式中 x 的的適用范圍適用范圍.2. 在近似計算

14、中的應用在近似計算中的應用選擇選擇解解37x211(6 ),(822xRx 例例2 計算計算的近似值的近似值 , 要求精確到小數(shù)點后的要求精確到小數(shù)點后的13637 .2)1(621近似值近似值階麥克勞林公式來求其階麥克勞林公式來求其的的x 21)1(6x 第第5位位.).10(16)1()(3252 xxxR其其中中 )1(x 1 x 2x)(2xR !2 ) 1(,)3611(621 )361(62R33611616 ,105 . 05 因此因此符合精度要求，符合精度要求，)36181361211(6372 .08275. 6 來計算，來計算，取取)0(3610 xx其誤差為其誤差為).1

15、0(16)1()(3252 xxxR3.利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限.克克勞勞林林公公式式利利用用帶帶皮皮亞亞諾諾余余項項的的麥麥.ecoslim4202xxxx 求極限求極限解解),(42121e44222xoxxx ！),(41211cos442xoxxx ！例例3)(!21122tottet 時時，當當22xt 44424420)(4! 2121 )(! 4211limxxoxxxoxxx ！.ecoslim4220 xxxx ),(42121e44222xoxxx ！),(41211cos442xoxxx ！.121 4440)()81241(limxxoxx (方法方法1).

16、21 )11ln(lim2xxxx 20)1ln(limtttt 可得可得令令,1tx )1ln(11lim20tttt ttt2111lim0 )1(21lim0tt 用洛必達法則，需換元用洛必達法則，需換元.解解).11ln(lim2xxxx 求求例例4.21 )11ln(lim2xxxx )1(211lim222xxxxxx )1(21lim22xxx (方法方法2)用泰勒公式用泰勒公式11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例例5 證明證明).0(82112 xxxx證證21)1(1xx 21x 2)121(

17、21!21x 325)1)(221)(121(21!31xx 3225)1(161821xxxx ).0(82112 xxxx4. 利用泰勒公式進行證明利用泰勒公式進行證明)10( 證證例例6上上具具有有三三階階連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)1 , 1)( xf, 0)0(, 1)1(, 0)1( fff且且. 3)()1 , 1( f，使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點區(qū)區(qū)間間!3)(!2)0()0()0()(32xfxfxffxf 32)(61)0(21)0(xfxff 之之間間，和和介介于于其其中中x0 由麥克勞林公式有由麥克勞林公式有證明在開證明在開導數(shù)，導數(shù)，從而從而)1(0 f

18、)01(1 兩式相減得兩式相減得)(61)0(21)0(1 fff )1(1f )10(2 )(61)0(21)0(2 fff 6)()(21 ff32)(61)0(21)0()(xfxffxf 1 , 1 x從而從而由介值性定理，由介值性定理，和和最最大大值值上上必必有有最最小小值值在在又又Mmxf)(2, 1 ,)()(2121Mffm 使使得得),1 , 1(2, 1 . 3)()(21)(21 fff1. 泰勒公式泰勒公式其中余項其中余項)(0nxxo 當當00 x時為時為麥克勞林公式麥克勞林公式 . )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)

19、(!)(00)( )(xRn 10)1()(!)1()()( nnnxxnfxR )0(之之間間與與在在xx 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式,ex, )1ln(x ,sin x,cos x )1(x 3. 泰勒公式的應用泰勒公式的應用(1) 近似計算近似計算(3) 其他應用其他應用求極限求極限 , 證明不等式證明不等式 等等(2) 利用多項式逼近函數(shù)利用多項式逼近函數(shù)解解的幾階的幾階時是時是當當試問函數(shù)試問函數(shù)xxxx0sin 無無窮窮小小量量？),(! 3sin33xxxx 因為因為思考題思考題故故),0()(! 3sin33 xxoxxx.sin0的的三

20、三階階無無窮窮小小量量是是時時，所所以以當當xxxx 備用題備用題例例2-1 !21cos2xx 計算計算 cos x的近似值的近似值,使其精確到使其精確到 0.005 , 試確定試確定 x 的適用范圍的適用范圍.解解近似公式的誤差為近似公式的誤差為)cos(!4)(43xxxR .244x 令令,005. 0244 x解得解得,588. 0 x即當即當588. 0 x時時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到能準確到 0.005 .用近似公式用近似公式在在例例2-2 計算無理數(shù)計算無理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過使誤差不超過.106 解解xe!)1(

21、nx e1 nx中令中令 x = 1 , 得得e).10(!)1(e!1!2111 nn)10( 由于由于,3ee0 欲使欲使)1(nR!)1(3 n,106 xe1 x !33x !nxn !22x 的麥克勞林公式的麥克勞林公式e!91!2111 .718281. 2 由計算可知當由計算可知當 n = 9 時上式成立時上式成立 ,因此因此求求.43443lim20 xxxx 解x4312 43 x21)431(2x 用洛必塔法則不方便用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到用泰勒公式將分子展到項項,由于由于)(nxo nx! n ) 1() 1(n )1(x 1x 2x !2 ) 1(

22、2 x43 ),(1694122xox 2 )43(211x ! 21)121(21 2)43( x)(2xo 例例3-1x34 21)431(2x 2 20 limxx )(1692122xox .329 x43 ).(1694122xox 類似地，類似地，2043443limxxxx 243 xx43 ),(1694122xox 計算計算解解.3cos2lim402xxexx ),(!2114422xoxxex ),(!4!21cos542xoxxx ),()!412!21(3cos2442xoxxex .127)(127lim4440 xxoxx原式原式例例3-2例例3-3),(!3!2

23、1e332xoxxxx ),(!3sin33xoxxx 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限解解3333320)1()(!3)(!3!21(limxxxxoxxxoxxxx 原式原式3333032xxoxxx)(!lim .31 .)1(sinelim30 xxxxxx 解解xxsin1 )(132xx xcos例例3-4因為因為)0(),(4332 xxx x2sin22)(xx .cossin1sinlim20 xxxxx 求求)(21132xx )(21132xx )(41132xx xxxcossin1 )0(),(32 xxx .34 所以所以xxxxxcossin1sinlim20

24、 )(43)(lim32320 xxxxx 證證例例5-1上上有有二二階階導導數(shù)數(shù)，在在設(shè)設(shè)10)(xf,| )(|axf ,| )(|bxf .212| )(|)1 , 0(bacfc 有有),1 , 0( c對對任任意意給給定定的的處處有有二二階階在在點點所所以以函函數(shù)數(shù)cxxf )(泰泰勒勒中中值值公公式式成成立立，即即2)(!2)()()()(cxfcxcfcfxf 其中其中a, b是非負數(shù)，是非負數(shù)，求證：對一切求證：對一切有二階導數(shù)，有二階導數(shù)，上上，在在因因10)(xf,之之間間與與在在其其中中xc 時時，和和特特別別當當10 xx. 1,010 cc其其中中兩式相減得兩式相減得

25、,)0(!2)()0)()()0(20cfccfcff ,)1(!2)()1)()()1(21cfccfcff )()1)(!21)()0()1(2021cfcfcfff )1(222ccbaa .22ba 于是于是| )(|)1 ( | )(|! 21)0() 1 ()(2021cfcfffcf | )0(| ) 1(| )(|ffcf | )(|)1 ( | )(|! 212021cfcf 證證上上二二階階可可導導，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(baxf )(af且且例例5-2使得使得, 0)( bf),(ba 試證明存在一點試證明存在一點. | )()(|)(4| )(|2afbfabf 有有點

26、點應應用用泰泰勒勒公公式式點點與與分分別別在在,ba )(xf21)(! 21)()(axfaxafaf )(1xa ,)()(! 21)(21axfaf ,2bax 在在上上面面兩兩式式中中令令)1()2(可得可得 )(xf22)(! 21)()(bxfbxbfbf )(2bx ,)()(! 21)(22bxfbf 21)()(81)()2(abfafbaf 22)()(81)()2(abfbfbaf 得得用用)1()2( 0)()()(81)()(122 ffabafbf|,)(),(max| )(|21 fff 取取從而得從而得),(ba 則則| )()(|)(81| )()(|122 ffabafbf ()()(81122 ffab |,)(|)(41| )()(|2 fabafbf 并有并有),(ba . | )()(|)(4| )(|2afbfabf 使得使得即存在一點即存在一點證證)1()0(ff , 0 ,| )(|)1 , 0(Axfx 時，時，且當且當例例5-3由泰勒公式，得由泰勒公式，得x 0證證明明當當.2| )(|1Axf 時，時，,)0(! 2)()0(! 1)()()0(21xfxxfxff 有有二二階階連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf)10(1 x 得得兩式相減，注意到兩式相減